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1、第三章單元復(fù)習(xí)
一、知識(shí)點(diǎn)梳理
設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則：
1．設(shè)直線所成的角為，則：
2．設(shè)直線與平面所成的角為，則：
3．設(shè)平面所成的二面角的大小為則：
①若，
②若，
二、學(xué)法指導(dǎo)
1． 平面法向量的基本概念．法向量是指與已知平面垂直的向量，它可以根據(jù)選取的坐標(biāo)不同有無(wú)數(shù)多個(gè)，但一般取其中較為方便計(jì)算的．
2． 平面法向量的基本計(jì)算．根據(jù)圖形建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)出已知平面的法向量為(x，y，z)，在已知平面內(nèi)尋找兩條相交直線a，b，并用向量表示它們．由于法向量垂直于平面，則必然垂直這兩條直線，利用垂直向量點(diǎn)乘為零列出方程組．由于有三個(gè)未知
2、數(shù)x，y，z，一般是設(shè)其中一個(gè)為特殊值，求出另外兩個(gè)．
3． 平面法向量的基本應(yīng)用．在求出法向量后，如要證明線面垂直，只需證明要證明的直線平行于該平面的法向量；如要證明面面垂直，只需證明兩個(gè)平面的法向量垂直；如要求直線和平面所成的角，只需求出直線和法向量所成的角(利用向量點(diǎn)乘公式求出這個(gè)家教的余弦值，它和所求的線面角互余)；如要求二面角大小，只需求出兩個(gè)平面的法向量所成的角(同樣利用點(diǎn)乘公式求出這個(gè)角的余弦值，它和所求的二面角的平面角相等或互補(bǔ)，然后只需簡(jiǎn)單判斷二面角是銳角還是鈍角即可)．
4． 關(guān)于空間向量在立體幾何中的應(yīng)用問(wèn)題，其中最主要的計(jì)算都是圍繞平面的法向量展開的．在絕大部分題目
3、中，空間向量是作為數(shù)學(xué)工具來(lái)解決兩類問(wèn)題：一、垂直問(wèn)題，尤其是線面垂直問(wèn)題(面面垂直基本類似)；二、角度問(wèn)題，主要講二面角的平面角通過(guò)兩個(gè)平面法向量所稱的角來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化(線面角與此類似)．而立體幾何中的平行問(wèn)題一般是用基本定理來(lái)進(jìn)行解決的．
三、單元檢測(cè)
(一)填空題(每小題5分，共70分)
1．已知向量，且與互相垂直，則的值是 ．
2．已知，則與的數(shù)量積等于 ．
3．已知向量，則與的夾角為 ．
4．在下列命題中：①若共線，則所在的直線平行；②若所在的直線是異面直線，則一定不共面；③若三向量?jī)蓛晒裁?，則三向量一定也
4、共面；④已知三向量，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為．其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ．
5．直三棱柱中，若，，， 則 ．
6．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，則△BCD是 三角形．
7．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，和分別為和的中點(diǎn)，那么直線與所成角的余弦值是 ．
8．已知向量，若∥，則與的值分別是 ．
9．(如圖)一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都等于1，且它們彼此的夾角都是，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)為
5、 ．
10．已知為夾角，則= ?。?
11．在棱長(zhǎng)為的正方體中，向量與向量所成的角為 ?。?
12．如圖，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若與平面所成的角為，則 ?。?
13．如圖4，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在棱上移動(dòng)，則當(dāng)?shù)扔凇 r(shí)，二面角的大小為．
14．已知正方形的邊長(zhǎng)為4，分別是的中點(diǎn)，平面，且，則點(diǎn)到平面的距離為 ．
(二)解答題(共90分)
15．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
(1)寫出的坐標(biāo)；
(2)求與所成的角的余弦值．
16．在正方體中，如圖分別是的中點(diǎn)，
(1)求證
6、：平面；
(2)．
17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，
側(cè)棱底面，
，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．
(1)證明平面；
(2)證明平面．
18．如圖，四邊形是直角梯形，
，
平面，．
(1)求與平面所成的角余弦；
(2)求平面和平面所成角的余弦．
19．如圖，在三棱錐中，，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，底面．
(1)求證：平面；
(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的大??；
(3)當(dāng)為何值時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心?
20．是平面外的點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，．
(1)求證：平面;
(2)對(duì)于向量，定義一種運(yùn)算：
，
試計(jì)算的絕對(duì)值;說(shuō)明其與幾何體的體積關(guān)系，并由此猜想向量這種運(yùn)算的絕對(duì)值的幾何意義．
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