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1、高難拉分攻堅特訓(六)
1．已知函數f(x)＝－ax有兩個零點，則實數a的取值范圍是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C. D.
答案 A
解析 f(x)＝－ax，令f(x)＝0，可得ax＝，當x＝0時，上式顯然不成立；可得a＝(x≠0)有且只有2個不等實根，等價為函數g(x)＝的圖象和直線y＝a有且只有兩個交點．由g′(x)＝<0恒成立，可得當x＞0時，g(x)單調遞減；當x＜0時，g(x)單調遞減．且g(x)＝>0在x>0或x<－1時恒成立，作出函數g(x)的大致圖象，如圖，
由圖象可得a>0時，直線y＝a和y＝g(x)的圖象有兩個交點．故選A.
2．
2、已知底面是正六邊形的六棱錐P－ABCDEF的七個頂點均在球O的表面上，底面正六邊形的邊長為1，若該六棱錐體積的最大值為，則球O的表面積為________．
答案
解析 因為六棱錐P－ABCDEF的七個頂點均在球O的表面上，由對稱性和底面正六邊形的面積為定值知，當六棱錐P－ABCDEF為正六棱錐時，體積最大．設正六棱錐的高為h，則×h＝，解得h＝2.記球O的半徑為R，根據平面截球面的性質，得(2－R)2＋12＝R2，解得R＝，所以球O的表面積為4πR2＝4π2＝.
3．在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>0，b>0)經過點
A，且點F(0，－1)為其一個焦點．
(1)求橢圓
3、E的方程；
(2)設橢圓E與y軸的兩個交點為A1，A2，不在y軸上的動點P在直線y＝b2上運動，直線PA1，PA2與橢圓E的另外兩個交點分別為M，N，證明：直線MN通過一個定點，且△FMN的周長為定值．
解 (1)根據題意可得解得
∴橢圓E的方程為＋＝1.
(2)證明：不妨設A1(0,2)，A2(0，－2)．
P(x0,4)為直線y＝4上一點(x0≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)．
直線PA1的方程為y＝x＋2，直線PA2的方程為
y＝x－2.
點M(x1，y1)，A1(0,2)的坐標滿足方程組
可得點N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐標滿足方程組可得
即
4、M，N.
直線MN的方程為y－＝－，
即y＝－x＋1.
故直線MN恒過定點B(0,1)．
又∵F(0，－1)，B(0,1)是橢圓E的焦點，
∴△FMN的周長＝|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8.
4．已知函數f(x)＝ln x＋x，直線l：y＝2kx－1.
(1)設P(x，y)是y＝f(x)圖象上一點，O為原點，直線OP的斜率k＝g(x)，若g(x)在x∈(m，m＋1)(m>0)上存在極值，求m的取值范圍；
(2)是否存在實數k，使得直線l是曲線y＝f(x)的切線？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
(3)試確定曲線y＝f(x)與直線l的交點個數，并說明理
5、由．
解 (1)∵g(x)＝＝(x>0)，
∴g′(x)＝＝0，解得x＝e.
由題意得，00)，∴h′(x)＝，
由h′(x)＝0，解得x＝1.
∴h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，
∴h(x)max＝h(1)＝1，又x→0時，h(x)→－∞；
x→＋∞時，h(x)＝＋→，
∴k∈∪{1}時，只有一個交點；k∈時，有兩個交點；k∈(1，＋∞)時，沒有交點．
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2020屆高考數學大二輪復習 沖刺經典專題 高難拉分攻堅特訓（六）文
