江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 因式分解學(xué)案 蘇教版必修1

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1、因式分解 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 因式分解 公式法 掌握 熟悉因式分解的常用方法，會(huì)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸庖蚴? 分組分解法 拆項(xiàng)添項(xiàng)法 換元法 十字相乘法 求根法 待定系數(shù)法 二、 預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1． 預(yù)習(xí)目標(biāo) ⑴通過(guò)復(fù)習(xí)初中所學(xué)的整式乘法公式，推出立方和、立方差等公式； ⑵回顧并總結(jié)已學(xué)的因式分解的概念和一些基本的方法．如(公式法、分組分解法、提取公因式法等) ． 2． 預(yù)習(xí)提綱 (1) 高中代數(shù)學(xué)習(xí)中常用公式： 我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式： ①平方差公式 ； ②完全平方公式 ．

2、我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式： ①立方和公式 ______________； ②立方差公式 ______________； ③三數(shù)和平方公式 _________________； ④兩數(shù)和立方公式 ______________________； ⑤兩數(shù)差立方公式 ______________________． 對(duì)上面列出的五個(gè)公式，請(qǐng)同學(xué)們補(bǔ)充完整． 公式應(yīng)用如(1)計(jì)算：． 解法一：原式＝ ＝ ＝． 解法二：原式＝ ＝

3、 ＝． 再如；已知，，求的值． 解： ． 點(diǎn)評(píng)：以上兩道例題關(guān)鍵是要對(duì)一些整式的乘法公式非常熟悉． (2) 因式分解的常用方法： 提取公因式法 十字相乘法 分組分解法 求根法 待定系數(shù)法 拆項(xiàng)、添項(xiàng)法 掌握以上這些方法的特點(diǎn)，技巧等． 3． 典型例題 (1) 提取公因式法 例1 把下列式子分解因式： (1)； (2). 解：(1)＝． (2)＝＝ ＝． 點(diǎn)評(píng)：通過(guò)觀察整式中的公因式，及時(shí)進(jìn)行提取公因式來(lái)分解因式． (2) 十字相乘法 例2 分解因式：(1)； (2)； (

4、3)； (4)； (5)． 分析：學(xué)習(xí)十字相乘法，能熟練運(yùn)用十字相乘法分解因式． 解：(1)如圖1－1，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項(xiàng)，所以，有 －ay －by x1= x2 O y x x2 x1 O －by 1 1 圖1－3 4 －3 1 2 圖1－2 x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． －1 －2 1 1 圖1－1 (2)由圖1－2，得 2x2＋5x－12＝(x＋4)(2x－3)． (3

5、)由圖1－3，得 ＝． (4)＝． (5) ． 點(diǎn)評(píng)：十字相乘的關(guān)鍵在于要會(huì)熟練的把常數(shù)項(xiàng)分解然后再交叉相乘求和這一過(guò)程．因?yàn)閷?duì)于系數(shù)較大，分解種類(lèi)較多的問(wèn)題就需要多次嘗試． (3) 分組分解法 例3 分解下列因式：(1)；(2)； (3)；(4)． 分析：思路突破：分別運(yùn)用提取公因式法、公式法、分組分解法求解． (1)思路一：從次數(shù)的角度看，可以將x2與y2，2x與2y合并，分組分解． 思路二：從合并同類(lèi)字母的角度看，可以將x2,2x；y2,2y分組后再分解． (2)從次數(shù)角度看2a2與－a2b，bc2與－2ac分組分別都可以分解因式，但它們之間沒(méi)有公因式，

6、從數(shù)字角度看可以將2a2與－2ac，bc2與－a2b分組，再分解因式． (3)先分組再分解，也可利用公式法(立方和公式與和的立方公式)分解因式． 解：(1)解法一： ． 解法二： ． (2) ． (3)解法一: ＝ ＝＝． 解法二：＝＝＝ ＝＝． (4)解法一：＝． 解法二：． (4) 求根法 例4 把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：(1)；(2)． 分析：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2＋bx＋c(a≠0)的因式分解可用公式法求解，也可用求根法求解，即若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為． 解：(1)解法一：＝(x＋1

7、)2－2＝． 解法二：令＝0，則解得，， ∴＝ ＝． 點(diǎn)評(píng)：解法一其實(shí)是利用配方法求根，解法二是利用了求根公式． (2)解法一： ． 解法二：令＝0， 則解得，， ∴＝． 點(diǎn)評(píng)：在用求根法分解類(lèi)似“”這類(lèi)式子時(shí)，求根的方法一般可以采用配方法和求根公式法． (5) 待定系數(shù)法 例5 分解因式：． 分析：通過(guò)觀察我們可以發(fā)現(xiàn) 當(dāng)取時(shí)，上式為0，因此可知為上式的一個(gè)因式．因此可設(shè)． 解：根據(jù)已知條件，設(shè) ，，， 則．， 由此可得 解之得， ＝． 點(diǎn)評(píng)：此題先是試根，然后根據(jù)先有的因式再用待定系數(shù)法求解． (6) 拆項(xiàng)、添項(xiàng)法 例6 分

8、解因式：．． 分析：本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧． 解：解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成－1＋9． 原式＝ x3－9x－1＋9＝(x3－1)－9x＋9＝(x－1)(x2＋x＋1)－9(x－1) ＝(x－1)(x2＋x－8)＝． 　　 解法2 將一次項(xiàng)－9x拆成－x－8x． 原式＝ x3－x－8x＋8＝(x3－x)＋(－8x＋8)＝x(x＋1)(x－1)－8(x－1) ＝(x－1)(x2＋x－8)＝． 　　 解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x3－8x3． 原式＝9x3－8x3－9x＋8＝(9x3－9x)＋(－8x3＋8) ＝9x(

9、x＋1)(x－1)－8(x－1)(x2＋x＋1) ＝(x－1)(x2＋x－8)＝． 　　 解法4 添加兩項(xiàng)－x2＋x2． 原式＝ x3－9x＋8＝x3－x2＋x2－9x＋8＝x2(x－1)＋(x－8)(x－1) ＝(x－1)(x2＋x－8)＝． 點(diǎn)評(píng)：由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種． 4． 自我檢測(cè) (1)若是一個(gè)完全平方式，則等于___________________． (2)若是一個(gè)完全平方式，則________． (3)填空：

10、 ①( )； ② ； ③ ． (4)分解因式： ① ； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ ． 三、課后鞏固練習(xí) A組 1．將下列多項(xiàng)式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)

11、． 2．把下列各式分解因式： (1) ； (2)； (3)； (4)． 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) x2＋x－(a2－a)． 4．分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4)； (5)； (6) ． 5．已知a＋2b＝3，求a2＋2a＋4b2＋4b＋4ab－3的值． B組 6.在整數(shù)范圍內(nèi)分解因式： (1；

12、 (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； ． 7.在整數(shù)范圍內(nèi)分解因式： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 8．在整數(shù)范圍內(nèi)分解因式： ； ； ； ； (5)； (6)； (7)； (8)； (9) ；

13、 (10)； ； ； ． C組 ； ； ． 10．三邊，，滿足，試判定的形狀． 11．已知多項(xiàng)式可以分解為的形式，求的值． 12．為何值時(shí)，多項(xiàng)式有一個(gè)因式是． 13．如果有兩個(gè)因式，則=__________． 14．已知是多項(xiàng)式的因式，則_____；_____． 15．已知是的一個(gè)因式，求的值． 16．為何值時(shí)，多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積． 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 形如的多項(xiàng)式的分解 形如的多項(xiàng)式的分解，常用的方法有：求根法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法和雙零分解法．當(dāng)然結(jié)合多項(xiàng)式的特點(diǎn)可以采用靈

14、活的方法，如若已知它的一個(gè)因式，可用分析二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的方法，較容易的求得．現(xiàn)舉例說(shuō)明： 方法一、求根法 利用求根法因式分解，形如的二元二次多項(xiàng)式可看成關(guān)于(或)的一元二次多項(xiàng)式．用求根公式求出兩根，則原式＝．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，原多項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式，必須是關(guān)于的方程的判別式是的一次式的完全平方式，為此這個(gè)判別式的判別式必須是0． 例1 為何值時(shí)，能分解成兩個(gè)一次式的乘積，并進(jìn)行分解． 分析：把上面的多項(xiàng)式看成的一元二次式，令這個(gè)一元二次式為0，解出的兩個(gè)值，則原式＝6，這里只須研究何值時(shí)，是的一次式即可． 解：設(shè)＝0，把此式看成關(guān)于的一元二次方程，則該方程的判別式：　， 要使方程

15、的解為的一次式，必須為完全平方式，那么判別式的判別式必須是零． ＝，∴ (1)當(dāng)時(shí)，由解得 則原式＝＝ (2)當(dāng)時(shí)，由解得 則原式＝ 練習(xí)：把分解因式　 答案：原式＝ 方法二：待定系數(shù)法 用待定系數(shù)法因式分解的一般步驟： 1.根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，確定所能分解成的形式．要盡量減少待定系數(shù)的個(gè)數(shù)，以利求解． 2.利用多項(xiàng)式恒等定理，列出以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程或方程組． 3.解方程組，如方程或方程組有解，則原式可以分解為所設(shè)的形式；如果無(wú)解，則原方程組不能分解為所設(shè)的形式． 如果方程組有解，把解得的待定系數(shù)的數(shù)值代入所設(shè)的分解式中． 例2 為何值時(shí)，多項(xiàng)式可分解為兩個(gè)一

16、次因式的積． 分析：先設(shè)可分解成兩個(gè)一次式，原式中的是的項(xiàng)未知系數(shù)．為使待定系數(shù)盡量少，可先考慮，所以可設(shè)：原式＝，也可以先考慮，所以可設(shè)：原式＝，這里只解前者． 解：設(shè)＝ ∵＝ ∴＝ 由兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得：　，解此方程組得或　 ∴當(dāng)時(shí)，原式可分解為＝； 當(dāng)時(shí)，原式可分解為= 練習(xí)：為何值時(shí)，能分解成兩個(gè)一次式的乘積，并進(jìn)行分解． 答案：解得或∴原式可分解為＝或 ＝ 說(shuō)明：上面方法是常用的兩種方法，特別是求待定系數(shù)很有效；不含待定系數(shù)的也可用雙十字相乘法． 方法三、雙十字相乘法 雙十字相乘法即運(yùn)用兩次十字相乘法，第一次運(yùn)用十字相乘法將多項(xiàng)式中的二次齊次式分解因式，

17、然后再運(yùn)用一次十字相乘法． 其理論依據(jù)：若可分解為 ，則當(dāng)時(shí)，＝ 例3 把分解因式． 解：可先用十字相乘法，把分解， ，然后再用十字相乘法 ，于是原式＝． 練習(xí)：分解因式　　答案：原式＝ 方法四、雙零分解法 理論依據(jù)：若可分解為，則當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)有．因此在分解上述二元二 次多項(xiàng)式時(shí)，可令得關(guān)于的二次三項(xiàng)式分解為；再令得關(guān)于的二次三項(xiàng)式并分解為；注意這里兩分解式中的常數(shù)項(xiàng)應(yīng)相同，如果不同就要變形使其相同．這時(shí)有＝． 例4 分解因式 解：令有＝； 令有＝ 所以有＝ 練習(xí)：分解因式　　 答案：原式 方法五：分析二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)法 若已知它的一個(gè)因式，可用分析二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的方法，較容易的求得． 例5若多項(xiàng)式有一個(gè)因式，則另一個(gè)因式為_(kāi)____________． 解：由于多項(xiàng)式有一個(gè)因式，且原式二次項(xiàng)中含有和，所以另一個(gè)因式中必有一次項(xiàng)；同時(shí)原式常數(shù)項(xiàng)中有－3，所以另一個(gè)因式中應(yīng)有常數(shù)項(xiàng)－1．綜上所述：原多項(xiàng)式的另一個(gè)因式為 練習(xí)：多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求它的另一個(gè)因式。 答案：＝