3第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

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1、3-0 3-0 第三章教學(xué)基本要求第三章教學(xué)基本要求3-1 3-1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理和轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理和轉(zhuǎn)動定律3-2 3-2 定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理和動量矩守恒定律定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理和動量矩守恒定律一、掌握描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的角位移、角速度和角加速度等概念一、掌握描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的角位移、角速度和角加速度等概念. .二、掌握力對固定轉(zhuǎn)軸的力矩的計算方法，了解轉(zhuǎn)動慣量的概二、掌握力對固定轉(zhuǎn)軸的力矩的計算方法，了解轉(zhuǎn)動慣量的概 念念 三、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理和剛體服從質(zhì)點組的功能轉(zhuǎn)三、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理和剛體服從質(zhì)點組的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系換關(guān)系. .四、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動

2、定律四、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動定律. .五、理解角動量的概念五、理解角動量的概念, , 理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律. .七、能綜合應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律和牛頓運動定律及質(zhì)點、剛體定軸轉(zhuǎn)七、能綜合應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律和牛頓運動定律及質(zhì)點、剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)公式計算質(zhì)點剛體系統(tǒng)的簡單動力學(xué)問題動的運動學(xué)公式計算質(zhì)點剛體系統(tǒng)的簡單動力學(xué)問題. .六、會計算力矩的功六、會計算力矩的功 ( (只限于恒定力矩的功只限于恒定力矩的功) ) 、定軸轉(zhuǎn)動剛體的、定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動動能和對軸的角動量轉(zhuǎn)動動能和對軸的角動量. . 八、能綜合應(yīng)用守恒定律求解質(zhì)點剛體系統(tǒng)的簡單動力學(xué)問題八、能綜合應(yīng)用守

3、恒定律求解質(zhì)點剛體系統(tǒng)的簡單動力學(xué)問題. . 明確選擇分析解決質(zhì)點剛體系統(tǒng)力學(xué)問題規(guī)律時的優(yōu)先考慮順序明確選擇分析解決質(zhì)點剛體系統(tǒng)力學(xué)問題規(guī)律時的優(yōu)先考慮順序. . 預(yù)習(xí)要點預(yù)習(xí)要點注意描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)方法注意描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)方法.閱讀附錄閱讀附錄1中矢量乘法中矢量乘法. 力對轉(zhuǎn)軸的力矩如何計算力對轉(zhuǎn)軸的力矩如何計算?領(lǐng)會剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理的意義領(lǐng)會剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理的意義. 注意區(qū)分平注意區(qū)分平動動能和轉(zhuǎn)動動能的計算式動動能和轉(zhuǎn)動動能的計算式. 注意力矩的功的計算注意力矩的功的計算方法方法.轉(zhuǎn)動慣量的定義是什么轉(zhuǎn)動慣量的定義是什么? 轉(zhuǎn)動慣量與哪些因素有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量與哪

4、些因素有關(guān)?1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式如何剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式如何? 注意注意它的應(yīng)用方法它的應(yīng)用方法. 剛體剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體（任意兩質(zhì)點間距離保持不變的特殊質(zhì)點化的物體（任意兩質(zhì)點間距離保持不變的特殊質(zhì)點組）組）.剛體的運動形式：平動、轉(zhuǎn)動剛體的運動形式：平動、轉(zhuǎn)動 . 平動：剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同平動：剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同. 轉(zhuǎn)動：剛體中所有的點都繞同一直線作圓周運動轉(zhuǎn)動：剛體中所有的點都繞同一直線作圓周運動. 轉(zhuǎn)動分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動.

5、 轉(zhuǎn)軸不動轉(zhuǎn)軸不動, 剛體繞轉(zhuǎn)軸運動叫剛體的定軸轉(zhuǎn)動；剛體繞轉(zhuǎn)軸運動叫剛體的定軸轉(zhuǎn)動；垂直于轉(zhuǎn)軸的平面叫轉(zhuǎn)動平面垂直于轉(zhuǎn)軸的平面叫轉(zhuǎn)動平面.)()(ttt角位移角位移)(t 角坐標(biāo)角坐標(biāo)tttddlim0角速度角速度角加速度角加速度tddxz)(tO 定軸定軸(Oz軸軸)條件下，由條件下，由Oz軸正向俯視，逆時針轉(zhuǎn)軸正向俯視，逆時針轉(zhuǎn)向的向的 取正，順時針取負(fù)取正，順時針取負(fù).、剛體的勻變速轉(zhuǎn)動剛體的勻變速轉(zhuǎn)動20000)(21)(tttt)(00tt )(2020220 （下一頁）（下一頁）非勻變速轉(zhuǎn)動非勻變速轉(zhuǎn)動時：時： 求導(dǎo)積分求導(dǎo)積分類似于類似于 勻變速直線動勻變速直線動但是但是 切記

6、！切記?。ń羌铀俣葹楹懔浚ń羌铀俣葹楹懔浚┚€量線量速度、加速度速度、加速度角量角量角速度、角加速度角速度、角加速度rvrararvnt22角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系 一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，其上各質(zhì)點的角量都一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，其上各質(zhì)點的角量都相同；各點的線速度相同；各點的線速度 v 與各點到轉(zhuǎn)軸的距離與各點到轉(zhuǎn)軸的距離 r 成成正比，距離越遠(yuǎn)，線速度越大；同樣，距離越遠(yuǎn)正比，距離越遠(yuǎn)，線速度越大；同樣，距離越遠(yuǎn)處，其切向加速度和法向加速度也越大。處，其切向加速度和法向加速度也越大。2422raaatn總加速度：總加速度：求：求： t =6 0 s時的轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)速 ； 角加速隨時間變化的

7、規(guī)律；角加速隨時間變化的規(guī)律； 啟動后啟動后6 0 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。解：解：根據(jù)題意轉(zhuǎn)速隨時間的變化關(guān)系，根據(jù)題意轉(zhuǎn)速隨時間的變化關(guān)系， 將將t =6 0 s 代入，即得：代入，即得：)(68950)1 (100sradet（下一頁）（下一頁）例：某種電動機啟動后轉(zhuǎn)速隨時間變化例：某種電動機啟動后轉(zhuǎn)速隨時間變化),1 (0tes021009srad式中式中的關(guān)系為：的關(guān)系為： t =6 0 s 時轉(zhuǎn)過的角度為時轉(zhuǎn)過的角度為dtedttss)1 (60060rad936則則 t =6 0 s 時電動機轉(zhuǎn)過的圈數(shù)時電動機轉(zhuǎn)過的圈數(shù)圈8752N)20()05026(9600stet角

8、加速度隨時間變化的規(guī)律為：角加速度隨時間變化的規(guī)律為：)(5420sradeedtdttAz*OFdFrMzsinMFrd( :力臂力臂)d 剛體繞剛體繞Oz軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), O為軸為軸與轉(zhuǎn)動平面的交點，力與轉(zhuǎn)動平面的交點，力 作用作用在剛體上點在剛體上點 P , 且在轉(zhuǎn)動平面且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)內(nèi), 為由點為由點O 到力的作用點到力的作用點 P 的位矢的位矢. Fr 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸z的力矩的力矩 F 力矩力矩 MsFrFWdcosdd21dMW力矩的功力矩的功力矩作功力矩作功 orvFxvFOxrtFrdddsindFrM轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能2ivim21剛體內(nèi)部質(zhì)量為剛體內(nèi)部質(zhì)量為 的質(zhì)量元的速度為的質(zhì)

9、量元的速度為 imirivniiirm122)(212222211k212121nnmmmEvvvniim1212iv動能為動能為剛體定軸轉(zhuǎn)動的總能量（轉(zhuǎn)動動能）剛體定軸轉(zhuǎn)動的總能量（轉(zhuǎn)動動能）ni2ii)(rm121niiirmJ12定義定義轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量niiirm12相當(dāng)于描寫轉(zhuǎn)動慣性的物理量相當(dāng)于描寫轉(zhuǎn)動慣性的物理量. .轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量單位：單位：kg m2（千克（千克米米2）.2k21JE剛體定軸轉(zhuǎn)動動能計算式：剛體定軸轉(zhuǎn)動動能計算式： 對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，任取質(zhì)量元對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，任取質(zhì)量元dm，其到軸其到軸的距離為的距離為r，則，則轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量mrJd2與平動動能

10、與平動動能2k21vmEniiirmE122k)(21比較轉(zhuǎn)動動能比較轉(zhuǎn)動動能 剛體是其內(nèi)任兩質(zhì)點間距離不變的質(zhì)點組，剛體剛體是其內(nèi)任兩質(zhì)點間距離不變的質(zhì)點組，剛體做定軸轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點間無相對位移，質(zhì)點間內(nèi)力不作做定軸轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點間無相對位移，質(zhì)點間內(nèi)力不作功，外力功為其力矩的功；并且剛體無移動，動能的功，外力功為其力矩的功；并且剛體無移動，動能的變化只有定軸轉(zhuǎn)動動能的變化變化只有定軸轉(zhuǎn)動動能的變化.由質(zhì)點組動能定理由質(zhì)點組動能定理0kkinexEEWW, 0inW0dexMW20k02k21,21JEJE 合外力矩合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動

11、動能的轉(zhuǎn)動動能的增量增量.得剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理得剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2022121d0JJMW注意注意: 2. 剛體的定軸轉(zhuǎn)動的動能應(yīng)用剛體的定軸轉(zhuǎn)動的動能應(yīng)用 計算計算.2k21JE1. 如果剛體在運動過程中還有勢能的變化，可用質(zhì)點如果剛體在運動過程中還有勢能的變化，可用質(zhì)點組的功能原理和機械能轉(zhuǎn)換與守恒定律討論組的功能原理和機械能轉(zhuǎn)換與守恒定律討論. 總之，剛總之，剛體作為特殊的質(zhì)點組，它服從質(zhì)點組的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系體作為特殊的質(zhì)點組，它服從質(zhì)點組的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系.轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 J與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素：與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量剛體的形狀剛體的形狀轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置n

12、iirmJ12J稱為稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，與質(zhì)點的質(zhì)，與質(zhì)點的質(zhì)量相對應(yīng)。剛體轉(zhuǎn)動動能與質(zhì)點運動動能在量相對應(yīng)。剛體轉(zhuǎn)動動能與質(zhì)點運動動能在表達(dá)形式上具有相似性。表達(dá)形式上具有相似性。注意：轉(zhuǎn)動慣量注意：轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性是剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度。的量度。 iiirmJ2 若質(zhì)量連續(xù)分布若質(zhì)量連續(xù)分布 dmrJ2在（在（SI）中，）中，J 的單位：的單位：kgm2dldm質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布dsdm質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布dVdm質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布其中其中 、 、 分別為質(zhì)量的分別為質(zhì)量的線密度、面密線密度、面密度和體密度。度和體密度。線分布線分布體分布體分布

13、剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元的質(zhì)量與剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。面分布面分布（下一頁（下一頁）幾種常見形狀的剛體的轉(zhuǎn)動慣量幾種常見形狀的剛體的轉(zhuǎn)動慣量lrrJ02d32/02121d2lrrJl231ml 設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸，取一距離轉(zhuǎn)軸 OO 為為 處處的質(zhì)量元的質(zhì)量元 rr,mddrrmrJddd22 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、長為、長為l的均勻細(xì)長棒，對通過棒中心的均勻細(xì)長棒，對通過棒中心和和過端點并與棒垂直的兩軸的轉(zhuǎn)動慣量過端點并與棒垂直的兩軸的轉(zhuǎn)動慣量.lO Ord

14、rrd2l2lO O2121ml如轉(zhuǎn)軸過端點垂直于棒如轉(zhuǎn)軸過端點垂直于棒 剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量質(zhì)量m、剛體的、剛體的質(zhì)量分布質(zhì)量分布和和轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)有關(guān).轉(zhuǎn)動慣量的計算舉例轉(zhuǎn)動慣量的計算舉例解解:222mrdmrdmrJJ J 是可加的，所以若為薄圓是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）結(jié)果相同。筒（不計厚度）結(jié)果相同。rOdm（下一頁）（下一頁）例、例、求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為r 的均勻細(xì)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。的均勻細(xì)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。 軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。在圓環(huán)上任取質(zhì)量元在圓環(huán)上任取質(zhì)量元 dm例例、求質(zhì)量為求質(zhì)

15、量為M、半徑為、半徑為R、厚為、厚為l 的均勻圓盤的均勻圓盤 的的=轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：解：任取半徑為任取半徑為r 寬為寬為dr 的同心細(xì)圓環(huán)的同心細(xì)圓環(huán),lrdrdm 2drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdJJR403212 2221MRJlRm（下一頁）（下一頁）可見，可見，轉(zhuǎn)動慣量與其厚度轉(zhuǎn)動慣量與其厚度 l 無關(guān)無關(guān)。所以，實心圓柱對。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是 。221MRJ 21222121d21JJMW由動能定理：由動能定理：取微分形式：取微分形式：d)21(dd2JJM兩邊除兩邊除dtd

16、tdddJtM由于由于ttdd,dd故得故得JtJMdd 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，：剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，合外力合外力矩矩等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積乘積. . 如果在一個物體系中，有的物體作平動，有的物如果在一個物體系中，有的物體作平動，有的物體作定軸轉(zhuǎn)動，處理此問題仍然可以應(yīng)用隔離法體作定軸轉(zhuǎn)動，處理此問題仍然可以應(yīng)用隔離法. . 但但應(yīng)分清哪些物體作平動，哪些物體作轉(zhuǎn)動應(yīng)分清哪些物體作平動，哪些物體作轉(zhuǎn)動. . 把平動物把平動物體隔離出來，按牛頓第二定律寫出其動力學(xué)方程；把體隔離出來，按牛頓第二定律寫出其動力學(xué)方程；把定軸轉(zhuǎn)動物

17、體隔離出來，按轉(zhuǎn)動定律寫出其動力學(xué)方定軸轉(zhuǎn)動物體隔離出來，按轉(zhuǎn)動定律寫出其動力學(xué)方程程. . 有時還需要利用質(zhì)點及剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)公有時還需要利用質(zhì)點及剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)公式補充方程，然后對這些方程綜合求解式補充方程，然后對這些方程綜合求解. .例例: :一輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸一輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為有質(zhì)量為m1和和m2的物體，滑輪可視為均質(zhì)圓盤，的物體，滑輪可視為均質(zhì)圓盤， 質(zhì)量質(zhì)量為為m，半徑為，半徑為r，繩子，繩子不可伸長而且與滑輪之間無相對不可伸長而且與滑輪之間無相對滑動滑動. .求求物體加速度、滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度和繩子的張物體加

18、速度、滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度和繩子的張力力. .受力圖如下，受力圖如下，T1Fgm1T2F a12mm設(shè)設(shè)T2Fgm2aT1F ormm2m1JrFrFT1T2amFgm2T22amgmF11T1ra 解解: :得解得解,21)(2112mmmgmmarmmmgmm)21()(2112,21)212(21211mmmgmmmFTmmmgmmmFT21)212(21122221mrJ 1）系統(tǒng)對軸的轉(zhuǎn)動慣量）系統(tǒng)對軸的轉(zhuǎn)動慣量J是桿的轉(zhuǎn)動是桿的轉(zhuǎn)動慣量慣量J1與小球的轉(zhuǎn)動慣量與小球的轉(zhuǎn)動慣量J2之和之和.o例例: 一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，一端連接一個大小可以一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，一端連接一個大小可

19、以不計的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動不計的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動. 某瞬時細(xì)桿在某瞬時細(xì)桿在豎直面內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動的角速度為豎直面內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動的角速度為 ，桿與豎直軸的夾角，桿與豎直軸的夾角為為 . 設(shè)桿的質(zhì)量為設(shè)桿的質(zhì)量為 、桿長為、桿長為 l，小球的質(zhì)量為小球的質(zhì)量為 .1m2m求：求： 1）系統(tǒng)對軸的轉(zhuǎn)動慣量；）系統(tǒng)對軸的轉(zhuǎn)動慣量； 2）在圖示位置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能；）在圖示位置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能； 3）在圖示位置系統(tǒng)所受重力對軸的力矩）在圖示位置系統(tǒng)所受重力對軸的力矩.gm1gm2解解:l21JJJ22231lmml2231lmm)(2）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能為：）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能為：2k21JE2221

20、3121lmm)(3）系統(tǒng)所受重力有桿的重立和小球的重力）系統(tǒng)所受重力有桿的重立和小球的重力.則系統(tǒng)所受重力對軸的力矩的大小為：則系統(tǒng)所受重力對軸的力矩的大小為：21MMMglmlgmsinsin221glmmsin)(2121ogm1l預(yù)習(xí)要點預(yù)習(xí)要點認(rèn)識質(zhì)點對定點的動量矩的定義，認(rèn)識質(zhì)點對定點的動量矩的定義， 剛體對轉(zhuǎn)軸的動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩如何計算量矩如何計算?剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式是剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式是怎樣的怎樣的?1. 動量矩守恒定律的內(nèi)容及守恒定律的條件是什么動量矩守恒定律的內(nèi)容及守恒定律的條件是什么?1. 質(zhì)點的質(zhì)點的vvmrprL0v

21、r0L0Lrxyzom 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點以速度的質(zhì)點以速度 在空間運動，某時刻相對原點在空間運動，某時刻相對原點 O 的位矢為的位矢為 ，質(zhì)點相對于原，質(zhì)點相對于原點的動量矩（角動量）點的動量矩（角動量）mrvrmLsin0v大小大小 的方向符合右手法則的方向符合右手法則.0L單位單位 或或12smkgsJ 質(zhì)點對定點質(zhì)點對定點O的動量矩的動量矩 在某坐標(biāo)軸在某坐標(biāo)軸Oz上的投上的投影影 稱為該質(zhì)點對軸稱為該質(zhì)點對軸Oz的動量矩的動量矩. 質(zhì)點作圓運動時，質(zhì)點作圓運動時，其對過圓心其對過圓心O且運動平面垂直的軸且運動平面垂直的軸Oz的動量矩：的動量矩： 0LzL000z0cosLLL或或0

22、0zcosLLLmrrmvL20sin又又rmv故得故得mrL2z（取正號（取正號LZ與與Oz同向，負(fù)號反向）同向，負(fù)號反向）z2. 剛體的剛體的JL Oirimiv 剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，其內(nèi)所有質(zhì)點都在與軸垂直剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，其內(nèi)所有質(zhì)點都在與軸垂直的平面內(nèi)作圓周運動，剛體對軸的動量矩為其所有質(zhì)的平面內(nèi)作圓周運動，剛體對軸的動量矩為其所有質(zhì)點對同一軸的動量矩之和點對同一軸的動量矩之和.niiLL1zrmniii12rmniii12)(J即即L為正，其方向沿為正，其方向沿Oz正向，反之沿正向，反之沿Oz負(fù)向負(fù)向.對剛體組合系統(tǒng)，總動量矩為各部分對同軸動量矩之和對剛體組合系統(tǒng)，總動量矩為各部分對

23、同軸動量矩之和.剛體所受的外力矩等于剛體動量矩的變化率剛體所受的外力矩等于剛體動量矩的變化率.121221dLLJJtMtt將上式變形后積分將上式變形后積分動量矩定理動量矩定理: 作用在剛體上的沖量矩等于剛體動量矩作用在剛體上的沖量矩等于剛體動量矩的的增量增量.tJMdd由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律tLtJMddd)(dLJtMd)(dd21dtttM表示作用在剛體上的合外力矩的時間積累表示作用在剛體上的合外力矩的時間積累, 稱為稱為沖量矩沖量矩.動量矩守恒定律動量矩守恒定律: : 當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動系統(tǒng)受到的當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動系統(tǒng)受到的合外力矩為合外力矩為零零時，系統(tǒng)的動量矩守恒時，系統(tǒng)的動量矩守恒

24、. .若若 ，0 M花樣滑冰花樣滑冰跳水運動員跳水跳水運動員跳水注意注意1. 1. 對一般的質(zhì)點系統(tǒng)，若質(zhì)點系相對于某一定點所受對一般的質(zhì)點系統(tǒng)，若質(zhì)點系相對于某一定點所受的合外力矩為零時，則此質(zhì)點系相對于該定點的動量的合外力矩為零時，則此質(zhì)點系相對于該定點的動量矩始終保持不變矩始終保持不變. .2. 2. 動量矩守恒定律與動量守恒定律一樣動量矩守恒定律與動量守恒定律一樣, ,也是自然界也是自然界的一條普遍規(guī)律的一條普遍規(guī)律. .則則JL常量常量. .moLL0Jmlmlvv0（1 1）0v解：解： 桿和球在豎直方向所受重力和支持力與軸平行，對桿和球在豎直方向所受重力和支持力與軸平行，對軸無力

25、矩；桌面及軸皆光滑，無摩擦力矩；軸對桿的軸無力矩；桌面及軸皆光滑，無摩擦力矩；軸對桿的反作用力過軸也無力矩反作用力過軸也無力矩. .因此，球與桿在碰撞過程中，因此，球與桿在碰撞過程中，所受外力矩為零，在水平面上，碰撞過程中系統(tǒng)角動所受外力矩為零，在水平面上，碰撞過程中系統(tǒng)角動量守恒量守恒. .即：即：例：在光滑水平桌面上放置一個靜止的質(zhì)量為例：在光滑水平桌面上放置一個靜止的質(zhì)量為m、長為、長為2l、可繞過與桿垂直的光滑軸中心轉(zhuǎn)動的細(xì)桿、可繞過與桿垂直的光滑軸中心轉(zhuǎn)動的細(xì)桿. .有一質(zhì)量有一質(zhì)量為為m的小球以與桿垂直的速度的小球以與桿垂直的速度 與桿的一端發(fā)生完全彈與桿的一端發(fā)生完全彈性碰撞，求

26、小球的反彈速度性碰撞，求小球的反彈速度 及桿的轉(zhuǎn)動角速度及桿的轉(zhuǎn)動角速度.0vv彈性碰撞動能守恒彈性碰撞動能守恒222212121Jmmvv0（2 2）lmlmJ2231)2(121其中其中mo0v聯(lián)立聯(lián)立(1)、(2)式求解式求解mmm-m3)3(0vvlmmm)3(60v 例例 行星運動的開普勒第二定律認(rèn)為，對于任一行星運動的開普勒第二定律認(rèn)為，對于任一行星，由太陽到行星的徑矢在相等的時間內(nèi)掃過相行星，由太陽到行星的徑矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。試用角動量守恒定律證明之。等的面積。試用角動量守恒定律證明之。 解解 將行星看為質(zhì)點將行星看為質(zhì)點, ,在在dt 時間內(nèi)以速度時間內(nèi)以速度 完

27、成的完成的位移為位移為 , ,矢徑矢徑 在在d t 時間內(nèi)掃過的面積為時間內(nèi)掃過的面積為dS（圖中陰影）。圖中陰影）。 vtv drtvrSd21d根據(jù)質(zhì)點角動量的定義根據(jù)質(zhì)點角動量的定義 )(vrmvmrl則則tmlSd2dFrrOmtvd矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積（矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積（稱為稱為掠面速度掠面速度） mltS2dd 萬有引力屬于有心力萬有引力屬于有心力, , 行星相對于太陽所在處行星相對于太陽所在處 點點O的角動量是守恒的的角動量是守恒的, , 即即 = = 恒矢量，故有恒矢量，故有 lmltS2dd恒量恒量 行星對太陽所在點行星對太陽所在點O 的角動量守恒，不僅角動量

28、的角動量守恒，不僅角動量的大小不隨時間變化，即掠面速度恒定，而且角動的大小不隨時間變化，即掠面速度恒定，而且角動量的方向也是不隨時間變化的，即行星的軌道平面量的方向也是不隨時間變化的，即行星的軌道平面在空間的取向是恒定的。在空間的取向是恒定的。例例 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系于細(xì)繩的一端，繩的另一端縛的小球系于細(xì)繩的一端，繩的另一端縛在一根豎直放置的細(xì)棒上在一根豎直放置的細(xì)棒上, , 小球被約束在水平面內(nèi)小球被約束在水平面內(nèi)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn), , 某時刻角速度為某時刻角速度為 1 1，細(xì)繩的長度為，細(xì)繩的長度為r1。當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后, , 由于細(xì)繩纏繞在細(xì)棒上由于細(xì)繩纏繞在細(xì)棒

29、上, , 繩長繩長變?yōu)樽優(yōu)閞2, , 求此時小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的角速度求此時小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的角速度 2。2r1r解解 小球受力小球受力 繩子的張力繩子的張力 , ,指向細(xì)棒；指向細(xì)棒；重力重力 ，豎直向下；支撐力，豎直向下；支撐力 , ,豎直向上。豎直向上。 與繩子平行與繩子平行, , 不產(chǎn)生力矩；不產(chǎn)生力矩； 與與平衡，力矩始終為零。所以平衡，力矩始終為零。所以, , 作用于小作用于小球的力對細(xì)棒的力矩始終等于零球的力對細(xì)棒的力矩始終等于零, , 故小故小球?qū)?xì)棒的角動量必定是守恒的。球?qū)?xì)棒的角動量必定是守恒的。 TFgmNFTFgmNF根據(jù)質(zhì)點對軸的角動量守恒定律根據(jù)質(zhì)點對軸的角動量守恒定律

30、 2211rmvrmv式中式中v1是半徑為是半徑為r1時小球的線速度時小球的線速度, , v2是半徑為是半徑為r2時小球的線速度。時小球的線速度。 代入上式得代入上式得222121mrmr解得解得12212)(rr 可見可見, 由于細(xì)繩越轉(zhuǎn)越短由于細(xì)繩越轉(zhuǎn)越短, , 小球的角速度小球的角速度必定越轉(zhuǎn)越大必定越轉(zhuǎn)越大, 即即 。rr2121222111,rvrv而而 例例 半徑為半徑為R的光滑圓環(huán)上的光滑圓環(huán)上A點點有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m的小球，從靜止開的小球，從靜止開始下滑，若不計摩擦力，求小球始下滑，若不計摩擦力，求小球到達(dá)到達(dá)B B點時的角動量和角速度。點時的角動量和角速度。 解解 小球受重力矩作用，由角動量定理小球受重力矩作用，由角動量定理：tlmgRMddcostdd2,mRmRvllmRtdd2ABRnFvgm利用初始條件對上式積分利用初始條件對上式積分 lgRmll0032dcosd2/12/3sin2gmRl sin2 2RgmRldcosd32gRmll得到得到