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1、第二節(jié) 排列與組合- 備考方向明確 方向比努力更重要復習目標學法指導1. 了解排列、組合的概念.2. 了解排列數(shù)公式、組 合數(shù)公式.3. 會用排列數(shù)公式、組 合數(shù)公式解決一些簡單 的實際問題.弄清所取元素是否考慮順序，熟記排列數(shù)、組合數(shù)公式是基礎,掌握有限制條件的排列、組合問題的常用方法是關鍵._ 矢口識鏈條完善、把散落的知識連起來網(wǎng)絡構建II” II, I排列與組合排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)定義排列:從n個不同元素中取 出m(mWn)個元素，按照一 定的順序排成一列，叫做從 n個不同兀素中取出m個兀 素的一個排列.排列數(shù):從n個不同元素中 取出m(mWn)個元素的所有 不同排列的個數(shù)叫做從n個
2、組合:從n個不同元素中取出m(mW n)個元素合成一組,叫做從n個不 同元素中取出m個元素的一個組 合.組合數(shù):從n個不同元素中取出m(m Wn)個元素的所有不同組合的個 數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個 元素的組合數(shù)不同元素中取出m個元素的排列數(shù)公排列數(shù)公式人二n(n1)(n2)(nm+1)A m組合數(shù)公式式n=n(n - m)=Am = n (n l)(n 2) (n m +1) =nCmn/nAmmm(n - m )m性質(zhì)二nX (n1) X (n2) X AnnX3X2X1二n!;0!=1=1；Co丄，nCmCn - m nn=+CmCmC m-1n+1nn備注n,m WN*且 mWn
3、妬展空回1. 概念(公式)理解(1) 組合與排列問題都是從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的計 數(shù)問題,它們的差別是:排列考慮元素順序,組合不考慮元素順序.(2) A二n(n-1)(n-2)(n-m+1)的右邊第一個因數(shù)為n,后面每個因數(shù) Amn都比前面因數(shù)少1,最后一個因數(shù)是n-m+1,共m個因數(shù)相乘.(3) 公式C = Am體現(xiàn)了組合數(shù)與排列數(shù)的關系.n A mm(4) 當 m,n 較大或?qū)凶帜傅呐帕袛?shù)或組合數(shù)的式子進行變形和證明時，常用公式A”二嚴+或6二寧匕-n (n - m)n mn m 丿！(5) 當m n時,常利用組合數(shù)的性質(zhì)將計算Cm轉(zhuǎn)化為計算Cnm.2nn2. 與排列
4、(數(shù))組合(數(shù))有關的結論Cx=Cynn若 Cx = Cy,貝U x=y 或 x+y二n.(2) =n=AmAm1， Am CmAm *nn1nnm(3) + + + = .Cm C m CmCm C m+1m m+1 m+2n n+1(4) (n+l)! = (n+l) n!,(n+l)!-n!二n n!.(5)kCk=nCk1nn 1溫故知新ll” II 1.若 A3 =10 A3 ,貝 n 等于( B )2nn(A)1 (B)8 (C)9 (D)10 解析：A3 =10 A3，2nn所以 2n(2n-1)(2n-2)=10n(nT)(n-2), 所以 n=8.2若C3 = C4，則n!的
5、值為(C ) n n 3!(n - 3)!(A)1(B)20 (C)35 (D)7解析：由C3 = C4,得n=7,nn可求出 n!= 7 x 6 x 5 x 4! = 7 x 6 x 5 =35.引(n 3)!引4!3 x 2 x 13. 有5張卡片分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5.(1) 從中任取4張,共有種不同取法；(2) 從中任取4張，排成一個四位數(shù),共組成個不同的四位數(shù).答案：(1)5(2)1204. 大廈一層有A,B,C,D四部電梯,3人在一層乘坐電梯上樓，其中2人恰好乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有種.(用數(shù)字作答)解析:先從3人中選擇2人看成一個整體，有C2 =3(種)方法，再
6、將這個3整體和另1個人安排坐四部電梯，有A2=12(種)方法，則不同的乘坐方4式有 3 X 12=36(種).答案:36- 高頻考點突破 在訓練中掌握方法考點一排列的應用問題 【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方 法總數(shù).(1) 選5人排成一排;(2) 排成前后兩排，前排3人，后排4人;(3) 全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾;(4) 全體排成一排，女生必須站在一起;(5) 全體排成一排， 男生互不相鄰. 解:(1)從7人中選5人排列，有 A5 =7X6X5X4X3=2 520(種).7(2) 法一 分兩步完成， 先選 3 人站前排，有A3種方法，余下4人站后排，有
7、A4種方法，74共有 A3 A4 =5 040(種).74法二 （分排問題直排法）前排 3人,后排4 人,可視為7 人排成一排, 其中前3人為前排，后4人為后排,排法有A7=5 040（種）.7（3）法一（特殊元素優(yōu)先法）先排甲，有5種方法，其余6人有A種排6 列方法，共有5X A6 =3 600（種）.6法二（特殊位置優(yōu)先法）首尾位置可安排另6人中的兩人，有人2種排6 法,其他有A5種排法，5共有 A2A5 =3 600（種）.65（4）（捆綁法）將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有&種方4 法，再將女生全排列，有A4種方法，共有A4 A4 =576 （種）.4 44（5）（插空法）先
8、排女生，有A4種方法，再在女生之間及首尾5個空位中4任選3個空位安排男生，有A?種方法，5共有 A4 A=1 440（種）.45反思歸納求解排列應川問題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰兀素看作個整體與其他兀素起排列，冋時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的 元素插在前面元素排列的空檔中定序?qū)τ诙ㄐ騿栴}，可先不考慮順序限制，排列后,再除以定序元問題除法處理素的全排列間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法直接法分排問題按單排處理di移訓練1. 四位男演員與五位女演員(包含女演員甲)排成一排拍照,其中四位
9、 男演員互不相鄰,且女演員甲不站兩端的排法數(shù)為( A )(B) A5 A4 - A4 A45645(D)(A) -2A5 A4 A4 A45 6 4 5 (C)A5A4-2A4 A4 (D)A5 A4 -A4 A45 5 4 4 5 5 4 4A5 A456站在兩端的方法有2 A4 A4，因此所求排法數(shù)為A5A4-2 A4 A4 .故選A.4556452.某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須解析：四位男演員互不相鄰可用插入法，有A5 A4種排法，其中女演員甲排在前兩位， 節(jié)目乙不能排在第一位， 節(jié)目丙必須排在最后一位. 該臺 晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有( B ) (A
10、)36 種 (B)42 種 (C)48 種 (D)54 種 解析：分兩類，第一類：甲排在第一位時，丙排在最后一位，中間4個節(jié)目無限制條件，有A4種排法;第二類：甲排在第二位時,從甲、乙、丙之4外的3個節(jié)目中選1個節(jié)目排在第一位有C1種排法，其他3個節(jié)目有A333種排法，故有Ci A3種排法.依分類加法計數(shù)原理，共有A4 + Ci A3 =42種編33433排方案.考點二組合的應用問題【例2】 有5名男生和3名女生，從中選出5人擔任5門不同學科的課代表， 分別求符合下列條件的選法數(shù):(1) 有女生但人數(shù)少于男生;(2) 某女生一定要擔任語文課代表;(3) 某男生必須包括在內(nèi)， 但不擔任數(shù)學課代表
11、;(4) 某女生一定要擔任語文課代表， 某男生必須擔任課代表， 但不擔任 數(shù)學課代表.解：(1)先選后排.符合條件的課代表人員的選法有G C2 + C4 Ci )種,排5 553列方法有A5種，所以滿足題意的選法有(eg + C4Ci) A5 =5 400(種).555535(2) 除去該女生后，即相當于挑選剩余的7名學生擔任四科的課代表，有A4 =840(種)選法.7先選后排.從剩余的7名學生中選出4名有C4種選法，排列方法有7Ci A4種，所以選法共有C4 Ci A4 =3 360(種).44744(4)先從除去該男生和該女生的6人中選出3人，有C3種選法，該男生6的安排方法有種,其余3人
12、全排列，有A3種，因此滿足題意的選法共33有 C3 Ci A3=360 (種).6 33反思歸納組合問題常見以下兒個題型(1) “含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些 元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩 下的元素中去選取.(2) “至少”或“至多”含有幾個元素的題型:解這類題必須十分重視 “至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解,用直接法 和間接法都可以求解,通常用直接法分類復雜時,考慮逆向思維,用間 接法處理.(3) 名額分配問題:將 n 個名額分給 m 個單位,每個單位至少有一個名 額可以看作將n個相同的小球放入m個盒子里,每個
13、盒子里至少有一 個小球，其放法為將n個小球串成一串從(n-1)個間隙里選(m-1)個 插入隔板，有種放法，即名額分配問題隔板法.n-11.(2018 浙江杭州二中模擬)浙江省高考制度改革以來，學生可以從7 門選考科目(物理、化學、生物、歷史、地理、政治、技術)中任意選取3門作為自己的選考科目.目前報考C學校的A專業(yè)需要選考物 理、技術、化學， 報考 C 學校的 B 專業(yè)需要選考技術、政治、歷史， 同時報考A,B專業(yè)只要考生的選考科目中有一門滿足條件即可報考. 甲同學想報考C學校的A和B專業(yè)，則甲同學選擇選考科目的方法共 有( C )(A)15 種(B)19 種(C)27 種(D)31 種解析:
14、由已知可得，甲同學如果選了技術，那么他只要從剩下的6門科 目中任意選2門即可，此時有C2=15(種)選法若甲同學不選技術，那6么他可以先從物理、化學中選擇1門,再從政治、歷史中選擇1 門,最后從剩下的2門中選擇1門,此時有C1 C1 C1 =8（種）選法;或者同時選222擇物理和化學,再從政治和歷史中選1門,此時有2種選法;或者同時 選擇政治和歷史,再從物理和化學中選1門,也有2種選法.故甲同學 選擇選考科目的方法共有15+8+2+2=27（種），故選C.2. 有 4 位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”“立定跳遠” “肺活量”“握力”“臺階”五個項目的測試,每位同學上、下午各 測試一個
15、項目,且不重復.若上午不測“握力”項目,下午不測“臺階” 項目，其余項目上、下午都各測試1人則不同的安排方式有種.（用數(shù)字作答）解析：（分類討論思想）上午測試安排有A4種方式，下午測試分為：（1）4若上午測試“臺階”的同學下午測試“握力”，其余三位同學有2種 安排方式;（2）若上午測試“臺階”的同學下午不測試“握力”，則該 同學有Ci種安排方式，其余三位同學選1人測試“握力”，有Ci種安排33方式,其余兩人只有1種安排方式,則共有Ci Ci =9（種），因此安排方33式共有 A4 （2+9）=264（種）.4答案：264考點三分組、分配問題【例3】按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分
16、配方式?（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本;（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;（3）平均分成三份，每份2本;(4) 平均分配給甲、乙、丙三人,每人 2本;(5) 分成三份,1 份 4 本,另外兩份每份1 本;(6) 甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外兩人每人得1 本;(7) 甲得1 本,乙得1 本,丙得 4 本. 解:(1)無序不均勻分組問題.先選1本，有C1種選法；6再從余下的5本中選2本，有C2種選法；5最后余下 3 本全選， 有 C3 種選法.3故共有C1 C2 C3 =60(種).653(2) 有序不均勻分組問題. 由于甲、乙、丙是不同的三人，在
17、(1)題基礎上，還應考慮再分配，共有 Ci C2 C3 A3 =360 (種).6 533(3) 無序均勻分組問題.分配方式有 C2C2C2 =15(種).642A33(4) 有序均勻分組問題. 在(3)的基礎上再分配給3個人， 共有分配方式C6C4C2 A3 = C2 C2 C2 =90(種).A33 6 4 23(5) 無序部分均勻分組問題.共有當=15(種).A22(6) 有序部分均勻分組問題. 在(5)的基礎上再分配給3個人， 共有分配方式qgc： A3 =90(種).A232(7) 直接分配問題.甲選1本，有C1種方法;乙從余下的5本中選1本，有C1種方法，余下465本留給丙，有C4
18、種方法，故共有分配方式 Ci C4 =30（種）.4654反思歸納（1）均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問 題的常見題型.解決此類問題的關鍵是正確判斷分組是均勻分組還是 不均勻分組，無序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)，還要充分考慮 到是否與順序有關;有序分組要在無序分組的基礎上乘以分組數(shù)的階 乘數(shù).（2） 分配問題:先將元素分組， 再將各組排列， 或者逐一分配.1 .將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，則不 同的分配方案有（ D ）（A）30 種（B）60 種（C）90 種（D）150 種 解析:5名教師分成3組有2，2，1;3，1，1兩種情況， 第一種情況的
19、分法有C5 C3 =15（種），A22第二種情況的分法有C3 =10（種），5所以5名教師分成3組的分法有15+10=25（種）， 3個組分配到3個班的分法有A3 =6（種），3由分步乘法計數(shù)原理知不同的分配方案有 25X6=150（種）.故選 D.2.某公司有五個不同部門，現(xiàn)有4名在校大學生來該公司實習，要求 安排到該公司的兩個部門，且每個部門安排兩人，則不同的安排方案 種數(shù)為（ A ）(A)60 (B)40 (C)120 (D)240解析：由題意得，先將4名大學生平均分為兩組，共有畢=3(種)不同A 2 的分法，再將兩組安排在其中的兩個部門，共有3X人2 =60(種)不同的5 安排方法.故選 A.
第二節(jié) 排列與組合復習講義
