《3第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《3第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（45頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、3-0 3-0 第三章教學(xué)基本要求第三章教學(xué)基本要求3-1 3-1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定律3-2 3-2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律一、掌握描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移、角速度和角加速度等概念一、掌握描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移、角速度和角加速度等概念. .二、掌握力對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的力矩的計(jì)算方法，了解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概二、掌握力對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的力矩的計(jì)算方法，了解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概 念念 三、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理和剛體服從質(zhì)點(diǎn)組的功能轉(zhuǎn)三、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理和剛體服從質(zhì)點(diǎn)組的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系換關(guān)系. .四、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)
2、定律四、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律. .五、理解角動(dòng)量的概念五、理解角動(dòng)量的概念, , 理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律. .七、能綜合應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律及質(zhì)點(diǎn)、剛體定軸轉(zhuǎn)七、能綜合應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律及質(zhì)點(diǎn)、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式計(jì)算質(zhì)點(diǎn)剛體系統(tǒng)的簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)問(wèn)題動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式計(jì)算質(zhì)點(diǎn)剛體系統(tǒng)的簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)問(wèn)題. .六、會(huì)計(jì)算力矩的功六、會(huì)計(jì)算力矩的功 ( (只限于恒定力矩的功只限于恒定力矩的功) ) 、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和對(duì)軸的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和對(duì)軸的角動(dòng)量. . 八、能綜合應(yīng)用守恒定律求解質(zhì)點(diǎn)剛體系統(tǒng)的簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)問(wèn)題八、能綜合應(yīng)用守
3、恒定律求解質(zhì)點(diǎn)剛體系統(tǒng)的簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)問(wèn)題. . 明確選擇分析解決質(zhì)點(diǎn)剛體系統(tǒng)力學(xué)問(wèn)題規(guī)律時(shí)的優(yōu)先考慮順序明確選擇分析解決質(zhì)點(diǎn)剛體系統(tǒng)力學(xué)問(wèn)題規(guī)律時(shí)的優(yōu)先考慮順序. . 預(yù)習(xí)要點(diǎn)預(yù)習(xí)要點(diǎn)注意描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法注意描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法.閱讀附錄閱讀附錄1中矢量乘法中矢量乘法. 力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩如何計(jì)算力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩如何計(jì)算?領(lǐng)會(huì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理的意義領(lǐng)會(huì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理的意義. 注意區(qū)分平注意區(qū)分平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的計(jì)算式動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的計(jì)算式. 注意力矩的功的計(jì)算注意力矩的功的計(jì)算方法方法.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義是什么轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義是什么? 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與哪些因素有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與哪
4、些因素有關(guān)?1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式如何剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式如何? 注意注意它的應(yīng)用方法它的應(yīng)用方法. 剛體剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)化的物體（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）組）.剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) . 平動(dòng)：剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同平動(dòng)：剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同. 轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng). 轉(zhuǎn)動(dòng)分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).
5、 轉(zhuǎn)軸不動(dòng)轉(zhuǎn)軸不動(dòng), 剛體繞轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)叫剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；剛體繞轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)叫剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；垂直于轉(zhuǎn)軸的平面叫轉(zhuǎn)動(dòng)平面垂直于轉(zhuǎn)軸的平面叫轉(zhuǎn)動(dòng)平面.)()(ttt角位移角位移)(t 角坐標(biāo)角坐標(biāo)tttddlim0角速度角速度角加速度角加速度tddxz)(tO 定軸定軸(Oz軸軸)條件下，由條件下，由Oz軸正向俯視，逆時(shí)針轉(zhuǎn)軸正向俯視，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的向的 取正，順時(shí)針取負(fù)取正，順時(shí)針取負(fù).、剛體的勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)20000)(21)(tttt)(00tt )(2020220 （下一頁(yè)）（下一頁(yè)）非勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)非勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)：時(shí)： 求導(dǎo)積分求導(dǎo)積分類似于類似于 勻變速直線動(dòng)勻變速直線動(dòng)但是但是 切記
6、！切記?。ń羌铀俣葹楹懔浚ń羌铀俣葹楹懔浚┚€量線量速度、加速度速度、加速度角量角量角速度、角加速度角速度、角加速度rvrararvnt22角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系 一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上各質(zhì)點(diǎn)的角量都一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上各質(zhì)點(diǎn)的角量都相同；各點(diǎn)的線速度相同；各點(diǎn)的線速度 v 與各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離與各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離 r 成成正比，距離越遠(yuǎn)，線速度越大；同樣，距離越遠(yuǎn)正比，距離越遠(yuǎn)，線速度越大；同樣，距離越遠(yuǎn)處，其切向加速度和法向加速度也越大。處，其切向加速度和法向加速度也越大。2422raaatn總加速度：總加速度：求：求： t =6 0 s時(shí)的轉(zhuǎn)速時(shí)的轉(zhuǎn)速 ； 角加速隨時(shí)間變化的
7、規(guī)律；角加速隨時(shí)間變化的規(guī)律； 啟動(dòng)后啟動(dòng)后6 0 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。解：解：根據(jù)題意轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化關(guān)系，根據(jù)題意轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化關(guān)系， 將將t =6 0 s 代入，即得：代入，即得：)(68950)1 (100sradet（下一頁(yè)）（下一頁(yè)）例：某種電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)后轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化例：某種電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)后轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化),1 (0tes021009srad式中式中的關(guān)系為：的關(guān)系為： t =6 0 s 時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為dtedttss)1 (60060rad936則則 t =6 0 s 時(shí)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)時(shí)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)圈8752N)20()05026(9600stet角
8、加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律為：角加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律為：)(5420sradeedtdttAz*OFdFrMzsinMFrd( :力臂力臂)d 剛體繞剛體繞Oz軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), O為軸為軸與轉(zhuǎn)動(dòng)平面的交點(diǎn)，力與轉(zhuǎn)動(dòng)平面的交點(diǎn)，力 作用作用在剛體上點(diǎn)在剛體上點(diǎn) P , 且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)內(nèi), 為由點(diǎn)為由點(diǎn)O 到力的作用點(diǎn)到力的作用點(diǎn) P 的位矢的位矢. Fr 對(duì)轉(zhuǎn)軸對(duì)轉(zhuǎn)軸z的力矩的力矩 F 力矩力矩 MsFrFWdcosdd21dMW力矩的功力矩的功力矩作功力矩作功 orvFxvFOxrtFrdddsindFrM轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2ivim21剛體內(nèi)部質(zhì)量為剛體內(nèi)部質(zhì)量為 的質(zhì)量元的速度為的質(zhì)
9、量元的速度為 imirivniiirm122)(212222211k212121nnmmmEvvvniim1212iv動(dòng)能為動(dòng)能為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的總能量（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的總能量（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）ni2ii)(rm121niiirmJ12定義定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量niiirm12相當(dāng)于描寫轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量相當(dāng)于描寫轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量. .轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單位：?jiǎn)挝唬簁g m2（千克（千克米米2）.2k21JE剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能計(jì)算式：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能計(jì)算式： 對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，任取質(zhì)量元對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，任取質(zhì)量元dm，其到軸其到軸的距離為的距離為r，則，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrJd2與平動(dòng)動(dòng)能
10、與平動(dòng)動(dòng)能2k21vmEniiirmE122k)(21比較轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能比較轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體是其內(nèi)任兩質(zhì)點(diǎn)間距離不變的質(zhì)點(diǎn)組，剛體剛體是其內(nèi)任兩質(zhì)點(diǎn)間距離不變的質(zhì)點(diǎn)組，剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)位移，質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力不作做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)位移，質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力不作功，外力功為其力矩的功；并且剛體無(wú)移動(dòng)，動(dòng)能的功，外力功為其力矩的功；并且剛體無(wú)移動(dòng)，動(dòng)能的變化只有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的變化變化只有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的變化.由質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理由質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理0kkinexEEWW, 0inW0dexMW20k02k21,21JEJE 合外力矩合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)
11、動(dòng)能的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量增量.得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2022121d0JJMW注意注意: 2. 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能應(yīng)用剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能應(yīng)用 計(jì)算計(jì)算.2k21JE1. 如果剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還有勢(shì)能的變化，可用質(zhì)點(diǎn)如果剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還有勢(shì)能的變化，可用質(zhì)點(diǎn)組的功能原理和機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律討論組的功能原理和機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律討論. 總之，剛總之，剛體作為特殊的質(zhì)點(diǎn)組，它服從質(zhì)點(diǎn)組的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系體作為特殊的質(zhì)點(diǎn)組，它服從質(zhì)點(diǎn)組的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量剛體的形狀剛體的形狀轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置n
12、iirmJ12J稱為稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)，與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量相對(duì)應(yīng)。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能在量相對(duì)應(yīng)。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能在表達(dá)形式上具有相似性。表達(dá)形式上具有相似性。注意：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量注意：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。的量度。 iiirmJ2 若質(zhì)量連續(xù)分布若質(zhì)量連續(xù)分布 dmrJ2在（在（SI）中，）中，J 的單位：的單位：kgm2dldm質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布dsdm質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布dVdm質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布其中其中 、 、 分別為質(zhì)量的分別為質(zhì)量的線密度、面密線密度、面密度和體密度。度和體密度。線分布線分布體分布體分布
13、剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。面分布面分布（下一頁(yè)（下一頁(yè)）幾種常見(jiàn)形狀的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量幾種常見(jiàn)形狀的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量lrrJ02d32/02121d2lrrJl231ml 設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸，取一距離轉(zhuǎn)軸 OO 為為 處處的質(zhì)量元的質(zhì)量元 rr,mddrrmrJddd22 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，對(duì)通過(guò)棒中心的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，對(duì)通過(guò)棒中心和和過(guò)端點(diǎn)并與棒垂直的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量過(guò)端點(diǎn)并與棒垂直的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.lO Ord
14、rrd2l2lO O2121ml如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量質(zhì)量m、剛體的、剛體的質(zhì)量分布質(zhì)量分布和和轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)有關(guān).轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算舉例轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算舉例解解:222mrdmrdmrJJ J 是可加的，所以若為薄圓是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。rOdm（下一頁(yè)）（下一頁(yè)）例、例、求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為r 的均勻細(xì)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的均勻細(xì)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。在圓環(huán)上任取質(zhì)量元在圓環(huán)上任取質(zhì)量元 dm例例、求質(zhì)量為求質(zhì)
15、量為M、半徑為、半徑為R、厚為、厚為l 的均勻圓盤的均勻圓盤 的的=轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。解：解：任取半徑為任取半徑為r 寬為寬為dr 的同心細(xì)圓環(huán)的同心細(xì)圓環(huán),lrdrdm 2drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdJJR403212 2221MRJlRm（下一頁(yè)）（下一頁(yè)）可見(jiàn)，可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其厚度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其厚度 l 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是 。221MRJ 21222121d21JJMW由動(dòng)能定理：由動(dòng)能定理：取微分形式：取微分形式：d)21(dd2JJM兩邊除兩邊除dtd
16、tdddJtM由于由于ttdd,dd故得故得JtJMdd 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，：剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合外力合外力矩矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積乘積. . 如果在一個(gè)物體系中，有的物體作平動(dòng)，有的物如果在一個(gè)物體系中，有的物體作平動(dòng)，有的物體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，處理此問(wèn)題仍然可以應(yīng)用隔離法體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，處理此問(wèn)題仍然可以應(yīng)用隔離法. . 但但應(yīng)分清哪些物體作平動(dòng)，哪些物體作轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)分清哪些物體作平動(dòng)，哪些物體作轉(zhuǎn)動(dòng). . 把平動(dòng)物把平動(dòng)物體隔離出來(lái)，按牛頓第二定律寫出其動(dòng)力學(xué)方程；把體隔離出來(lái)，按牛頓第二定律寫出其動(dòng)力學(xué)方程；把定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物
17、體隔離出來(lái)，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫出其動(dòng)力學(xué)方定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體隔離出來(lái)，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫出其動(dòng)力學(xué)方程程. . 有時(shí)還需要利用質(zhì)點(diǎn)及剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公有時(shí)還需要利用質(zhì)點(diǎn)及剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式補(bǔ)充方程，然后對(duì)這些方程綜合求解式補(bǔ)充方程，然后對(duì)這些方程綜合求解. .例例: :一輕繩跨過(guò)一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸一輕繩跨過(guò)一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為有質(zhì)量為m1和和m2的物體，滑輪可視為均質(zhì)圓盤，的物體，滑輪可視為均質(zhì)圓盤， 質(zhì)量質(zhì)量為為m，半徑為，半徑為r，繩子，繩子不可伸長(zhǎng)而且與滑輪之間無(wú)相對(duì)不可伸長(zhǎng)而且與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)滑動(dòng). .求求物體加速度、滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和繩子的張物體加
18、速度、滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和繩子的張力力. .受力圖如下，受力圖如下，T1Fgm1T2F a12mm設(shè)設(shè)T2Fgm2aT1F ormm2m1JrFrFT1T2amFgm2T22amgmF11T1ra 解解: :得解得解,21)(2112mmmgmmarmmmgmm)21()(2112,21)212(21211mmmgmmmFTmmmgmmmFT21)212(21122221mrJ 1）系統(tǒng)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）系統(tǒng)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是桿的轉(zhuǎn)動(dòng)是桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量J1與小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2之和之和.o例例: 一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，一端連接一個(gè)大小可以一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，一端連接一個(gè)大小可
19、以不計(jì)的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)不計(jì)的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng). 某瞬時(shí)細(xì)桿在某瞬時(shí)細(xì)桿在豎直面內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為豎直面內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ，桿與豎直軸的夾角，桿與豎直軸的夾角為為 . 設(shè)桿的質(zhì)量為設(shè)桿的質(zhì)量為 、桿長(zhǎng)為、桿長(zhǎng)為 l，小球的質(zhì)量為小球的質(zhì)量為 .1m2m求：求： 1）系統(tǒng)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；）系統(tǒng)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； 2）在圖示位置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；）在圖示位置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能； 3）在圖示位置系統(tǒng)所受重力對(duì)軸的力矩）在圖示位置系統(tǒng)所受重力對(duì)軸的力矩.gm1gm2解解:l21JJJ22231lmml2231lmm)(2）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：2k21JE2221
20、3121lmm)(3）系統(tǒng)所受重力有桿的重立和小球的重力）系統(tǒng)所受重力有桿的重立和小球的重力.則系統(tǒng)所受重力對(duì)軸的力矩的大小為：則系統(tǒng)所受重力對(duì)軸的力矩的大小為：21MMMglmlgmsinsin221glmmsin)(2121ogm1l預(yù)習(xí)要點(diǎn)預(yù)習(xí)要點(diǎn)認(rèn)識(shí)質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩的定義，認(rèn)識(shí)質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩的定義， 剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩如何計(jì)算量矩如何計(jì)算?剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式是怎樣的怎樣的?1. 動(dòng)量矩守恒定律的內(nèi)容及守恒定律的條件是什么動(dòng)量矩守恒定律的內(nèi)容及守恒定律的條件是什么?1. 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的vvmrprL0v
21、r0L0Lrxyzom 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)以速度的質(zhì)點(diǎn)以速度 在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn) O 的位矢為的位矢為 ，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的動(dòng)量矩（角動(dòng)量）點(diǎn)的動(dòng)量矩（角動(dòng)量）mrvrmLsin0v大小大小 的方向符合右手法則的方向符合右手法則.0L單位單位 或或12smkgsJ 質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩 在某坐標(biāo)軸在某坐標(biāo)軸Oz上的投上的投影影 稱為該質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸稱為該質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸Oz的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩. 質(zhì)點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其對(duì)過(guò)圓心其對(duì)過(guò)圓心O且運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸且運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸Oz的動(dòng)量矩：的動(dòng)量矩： 0LzL000z0cosLLL或或0
22、0zcosLLLmrrmvL20sin又又rmv故得故得mrL2z（取正號(hào)（取正號(hào)LZ與與Oz同向，負(fù)號(hào)反向）同向，負(fù)號(hào)反向）z2. 剛體的剛體的JL Oirimiv 剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都在與軸垂直剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都在與軸垂直的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，剛體對(duì)軸的動(dòng)量矩為其所有質(zhì)的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，剛體對(duì)軸的動(dòng)量矩為其所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一軸的動(dòng)量矩之和點(diǎn)對(duì)同一軸的動(dòng)量矩之和.niiLL1zrmniii12rmniii12)(J即即L為正，其方向沿為正，其方向沿Oz正向，反之沿正向，反之沿Oz負(fù)向負(fù)向.對(duì)剛體組合系統(tǒng)，總動(dòng)量矩為各部分對(duì)同軸動(dòng)量矩之和對(duì)剛體組合系統(tǒng)，總動(dòng)量矩為各部分對(duì)
23、同軸動(dòng)量矩之和.剛體所受的外力矩等于剛體動(dòng)量矩的變化率剛體所受的外力矩等于剛體動(dòng)量矩的變化率.121221dLLJJtMtt將上式變形后積分將上式變形后積分動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理: 作用在剛體上的沖量矩等于剛體動(dòng)量矩作用在剛體上的沖量矩等于剛體動(dòng)量矩的的增量增量.tJMdd由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律tLtJMddd)(dLJtMd)(dd21dtttM表示作用在剛體上的合外力矩的時(shí)間積累表示作用在剛體上的合外力矩的時(shí)間積累, 稱為稱為沖量矩沖量矩.動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩守恒定律: : 當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)受到的當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)受到的合外力矩為合外力矩為零零時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒
24、. .若若 ，0 M花樣滑冰花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水跳水運(yùn)動(dòng)員跳水注意注意1. 1. 對(duì)一般的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，若質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某一定點(diǎn)所受對(duì)一般的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，若質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某一定點(diǎn)所受的合外力矩為零時(shí)，則此質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于該定點(diǎn)的動(dòng)量的合外力矩為零時(shí)，則此質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于該定點(diǎn)的動(dòng)量矩始終保持不變矩始終保持不變. .2. 2. 動(dòng)量矩守恒定律與動(dòng)量守恒定律一樣動(dòng)量矩守恒定律與動(dòng)量守恒定律一樣, ,也是自然界也是自然界的一條普遍規(guī)律的一條普遍規(guī)律. .則則JL常量常量. .moLL0Jmlmlvv0（1 1）0v解：解： 桿和球在豎直方向所受重力和支持力與軸平行，對(duì)桿和球在豎直方向所受重力和支持力與軸平行，對(duì)軸無(wú)力
25、矩；桌面及軸皆光滑，無(wú)摩擦力矩；軸對(duì)桿的軸無(wú)力矩；桌面及軸皆光滑，無(wú)摩擦力矩；軸對(duì)桿的反作用力過(guò)軸也無(wú)力矩反作用力過(guò)軸也無(wú)力矩. .因此，球與桿在碰撞過(guò)程中，因此，球與桿在碰撞過(guò)程中，所受外力矩為零，在水平面上，碰撞過(guò)程中系統(tǒng)角動(dòng)所受外力矩為零，在水平面上，碰撞過(guò)程中系統(tǒng)角動(dòng)量守恒量守恒. .即：即：例：在光滑水平桌面上放置一個(gè)靜止的質(zhì)量為例：在光滑水平桌面上放置一個(gè)靜止的質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為2l、可繞過(guò)與桿垂直的光滑軸中心轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)桿、可繞過(guò)與桿垂直的光滑軸中心轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)桿. .有一質(zhì)量有一質(zhì)量為為m的小球以與桿垂直的速度的小球以與桿垂直的速度 與桿的一端發(fā)生完全彈與桿的一端發(fā)生完全彈性碰撞，求
26、小球的反彈速度性碰撞，求小球的反彈速度 及桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度及桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度.0vv彈性碰撞動(dòng)能守恒彈性碰撞動(dòng)能守恒222212121Jmmvv0（2 2）lmlmJ2231)2(121其中其中mo0v聯(lián)立聯(lián)立(1)、(2)式求解式求解mmm-m3)3(0vvlmmm)3(60v 例例 行星運(yùn)動(dòng)的開(kāi)普勒第二定律認(rèn)為，對(duì)于任一行星運(yùn)動(dòng)的開(kāi)普勒第二定律認(rèn)為，對(duì)于任一行星，由太陽(yáng)到行星的徑矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相行星，由太陽(yáng)到行星的徑矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。試用角動(dòng)量守恒定律證明之。等的面積。試用角動(dòng)量守恒定律證明之。 解解 將行星看為質(zhì)點(diǎn)將行星看為質(zhì)點(diǎn), ,在在dt 時(shí)間內(nèi)以速度時(shí)間內(nèi)以速度 完
27、成的完成的位移為位移為 , ,矢徑矢徑 在在d t 時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積為時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積為dS（圖中陰影）。圖中陰影）。 vtv drtvrSd21d根據(jù)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的定義根據(jù)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的定義 )(vrmvmrl則則tmlSd2dFrrOmtvd矢徑在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積（矢徑在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積（稱為稱為掠面速度掠面速度） mltS2dd 萬(wàn)有引力屬于有心力萬(wàn)有引力屬于有心力, , 行星相對(duì)于太陽(yáng)所在處行星相對(duì)于太陽(yáng)所在處 點(diǎn)點(diǎn)O的角動(dòng)量是守恒的的角動(dòng)量是守恒的, , 即即 = = 恒矢量，故有恒矢量，故有 lmltS2dd恒量恒量 行星對(duì)太陽(yáng)所在點(diǎn)行星對(duì)太陽(yáng)所在點(diǎn)O 的角動(dòng)量守恒，不僅角動(dòng)量
28、的角動(dòng)量守恒，不僅角動(dòng)量的大小不隨時(shí)間變化，即掠面速度恒定，而且角動(dòng)的大小不隨時(shí)間變化，即掠面速度恒定，而且角動(dòng)量的方向也是不隨時(shí)間變化的，即行星的軌道平面量的方向也是不隨時(shí)間變化的，即行星的軌道平面在空間的取向是恒定的。在空間的取向是恒定的。例例 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系于細(xì)繩的一端，繩的另一端縛的小球系于細(xì)繩的一端，繩的另一端縛在一根豎直放置的細(xì)棒上在一根豎直放置的細(xì)棒上, , 小球被約束在水平面內(nèi)小球被約束在水平面內(nèi)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn), , 某時(shí)刻角速度為某時(shí)刻角速度為 1 1，細(xì)繩的長(zhǎng)度為，細(xì)繩的長(zhǎng)度為r1。當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后, , 由于細(xì)繩纏繞在細(xì)棒上由于細(xì)繩纏繞在細(xì)棒
29、上, , 繩長(zhǎng)繩長(zhǎng)變?yōu)樽優(yōu)閞2, , 求此時(shí)小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的角速度求此時(shí)小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的角速度 2。2r1r解解 小球受力小球受力 繩子的張力繩子的張力 , ,指向細(xì)棒；指向細(xì)棒；重力重力 ，豎直向下；支撐力，豎直向下；支撐力 , ,豎直向上。豎直向上。 與繩子平行與繩子平行, , 不產(chǎn)生力矩；不產(chǎn)生力矩； 與與平衡，力矩始終為零。所以平衡，力矩始終為零。所以, , 作用于小作用于小球的力對(duì)細(xì)棒的力矩始終等于零球的力對(duì)細(xì)棒的力矩始終等于零, , 故小故小球?qū)?xì)棒的角動(dòng)量必定是守恒的。球?qū)?xì)棒的角動(dòng)量必定是守恒的。 TFgmNFTFgmNF根據(jù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律根據(jù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律
30、 2211rmvrmv式中式中v1是半徑為是半徑為r1時(shí)小球的線速度時(shí)小球的線速度, , v2是半徑為是半徑為r2時(shí)小球的線速度。時(shí)小球的線速度。 代入上式得代入上式得222121mrmr解得解得12212)(rr 可見(jiàn)可見(jiàn), 由于細(xì)繩越轉(zhuǎn)越短由于細(xì)繩越轉(zhuǎn)越短, , 小球的角速度小球的角速度必定越轉(zhuǎn)越大必定越轉(zhuǎn)越大, 即即 。rr2121222111,rvrv而而 例例 半徑為半徑為R的光滑圓環(huán)上的光滑圓環(huán)上A點(diǎn)點(diǎn)有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m的小球，從靜止開(kāi)的小球，從靜止開(kāi)始下滑，若不計(jì)摩擦力，求小球始下滑，若不計(jì)摩擦力，求小球到達(dá)到達(dá)B B點(diǎn)時(shí)的角動(dòng)量和角速度。點(diǎn)時(shí)的角動(dòng)量和角速度。 解解 小球受重力矩作用，由角動(dòng)量定理小球受重力矩作用，由角動(dòng)量定理：tlmgRMddcostdd2,mRmRvllmRtdd2ABRnFvgm利用初始條件對(duì)上式積分利用初始條件對(duì)上式積分 lgRmll0032dcosd2/12/3sin2gmRl sin2 2RgmRldcosd32gRmll得到得到
3第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)
