江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.4向量的數(shù)量積學(xué)案 蘇教版必修4

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1、2.4 向量的數(shù)量積 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 了解 結(jié)合物理中的功等概念理解向量的數(shù)量積概念 數(shù)量積的坐標(biāo)表示 掌握 利用數(shù)量積表示兩個向量夾角的余弦 理解 用數(shù)量積判斷兩個非零向量是否垂直 了解 二、 預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1. 預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)理解兩個向量的數(shù)量積的概念及其幾何意義，掌握兩個向量夾角的概念，通過數(shù)量積的概念和運(yùn)算解決有關(guān)的幾何問題； (2)掌握平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式；通過平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，推出平面上兩點(diǎn)之間的距離公式并解決一些問題．　 2. 預(yù)習(xí)提綱 (1)復(fù)習(xí)平面向量的

2、加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算． (2)閱讀課本P76-80，弄清以下內(nèi)容：①向量的數(shù)量積定義；②向量的夾角；③向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律；④的幾何意義；⑤平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；⑥平面向量的模及平方的坐標(biāo)表示；⑦兩點(diǎn)間的距離公式；⑧向量的夾角公式；⑨向量垂直的等價條件. (3)閱讀課本P76-80例題. 例1講了數(shù)量積的計算，直接利用數(shù)量積公式=． 例2講了數(shù)量積的坐標(biāo)表示，除了書上的解法，還可以先計算出、這兩個向量的坐標(biāo)表示，在計算它們的數(shù)量積． 例3在直線上任取兩個，構(gòu)成一個向量，稱為直線的方向向量，本例就是利用求兩條直線的方向向量的夾角，間接求直線的夾角． 例4用到了分類討論的數(shù)學(xué)

3、思想方法． 3. 典型例題 (1) 平面向量數(shù)量積的概念及幾何意義 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量而不是一個向量.向量夾角的定義強(qiáng)調(diào)共起點(diǎn),對數(shù)量積的運(yùn)算律要熟練掌握. 例1 已知=3，，與的夾角為，求： (1)·；(2)；(3)；(4) ；(5) . 分析：由條件可獲得以下信息：已知向量的模及夾角，所求的問題涉及， ，還涉及平方差公式、多項式與多項式乘法法則. 解：(1) =； ； (3)； (4)； (5)= . 點(diǎn)評：此類題目要充分利用有關(guān)的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的問題，特別靈活運(yùn)用.尤其是求解模問題是一般利用轉(zhuǎn)化為求模的平方. 例2 (1)設(shè)||=12，||=9 ，

4、=-54 求與的夾角θ； (2)已知向量與的夾角為120°，且||＝4，||＝2．如果向量＋k與5＋垂直，求實(shí)數(shù)k的值； (3)已知都是非零向量，且與垂直，與垂直，求的夾角的大小． 分析：考查向量數(shù)量積公式的逆用及向量垂直的條件. 解：(1)cosθ== ∵0°＜θ＜180° ∴θ=1350． (2)由題意=||||cos120°=4×2×(-)=-4， ∵(＋k)⊥(5＋)，∴(＋k)(5＋)=0， 即 52＋(5k＋1) ＋k2＝０，∴5||2＋(5k＋1)(-4)＋k||2＝0， ∴5×16-(20k＋4)＋4k=0，∴k=． (3)因?yàn)榕c垂直，與垂直， ，

5、(1)-(2)得：(3) 將(3)代入(1)得即． 又∵0°＜θ＜180° ， ∴θ=600． 點(diǎn)評：求向量夾角的問題應(yīng)用數(shù)量積的變形公式，故應(yīng)求兩個整體與；(2)轉(zhuǎn)化垂直條件建立參數(shù)k的方程，此題中利用例1數(shù)量積計算公式及重要性質(zhì)；本題(3)中為求兩整體或?qū)で髢烧哧P(guān)系，轉(zhuǎn)化條件解方程組，特別注意向量夾角范圍． 例3 已知向量=(4，-2)，＝(6，-3)，記與的夾角為．求： (1)；(2)的大?。?3)|2-3|；(4)(2-3)(＋2)． 分析：設(shè)，則， cos== 解：(1)＝4×6＋(-2)×(-3)＝30； (2)cos==，又因?yàn)椋?0； (3)方法一

6、：|2－3|＝ ＝ 　　　　 ＝； 方法二： ||=； (4)方法一：(2－3)(＋2)=22＋－62 =2×[42＋(-2)2]＋[4×6＋(-2)(-3)]-6[62＋(-3)2]=40＋30-270＝-200． 方法二：=(-10，5)，＋2=(4，-2)+2(6，-3)=(16，-8) ()(＋2)=(-10，5)(16，-8)= -160-40= -200． 點(diǎn)評：此類問題是有關(guān)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，在靈活應(yīng)用基本公式的前提下要認(rèn)真細(xì)心，特別注意向量夾角的范圍． 例4 在中,D是邊BC邊上一

7、點(diǎn),DC=2DB,求． 分析：若由定義求解則要求解三角形，計算比較復(fù)雜，所以，思路一：轉(zhuǎn)化為與的內(nèi)積計算．思路二：建系利用坐標(biāo)運(yùn)算． 解：方法一： = 方法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則,,,, 由,設(shè), 則，得D() ． 4. 自我檢測 (1)已知,,,則向量與向量的夾角＝ ． (2)已知,,當(dāng)(1)；(2)；(3)與的夾角為60°時，分別求 與的數(shù)量積． (3)已知與共線，且與垂直，則m+n值為 ． (4)已知,,則32－2等于 ． (5)點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是△ABC

8、的 心． 三、 課后鞏固練習(xí) A組 1．已知向量和向量的夾角為，，則向量和向量的數(shù)量積= ．2．已知||＝||＝1，且(2-)(3－2)＝8，則與的夾角為 ． 3．在中，，，是邊的中點(diǎn)，則　　　?。? 4．設(shè)，，是任意的非零向量，且相互不共線，則有下列命題： ①()－()＝0 ； ②||－|| < |－|； ③()－()與不垂直； ④(3＋2)(3－2)＝9||2－4||2． 這些命題中，是真命題的有　　　　　． 5．在△ABC中，若<0，則△ABC的形狀一定是_________三角形． 6．已知向量夾角為 ，且；則

9、 ． 7．已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足||=3, =4, ||=5，則 的值等于________． 8．在中,M是BC的中點(diǎn)，AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足,則等于________． 9．已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且,則點(diǎn)O，N，P依次是的 ．(選用重心、外心、垂心、內(nèi)心填空 ) 10．已知向量=(－1，2)，=(3，m)，且⊥，則m的值為__ __． 11．已知+=(2，-8)，-=(-8，16)，則＝______，與的夾角的余弦值是_______． 12．已知向量，，，則=_______． 13．已知向量，．若向量滿足

10、∥，，則______．14．已知點(diǎn)A(-2，-3)，B(19，4)，C(-1，-6)，則△ABC的形狀是是　 　　　?。? 15．設(shè)＝(x，2)，＝(－3，5)，且與的夾角是鈍角，則x的取值范圍是　　　?。? 16．已知=(-3，2)，=(1，2)，=+k，=3－，若//，則k=_____；若⊥，則k=__________． B組 17．已知和是互相垂直的單位向量，且＝3＋2，＝－3＋4，求． 18．設(shè)||=，||=1，且與的夾角為45°，向量=+，=-，試求與的夾角的余弦值． 19．已知||＝||＝1，|3－2|＝3，求|3＋2|的值． 20．已知向量,的夾角為60°,且(＋

11、3)⊥(7－5)，求證：(－4)(7－2)＝0． 21．設(shè)向量＝(3，1)，向量＝(－1，2)，向量⊥，向量//，若＋＝，求D的坐標(biāo)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))． D C A B 22．如圖，在四邊形中，， ，， 則的值為__________． 23．在平面四邊形中，若，，則的值為 ． 24. 如圖,在矩形中,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上,若,則的值是__ __. 25．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是弧AB的三等分點(diǎn)， M、N是線段AB的三等分點(diǎn)，若OA=6，的 值是____________． 26．已知直角梯形中，,,,是腰上的動點(diǎn)，則的最小值為_____

12、_______. 27.已知正方形的邊長為1,點(diǎn)是邊上的動點(diǎn),則的值為________;的最大值為________. C組 28．直角坐標(biāo)系中，分別是與軸正方向同向的單位向量．在直角三角形 中，若，則的可能值個數(shù)是 ． 29．設(shè)向量，滿足：||=3，||=4，=0．以，，-的模為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為的圓的公共點(diǎn)個數(shù)最多為 ． 30．設(shè)，，是單位向量，且＝0，則的最小值為 ． 31．(1)在矩形中，邊、的長分別為2、1，若、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是 ． (2).在

13、平行四邊形中,, 邊的長分別為2、1. 若分別是邊上的點(diǎn),且滿足,則的取值范圍是_________ . 32. 對任意兩個非零的平面向量和，定義. 若兩個非零的平面向量，滿足與的夾角，且和都在集合中，則= . 33．如圖，設(shè)向量與的夾角為60°，且||>||．是否存在滿足條件的，，使|+|＝2|-|？請說明理由． 34．在直角中，已知BC=，若長為2的線段PQ以A為中點(diǎn)，問與的夾角取何值時，的取值最大？并求出這個最大值． 知識點(diǎn) 題號 注意點(diǎn) 平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的轉(zhuǎn)化，與數(shù)量積的坐標(biāo)表示相關(guān)的計算問題，如求兩個向量的夾角，判

14、斷兩個非零向量是否垂直 數(shù)量積的坐標(biāo)表示 數(shù)量積的應(yīng)用 數(shù)量積與其他知識的綜合 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 平面向量的數(shù)量積·是一個非常重要的概念，利用它可以容易地證明平面幾何的許多命題，例如勾股定理、平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和、菱形的對角線相互垂直、長方形對角線許多、正方形的對角線垂直平分等．你給出具體的證明嗎？你能用向量運(yùn)算推導(dǎo)關(guān)于三角形、四邊形、圓等平面圖形的一些其他性質(zhì)嗎? 2.5 向量的應(yīng)用 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 向量是一種處理幾何、物理等問題的工具 了解 結(jié)合實(shí)

15、際背景解決問題 二、 預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1. 預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)了解向量的加法與物理中力的合成、速度的合成之間的聯(lián)系，經(jīng)歷用向量方法解決物理中有關(guān)問題的過程； (2)體會向量是一種數(shù)學(xué)工具，掌握用向量方法解決某些簡單的幾何問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力．　 2. 預(yù)習(xí)提綱 (1)物理中，如果力F與物體位移s的夾角為，那么F所做的功W=． (2)證明直線平行或三點(diǎn)共線常用向量共線定理；證明垂直常證兩個向量的數(shù)量積為0；求向量的夾角常用公式cos==． (3)思考：向量可以解決哪些常見的幾何問題和物理問題？解決這些問題的基本步驟是什么？ 3. 典型例題 (1) 利用向量解決物理中

16、有關(guān)的力、速度問題 向量是既有大小，又有方向的量，物理中的很多量都是向量，如力、速度、加速度等.用向量解決物理問題的方法：把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，抽象成數(shù)學(xué)模型，對這個數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，進(jìn)而解釋相關(guān)物理現(xiàn)象. 例1 如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸．已知船的速度||=10km/h，水流的速度||=2km/h，問行駛航程最短時，所用的時間是多少(精確到0.1min)？ 分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時間最短．考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對岸． 解：= (km/

17、h)， 所以，(min)． 答：行駛航程最短時，所用的時間是3.1 min． 點(diǎn)評：上述問題中涉及速度等物理量，可根據(jù)平面向量的基本定理和物理問題的需要，把分解為水平方向和豎直方向兩個不共線的向量，再利用運(yùn)動學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型，最后利用向量的知識求解. (2) 利用向量解決平面幾何中有關(guān)的問題 向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，因而向量方法是幾何研究的一個有力的工具.在運(yùn)用向量方法解決平面幾何問題時，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題是關(guān)鍵.對具體問題是選用向量幾何法還是選用向量坐標(biāo)法是難點(diǎn)，利用向量坐標(biāo)法會給解決問題帶來方便. 例2 求證△ABC的三條高相交于一點(diǎn).

18、證明：設(shè)△ABC的AB、AC邊的高分別為CF，BE，它們交于點(diǎn)H，連接AH(如圖)， 設(shè)，, 則 ∵CH⊥AB，BE⊥AC ∴ 即 兩式相減得，即 ∵ ∴BC⊥AH，即三角形三條高相交于一點(diǎn). 例3 如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交與R、T兩點(diǎn)，證明：AR=RT=TC. 解：設(shè)， 則. 由于與共線，所以設(shè). 又因?yàn)椋c共線，設(shè)= 因?yàn)?+，所以. 因此，即. 由于向量不共線，要使上式為，則有，解得. 所以=.同理=. 所以AR=RT=TC. 點(diǎn)評：本題中由于R、T是對角線AC上兩點(diǎn)，要證AR=RT

19、=TC，只需證明AR、RT、TC都等于即可. 4. 自我檢測 (1)一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個力(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為 ． (2)已知，，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為 ． (3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點(diǎn)A(－2，0)，B(6，8)，C(8,6),則D點(diǎn)的坐標(biāo)為___________. (4)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3, 1)，B(-1, 3)， 若點(diǎn)C滿足，其中，∈R且+=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為_______. (5)一艘船距

20、對岸km處，以2km/h的速度向垂直于岸的方向行駛，到達(dá)對岸時，船的實(shí)際航程為8km，求河水的流速. 三、 課后鞏固練習(xí) Ａ組 1．已知向量與的夾角為，則等于　　　　　． 2．已知=(3，λ)，=(4，-3)，若與的夾角為銳角，則λ的取值范圍為_______． 3．若A(0，2)，B(3，1)，C(-2，k)三點(diǎn)共線，則向量＝+的模為　　　　?。? 4．設(shè)點(diǎn)是正邊形的中心，則在下列各結(jié)論中： ①；② ③++…+=；④=0(i=1，2，…，n)． 正確的共有　　　　　個． 5．已知向量=(2，3)，=(x，6)，若││=||||，則x＝　　　?。? 6．已知是兩個向量集合，則　

21、　　　． 7．在四邊形ABCD中，有＝＝=0，則該四邊形是　　　　． 8．設(shè)向量=(1,－3), =(－2,4),若表示向量4、3－2、的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量為　　　　　． 9．已知 且關(guān)于的方程有實(shí)根, 則與的夾角的取值范圍是　　　　　?。? Ｂ組 10．平面上三個力F1 、F2、F3作用于同一點(diǎn)O，而處于平衡狀態(tài)，，成，求(1)F3的大小 ；(2)F3與F1的夾角． 11．邊形ABCD中，已知+=，=0，試證明四邊形ABCD是菱形． 12．在四邊形ABCD中，AB2 +CD2 =AD2 +BC2成立，求證：AC⊥BD． 13．已知，與垂直，與的夾角為，且，，

22、求實(shí)數(shù)的值及與的夾角． 知識點(diǎn) 題號 注意點(diǎn) 向量是一種處理幾何、物理等問題的工具 注意實(shí)際問題的限制 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 向量與三角形的四“心” 三角形四“心”即三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心．外心即三角形的外接圓的圓心；重心即三角形三條中線的交點(diǎn)；垂心即三角形三條高的交點(diǎn)；內(nèi)心即三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．它們在各類考試中屢見不鮮．現(xiàn)舉例如下． 例1 已知O是所在平面上一點(diǎn)，若，證明O是的外心． 證明： ，所以O(shè)是的外心． 例2 已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若，則O是△ABC的重心． 證明：如圖所示，延長OD到G，使DG＝

23、OD， 連接AG，BG，因?yàn)镈是AB和OG的中點(diǎn)， 所以四邊形OAGB為平行四邊形， 由向量加法性質(zhì)得 又由得 ，C、O、D、G四點(diǎn)共線 O在中線CD上 同理得O在中線AE和BF上，O是△ABC的重心． 點(diǎn)評：本題同時證明了CO=2OD=，即重心O分中線CD為2:1兩部分． 例3 O為平面中一定點(diǎn)，動點(diǎn)P在A、B、C三點(diǎn)確定的平面內(nèi)且滿足()·()=0，則點(diǎn)P的軌跡一定過△ABC的  （選用重心 、外心 、垂心、 內(nèi)心 填空 ）. 解：由題，所以，故P的軌跡一定過△ABC的垂心．

24、 例4 O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上的共線三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足＝＋λ（＋），λ∈，則P的軌跡一定通過△ABC的 （選用重心 、外心 、垂心、 內(nèi)心 填空 ）. 解：從分析向量＋特征著手．，均為單位向量，以， 為鄰邊的平行四邊形為菱形，＋為角平分線向量， λ(＋)與角平分線向量共線，由三角形法則，點(diǎn)P在∠A平分線上， 點(diǎn)P軌跡過△ABC內(nèi)心． 例5 如圖：外接圓的圓心為Ｏ，三條高的交點(diǎn)為H，連結(jié)BO并延長交外接圓于D，求證：(1)；　　　　　　 (2). 分析：運(yùn)用向量的加減法解決幾何問題時，需要構(gòu)造三角形或平行四邊形， 證明：(1) 　　　　　． (2)因?yàn)椋拢臑橹睆剑? 　 所以四邊形AHCD為平行四邊形． 點(diǎn)評：利用平面向量的知識解決平面幾何問題，關(guān)鍵是充分挖掘題目中的條件，本題中O為外心，H為垂心，在本題中作用很大；另外，平面幾何中的一些性質(zhì)在解題中也有很大的用處．