江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算學(xué)案（無(wú)答案）蘇教版選修2-2

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1、3．2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 理解 結(jié)合多項(xiàng)式的四則運(yùn)算法則，理解并掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則，并能比較兩者的異同；能熟練地運(yùn)用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算． 共軛復(fù)數(shù) 理解 弄清共軛復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部之間的關(guān)系． 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1．預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法； (2)能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算． 2．預(yù)習(xí)提綱 (1)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則： ① 加法法則：______________ ； ② 減法法則：______________ ； ③ 乘法法則：______________ ；復(fù)數(shù)

2、的乘法滿足交換律、結(jié)合律和分配律嗎? ④ 除法法則：______________ ． (2)復(fù)數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律： ① ____________________ ； ② ____________________ ； ③ ____________________ ． (3)我們把實(shí)部相等、虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為________；_____數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身． (4)你能總結(jié)出i的正整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)律嗎? (5)你能寫出方程x3=1的三個(gè)根嗎? (6)閱讀課本第106頁(yè)至第110頁(yè)內(nèi)容，并完成課后練習(xí)． (7)結(jié)合課本第107頁(yè)的例1，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的加法法則和減法

3、法則；結(jié)合課本第107頁(yè)的例2，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的乘法法則，體會(huì)復(fù)數(shù)的乘法滿足結(jié)合律；結(jié)合課本第107頁(yè)的例3，進(jìn)一步運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法法則，體會(huì)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)x2＋y2進(jìn)行分解因式；結(jié)合課本第108頁(yè)的例4，體會(huì)方程x3=1的三個(gè)根的相互關(guān)系；對(duì)于課本第109頁(yè)的例5，解法1是運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法法則，解法2是使分母“實(shí)數(shù)化”，將復(fù)數(shù)除法化歸為復(fù)數(shù)乘法，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)，并將兩種解法作比較． 3．典型例題 (1)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算 兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加(減)． 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算是一種規(guī)定，減法是加法的逆運(yùn)算．復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算可類比多項(xiàng)式的加減運(yùn)算，但不是多項(xiàng)式運(yùn)算的合情推理，而是

4、一種新的規(guī)定，它是數(shù)學(xué)建構(gòu)過(guò)程中的重要組成部分，運(yùn)算時(shí)可類比多項(xiàng)式合并同類項(xiàng)法則來(lái)理解和記憶． 例1 計(jì)算(2＋3i)＋(4－5i)－ (－2－i)的值． 解：原式=(2＋4＋2)＋(3－5＋1)i=8－i． (2)復(fù)數(shù)的乘法與乘方 復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則： 乘法運(yùn)算律：；(3)；(4)；(5)；(6) 例2 計(jì)算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)()3；(3)()6＋()6． 分析：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算相類似，先兩兩結(jié)合展開，利用化簡(jiǎn)后， 在再將復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部合并；而乘方運(yùn)算應(yīng)注意合理利用一些常用且有效的結(jié)論來(lái)處理． 解：(1)原式=(11

5、－2i)(－2＋i)=； (2)原式== －1； (3)原式=＋= －2． 點(diǎn)評(píng)：在運(yùn)算過(guò)程中，注意運(yùn)用常用技巧及規(guī)律，如有關(guān)復(fù)數(shù)的方冪： ①i的周期性：i4n＋1=i；i4n＋2= －1；i 4n＋3= －i；i4n=1()； ②若，則，1，1＋0． (3)共軛復(fù)數(shù) 共軛復(fù)數(shù)的定義：實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)． 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：① ；② ；③ 對(duì)于復(fù)數(shù)z，z是實(shí)數(shù)；④ 若z為純虛數(shù)，則． 例3 已知復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù)，求m的值． 分析：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義知：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)． 解：由是共軛復(fù)數(shù)得： 解得：從而m=1． 即m=1

6、時(shí)，是共軛復(fù)數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：共軛復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)集中比較重要且具有獨(dú)特性質(zhì)的復(fù)數(shù)，應(yīng)準(zhǔn)確把握它的代數(shù)特征：虛部互為相反數(shù)． 例4 已知f(z)=2z＋－3i，f(＋i)=6–3i，求f(－z)的值． 分析：先利用f(z)=2z＋－3i，f(＋i)=6–3i，得到復(fù)數(shù)z滿足的等式，然后設(shè)z=a＋bi ()，利用復(fù)數(shù)相等得到關(guān)于實(shí)數(shù)a，b的方程組，解方程組即可． 解： f(z) = 2z＋－3i， f(＋i)==． 又f(＋i)=6–3i，=6– 3i，即=6－i． 設(shè)，則， ，即3a－bi=6－i． 由復(fù)數(shù)相等的定義知：解得：z=2＋i． f(－z)=2(－2－i)＋(－2＋i)－

7、3i= －6－4i． 點(diǎn)評(píng)：本題中要求f(－z)的值關(guān)鍵先求出z，求復(fù)數(shù)z時(shí)通常設(shè)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)相等的定義將問題實(shí)數(shù)化，從而使問題得到解決． (5)復(fù)數(shù)的除法 滿足(c＋di)(x＋yi)=(a＋bi)的復(fù)數(shù)x＋yi(x，y∈R)叫復(fù)數(shù)a＋bi除以復(fù)數(shù)c＋di的商，記為：(a＋bi)(c＋di)或者． 一般地，我們有==． 例5 已知，求實(shí)數(shù)a，b． 分析：要求兩個(gè)未知數(shù)的值，必須列出兩個(gè)方程，這可以由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件而得到．因此我們先得將已知等式變形． 解：已知左邊==， 右邊=， 所以=5－6i． 由復(fù)數(shù)相等的定義知： 點(diǎn)評(píng)：該例解答是否簡(jiǎn)便關(guān)鍵在于采取的變形

8、方法．表面上看對(duì)已知等式作如下的變形：，再施行復(fù)數(shù)運(yùn)算較為簡(jiǎn)便．但事實(shí)上不如上述解答簡(jiǎn)捷．這是因?yàn)橐阎降淖筮叺姆质讲⒎请s亂無(wú)章的，只要我們仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)按一定規(guī)律排列的關(guān)于a，b對(duì)稱的式子，因此就得到如此簡(jiǎn)捷的解法． 4．自我檢測(cè) (1)(1－2i)–(2–3i)＋(3–4i)－…＋(2020－2020i)=______________． (2)已知復(fù)數(shù)滿足則復(fù)數(shù) ______________． (3)設(shè)，且為正實(shí)數(shù)，則______________． (4)復(fù)數(shù)______________． (5)復(fù)數(shù)______________． 三、課后鞏固練習(xí) A組 1．

9、若,其中為虛數(shù)單位,則_______. 2． 計(jì)算:=_______(i為虛數(shù)單位). 3． 若復(fù)數(shù)滿足,則_______. 4． 設(shè),,則的值為____. 5． 若復(fù)數(shù)z滿足，則z=______________． 6．已知，那么實(shí)數(shù)______________． 7．如果復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)______________． 8．若，其中a、b∈R，則=______________． 9．6=______________． 10．設(shè)則復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件是______________． 11．設(shè)復(fù)數(shù)：z1=1＋i，z2=x＋2i(x∈R)，若z1 z2為實(shí)數(shù)，則x= _____

10、_________． 12．若復(fù)數(shù)滿足方程，則______________． 13．分解為一次式的乘積為______________． 14．復(fù)數(shù)－7＋24i的平方根為______________． 15．已知復(fù)數(shù)z滿足(＋3i)z＝3i，則z=______________． 16．已知復(fù)數(shù)，則______________． 17． 表示為a＋bi(a，b∈R)，則a＋b= ． 18．計(jì)算：(1)； (2)； (3)1＋； (4)； (5) ； (6)； (7)； (8)； (9)

11、． 19．計(jì)算： (1) (1－i)＋(2－i3)＋(3－i5)＋(4－i7)； (2) (－i)2＋(＋i)2； (3) (a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)． 20．計(jì)算： (1)； (2)； (3) ． B組 21．復(fù)數(shù)z＝i＋i2＋i3＋i4的值是______________． 22．已知，則z100＋z50＋1=______________． 23．i1i2i3i4…i2001= ，(1－i)11的實(shí)部為 ，2001的虛部為 ． 24．已知是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則=______________． 25．復(fù)數(shù)

12、為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)為_____ ． 26．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部是_________． 27.已知復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的虛部為，是實(shí)數(shù)，則=———． 28．復(fù)數(shù)的虛部是______________． 29．若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為______________． 30．已知其中m，n是實(shí)數(shù)，則___________． 31．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是______________． 32．復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則____________ ． 33．若，則復(fù)數(shù)=__________ ． 34．設(shè)z1=2＋3i，z2=4－5i，則= ______________． 35．若復(fù)數(shù)同時(shí)滿足－＝2，＝，則=

13、______________． 36．設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是，若z＋=4，z·＝8，則=______________． 37．設(shè)，已知z2的實(shí)部是，則z2的虛部為 ． 38．若f(z)=，z1=3＋4i，z2=－2＋i，則的值為______________． 39．設(shè)為實(shí)數(shù)，且，求的值． 40．已知x，y∈R，復(fù)數(shù)(3x＋2y)＋5xi與復(fù)數(shù)相等，求x，y的值． 41．已知復(fù)數(shù)z=1＋i，求實(shí)數(shù)a，b，使． 42．已知，．設(shè)，且，求． C組 43．已知求． 44．已知關(guān)于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i=0(x，y∈R)． (1)當(dāng)方程有實(shí)根

14、時(shí)，求點(diǎn)(x，y)的軌跡方程； (2)求方程實(shí)根的取值范圍． 45．求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)： (1)是實(shí)數(shù)，且1＜≤6； (2)z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)． 46．設(shè)z為虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，且－1＜w＜2，若設(shè)z=a＋bi(b≠0)． (1)求a2＋b2的值，及a的取值范圍； (2)設(shè)，求證：u為純虛數(shù)； (3)求w－u2的最小值． 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 1～30，39 能熟練地運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算． 共軛復(fù)數(shù) 31～38， 40～42 弄清共軛復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部之間的關(guān)系，會(huì)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)解題． 綜合問題 43～46 注意復(fù)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用以及復(fù)數(shù)與其它知識(shí)的綜合． 四、學(xué)習(xí)心得 五、拓展視野 如果a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，那么關(guān)于x的方程：x2＋(a＋bi)x＋(c＋di)=0有實(shí)根的充要條件是什么?下面是某同學(xué)給出的解法： 由題意知x∈R，且x2＋ax＋c＋(bx＋d)i=0， ∴ 由(2)得，代入(1)得d2－abd＋b2c=0． 以上解法是否正確?請(qǐng)給出你的評(píng)價(jià)．