江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.3向量的坐標表示學(xué)案 蘇教版必修4

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1、2.3 向量的坐標表示 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 平面向量的基本定理及其意義 了解 結(jié)合直角坐標系理解向量的基本定理與正交分解 平面向量的正交分解及其坐標表示 理解 用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算 了解 用坐標表示的平面向量共線的條件(對線段定比分點坐標公式不作要求) 理解 二、 預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1. 預(yù)習(xí)目標 (1)了解把平面上的任意一向量分解成兩個給定方向的分向量的過程，了解平面向量基本定理； (2)閱讀課本, 了解怎樣用坐標(x，y)表示平面向量，學(xué)會利用坐標來進行平面向量的運算，學(xué)習(xí)通過向量的坐標運算來判斷兩個向量是否共線,會

2、用向量的坐標運算解決幾何問題．　 2. 預(yù)習(xí)提綱 (1)平面向量基本定理.閱讀教材P70~71內(nèi)容，理解以下內(nèi)容：①平面向量基本定理；②基底；③向量的分解．思考討論：①平面向量定理中“有且只有”的含義是什么？②在表示向量時，基底惟一嗎？基底有什么特征？ (2)平面向量的坐標表示.閱讀教材P72~76內(nèi)容，理解以下內(nèi)容：①向量的坐標表示；②平面向量的坐標運算；③向量平行的坐標表示.思考討論：①相等向量的坐標有什么特點？②以(x,y)為坐標的向量有多少個？ 3. 典型例題 (1) 平面向量基本定理 由平面向量共線定理可知，任意一個向量可用一個與它共線的非零向量來線形表示，而且這種表示是

3、唯一的；平面向量基本定理是向量共線定理的推廣，平面內(nèi)任一向量可以用兩個不共線的向量來表示． 例1 在平行四邊形中，設(shè)，試用表示． 分析：解答本題首先借助三角形或多邊形法則，利用向量加減法，用表示來求或建立的方程，解方程組求解． 解：如圖，方法一(轉(zhuǎn)化思想) 設(shè)AC、BD交與點O， 則有， ； ,． 方法二(方程思想) 設(shè)，則有 且，即， ，即，． 點評：本題類型是用基向量表示未知向量，一般有兩種方法，一是充分利用向量線性運算，靈活應(yīng)用三角形法則與平行四邊形法則求解，二是采用方程思想，即直接用表示，然后把看作未知量，利用方程思想求解． (2) 平面向

4、量的坐標運算 與前面研究的向量的“形”的角度比，向量的坐標運算主要從“數(shù)”的角度進行考察，學(xué)習(xí)中始終要注意數(shù)形結(jié)合的思想. 例2 已知，，求實數(shù)x、y，使． 分析：根據(jù)向量坐標運算和待定系數(shù)法，用方程思想求解即可． 解：由題意有= 又 ∴=3且=5 解之得 x=7 且y=4. 點評：在向量的坐標運算中經(jīng)常要用到解方程的方法． 例3 已知A(-1，2)，B(2，8)，= ，= -，求點C、D和向量的坐標． 分析：待定系數(shù)法設(shè)定點C、D的坐標，再根據(jù)向量 ， 和 關(guān)系進行坐標運算，用方程思想解之． 解：設(shè)C、D的坐標為、， 由題意得?，=(3，6)， ， 又= ， ∴=

5、， = 即=(1,2) ，=(1,2) ∴且，且 ∴ 且 ，且 ∴點C、D和向量 的坐標分別為(0，4)、(-2，0)和(-2，-4)． 點評：本題涉及到方程思想，對運算能力要求較高． 例4 已知當實數(shù)為何值時與平行？ 分析：本題可用平面向量基本定理和平行向量坐標表示兩種方法求解，兩種方法的本質(zhì)一樣，從本題看，研究兩向量平行時，若坐標已知，用坐標法更簡單． 解：法一：當與平行時，存在唯一的實數(shù)使=()，即=，即 ，∴與不共線， 由平面向量基本定理可知，得，則． 法二： 要使與平行，則． 求得． 點評：此類問題要充分利用向量共線條件及向量共線定理、向量相等條件

6、，建立方程與方程組，從而求解參數(shù)． 例5 用向量的坐標運算方法，求證：A(3,-4)，B(-9,2)，C(-1,-2)三點共線． 分析：此題考察向量共線的坐標表示，進而證明三點共線． 證明：證法一：由＝(-9，2)- (3，-4)＝(-12，6)， ＝(-1，-2)-(-9，2)＝(8，-4)， ∴＝-，∴//． 又因為有向線段，有公共端點B，∴A、B、C三點共線． 證法二：∵＝(-12，6)，＝(8，-4)，且(-12)×(-4)-6×8＝0, ∴//，又因為有向線段，有公共端點B， ∴A、B、C三點共線． 例6 已知，，及,試問: (1)t為何值時,P在第二象限?

7、(2)四邊形OABP能否構(gòu)成平行四邊形?若能求出相應(yīng)的t；若不能,請說明理由. 分析:利用向量相等建立向量的坐標之間的關(guān)系,再由條件求出. 解：(1)因為，， 若P在第二象限,則； (2) 若四邊形OABP為平行四邊形,則,而無解, 所以四邊形OABP不能構(gòu)成平行四邊形． 點評：此類題目關(guān)鍵是正確進行坐標運算，充分轉(zhuǎn)化條件，即向量相等的條件，得出P點橫縱坐標關(guān)系． 4. 自我檢測 (1)在△ABC中，E、F分別是AB、AC的中點，若，，則用基底，表示= ． (2)，不共線，，，要使，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，則實數(shù)的取值范圍是

8、 ． (3)已知=(3，-1)，=(-1，2)，則-3-2= ． (4)已知=(2，1)，=(x，-4)，當2與-平行時，x＝ ． (5)已知向量＝(5，2)，=(x2+y2，xy)，且＝，求x，y的值． 三、課后鞏固練習(xí) A組 1．如果，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，給出下列命題： 　 (1)若實數(shù)m，n使m＋n＝，則m＝n＝0； (2)空間任一向量可以表示＝λ1＋λ2，其中λ1，λ2為實數(shù)； (3)對實數(shù)m，n，m＋n不一定在此平面上； (4)對平面中的某一向量，存在兩對以上實數(shù)m，n，使＝m＋n. 則以上命題為真命題的

9、是　　　　?。? 2．在梯形ABCD中，DC//AB，DAAB，下列各對向量 ①　?、凇　　、邸　、堋　、? 其中，能作為表示它們所在平面的所有向量基底的可以是_________．(填序號) 3．中, 為中線AD上一點,G為重心,若,則 ?。? 4．已知，不共線，實數(shù)x，y滿足向量等式3x＋(10－y)＝(4y+7)＋2x，則x＝_______，y＝_________． 5．已知向量不共線，，要使，能成為平面內(nèi)所有向量的一組基底，則實數(shù)的取值范圍是　　　　?。? 6.在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，或，其中，則=　　　　?。? 7．兩塊斜

10、邊長相等的直角三角板拼在一起，若，則x= ，y= ． 8．給出下面幾種說法：①相等向量的坐標相同；②平面上一個向量對應(yīng)于惟一的坐標；③一個坐標對應(yīng)于惟一的一個向量；④平面上一個點與以原點為始點，該點為終點的向量一一對應(yīng)，其中正確的說法有__________． 9．已知=(6,1)，=(x,y)，=(-2, -3),則=__________． 10．點P在平面上作勻速成直線運動，速度=(2，5)，當t=0，P在(-6,-2)處，當t=5時，點P坐標為 ． 11．下列幾組點中，三點共線的是 　　　 ①(0，0)，(1，1)，(3，1)； ②(-

11、1，-1)，(1，1)，(3，3)； ③(-1，2)，(1，4)，(3，5)； ④(2，0)，(0，-1)，(3，2). 12．已知正方形PQRS的對角線的交點為M，坐標原點O不在正方形內(nèi)部，且，=(4，0)．則向量＝__________． 13．若＋=(-3，-4)，-=(5，2)，則向量＝_____，||=_______． 14．已知向量，，若與平行，則實數(shù)的值是________． 15．若向量，滿足，平行于軸，，則= .16．已知向量，，，若點、、能構(gòu)成三角形，則實數(shù)的取值范圍為 ． 17．已知向量，，若不超過5，則實數(shù)

12、的取值范圍 是 ．18．和=(3,-4)平行的單位向量是_________. 19. 已知向量=（1,0），=（1,1），則與2+同向的單位向量的坐標表示為____________. B組 20．設(shè)是兩個不共線的向量，，若A、B、D三點共線，求k的值. 21．以向量＝，＝為邊作平行四邊形OADB，對角線OD與AB交于C，又 ＝，＝，試用，為基底表示，，． 22．如圖，∠AOB=120°，∠AOC=30°，OA=OB=1，OC=， 設(shè)=，=，試用，表示． C B A O 23．如圖，，，，．設(shè)，，用，表示為

13、 ． 24．在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點．若，，用，表示．　　 25．在中，已知是邊上一點，若，求的值． 26．(1)已知平面上△ABC的頂點A(3，1)，B(5，2)，C(-1，6)，求向量，，2-3的坐標表示． (2)直線l1平行于x軸，且過(0，4)點，直線l2平行于y軸，且過(-1，0)點．點A在直線l1上，點B在直線l2上，且向量＝(-4，-3)，試求點A、點B的坐標． 27．已知A(2，1)，B(3，2)，C(-1，4)，若A、B、C是平行四邊形的三個頂點，求第四個頂點D的坐標． 28．設(shè)=(，)，=(，)，且//，求的值． 29

14、．在平面直角坐標系中，，將向量按逆時針旋轉(zhuǎn)后，得向量，則點的坐標是 ． 30．已知A、B、C三點的坐標分別為(-1，0)，(3，-1)，(1，2)，＝，＝，求證：//． 31．設(shè)向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，當k為何值時，A、B、C三點共線．　　 　 32．已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，．當為何值時， (1)點P在第一、三象限的角平分線上？ (2)點P到兩坐標軸的距離相等？ C組 33.是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的　 　心． 34．如圖，在中，點是的中點，過

15、點的直線分別交直線 ，于不同的兩點，若，，則的值為 . 35．設(shè)兩個向量和其中為 實數(shù).若求的取值范圍. 36．已知向量與向量的對應(yīng)關(guān)系用表求 （1）設(shè)，求向量與的坐標； （2）證明：對任意的向量及常數(shù)，恒有成立； （3）求使為常數(shù)）的向量的坐標. 知識點 題號 注意點 平面向量的基本定理及其意義 注意平面向量共線定理的坐標計算，正確使用平面向量的基本定理 平面向量的坐標表示及其運算 用坐標表示的平面向量共線的條件(對線段定比分點坐標公式不作要求) 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 定比分點向量公式的應(yīng)用

16、課本例4證明了一個公式:，這個公式在向量中稱為定比分點向量公式．這個公式為我們解決一些數(shù)學(xué)問題提供了方便，更能為我們開拓解題思路，提高解題分析的能力． 1．定比分點向量公式 一般地，設(shè)、為直線l上的兩點，點是l上不同于、的任一點，在平面上任取一點O，若存在一個實數(shù)，使，則．我們把它稱為定比分點向量公式，叫做點分有向線段所成的比． 2．定比分點向量公式的應(yīng)用 例 如圖(1)，設(shè)，點C在直線AB上，且． 求證：(1)； (2)設(shè)，用t表示； (3)如圖(2)，利用(1)求△ABC的重心的向量公式． A B D C G F 圖(2) O A C B O 圖(1) 分析：確定分點和的值，代入定比分點向量公式． 解：(1)由已知點C分向量所成的比，代入定比分點向量公式得 =； (2)由(1)可得； (3)如圖(2)，點D為BC的中點，D分所成的比為1， 代入公式得這就是三角形重心的向量公式． 點評：觀察定比分點向量公式：，它實質(zhì)上是平面向量基本定理的應(yīng)用，用一組不共線的基底、表示向量，存在的實數(shù)對滿足(這是一個定值)，因此，若，且，則可以說明三點必共線． 問題：你能否用定比分點的公式解決鞏固練習(xí)中的問題？