江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 2.1函數(shù)的概念和圖象（2）學案 蘇教版必修1

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1、2．1 函數(shù)的概念和圖象(2) 一、 學習內容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 函數(shù)的基本性質 單調性 理解 從數(shù)和形兩個方面理解函數(shù)的單調 性和奇偶性；研究函數(shù)單調性和奇 偶性時要注意函數(shù)的定義域. 奇偶性 映射 與函數(shù)定義比較 二、 預習指導 1． 預習目標 (1)理解函數(shù)單調性的概念及其幾何意義；能從“形”和“數(shù)”兩個方面理解單調性；能根據(jù)函數(shù)的圖象求函數(shù)的單調區(qū)間，能根據(jù)單調性的定義判斷、證明一些簡單函數(shù)的單調性．體會函數(shù)的最大(小)值與單調性之間的關系及其幾何意義，掌握通過函數(shù)單調性研究最大(小)值的思想方法； (2)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性

2、質．理解函數(shù)奇偶性的概念，并能判斷和證明一些簡單函數(shù)的奇偶性．能運用函數(shù)的圖象討論函數(shù)的奇偶性； (3)了解映射的概念. 2． 預習提綱 (1) 函數(shù)的單調性 閱讀教材第34至37頁，再閱讀典型例題的例1至例5， 教材例1和典型例題例1都是通過“形”(函數(shù)的圖象)去認識函數(shù)的單調性，教材例2和典型例題的例2都是利用定義證明函數(shù)的單調性問題，掌握證明的基本步驟和常見的作差處理方法．由于函數(shù)的單調性與函數(shù)的最值緊密聯(lián)系，教材例3-5都是以最值問題展開的．典型例題例3介紹二次型函數(shù)的單調性的應用，例4是對復合函數(shù)的單調性的一種情形作了討論，例5的目的是介紹了復合函數(shù)單調性法則的應用．讀者應完

3、成另外三種情形的證明． (2) 函數(shù)的奇偶性 閱讀教材第38至40頁，再閱讀典型例題的例5至例9．教材從熟悉的二次函數(shù)和反比例函數(shù)來引入函數(shù)奇偶性的概念，教材例6、例7以及典型例題的例5是對函數(shù)奇偶性的判別，注意具有奇偶性函數(shù)的定義域的特征．典型例題的例7、例8是函數(shù)的單調性和奇偶性的綜合運用． (3) 了解映射的概念 閱讀教材第41頁，思考映射和函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，閱讀典型例題的例11-12. (4) 完成自我測試 3． 典型例題 例1 畫出下列函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調區(qū)間： (1)； (2)； (3) . 分析：運用數(shù)形結合的思想，

4、從左向右看，圖象呈上升趨勢的部分對應的x的范圍為增區(qū)間；圖象呈下降趨勢的部分對應的x的范圍為減區(qū)間．注意定義域的范圍及區(qū)間能否合并． 解：(1)如圖①，，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為． (2)如圖②，單調遞減區(qū)間為和． (3) ,如圖③,單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間是． 圖① 圖② 圖③ 點評：利用函數(shù)的圖象直接寫出函數(shù)的單調區(qū)間是借助于圖象的幾何性質，直觀性強．而解決問題的關鍵就是正確畫出函數(shù)的圖象．本例中的(2

5、)的圖象可以根據(jù)的圖象經過適當?shù)淖儞Q得到，(3)的圖象可以轉化成分段函數(shù)的圖象來作出． 例2 證明下列函數(shù)在所定義的區(qū)間上是單調函數(shù)： (1)；(2)； (3)． 分析：利用單調性的定義，根據(jù)取值、作差、變形、定號四個步驟證明函數(shù)的單調性．其中變形部分是關鍵，通?？紤]配方、因式分解、通分、有理化等方法． 證明：(1)任取且, 則 ∵,∴和不同時為0, ∴,又∵, ∴,即． ∴在上是單調遞減函數(shù)． (2)任取且, 則 ∵,∴,,

6、 ∴, 即． 在上是單調遞增函數(shù)． (3)任取且， 則 ． ∵,∴,, 又∵, ∴， ∴, 即． ∴在上是單調遞增函數(shù)． 點評：利用單調性的定義來證明函數(shù)的單調性是最基本的方法．而證明過程一般分取值、作差、變形、定號四個步驟，關鍵是定號，而難點是變形，變形的目的是定號．本例(1)中證明過程中變形的最后一步是對二次式的配方，這是必要的，目的是確定該括號的式子是正數(shù)

7、還是零，這是很容易忽略的．本例(3)中是采用的分子有理化的方法． 例3 已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 分析：二次項系數(shù)為參數(shù)時，首先考慮為零的情況，體現(xiàn)分類思想．二次函數(shù)的單調區(qū)間由開口方向及對稱軸共同決定． 解：當時, 在R上是減函數(shù),符合題意； 當時,由題意, 得即． 綜上所述, a的取值范圍是． 點評：本題應對二次項系數(shù)a是否為0分類討論，這是很容易疏忽的． 例4 已知函數(shù)的定義域是區(qū)間,函數(shù)的定義域是區(qū)間,且對于任意的,若單調遞增, 單調遞減．證明：函數(shù)是上單調遞減函數(shù)． 分析：直接根據(jù)函數(shù)單調性的定義． 證明：任取且． ∵

8、單調遞減,∴． 根據(jù)題意, ． ∵單調遞增,∴． ∴是單調遞減函數(shù)． 思考：其他條件不變，試討論在下列情形下的單調性： (1)單調遞增, 單調遞增； (2) 單調遞減, 單調遞增； (3) 單調遞減, 單調遞減． 點評：我們可以得到當、單調性相同的情況下，是單調遞增的；當、單調性相反的情況下，是單調遞減的． 利用上述結論，你能求函數(shù)⑴(2)的單調區(qū)間和值域嗎？ 分析：將函數(shù)分解為的形式，依據(jù)“同增異減”的復合法則分析，將所求復合函數(shù)的單調區(qū)間轉化成求內(外)函數(shù)的相應的單調區(qū)間． 解：(1)由得函數(shù)的定義域為．

9、 設,, ∵是單調遞增函數(shù)(可仿照例2（3）證明), ∴要求的單調增區(qū)間, 就是求的單調增區(qū)間,即． 又,∴函數(shù)的單調增區(qū)間為． 同理可得函數(shù)的單調減區(qū)間為． ． ∵,所以, ∴函數(shù)的值域為． (2)由可得函數(shù)的定義域為R, 令,, ∵（）單調遞減, ∴要求的單調增區(qū)間, 就是求的單調減區(qū)間,即． 同理可得函數(shù)的單調減區(qū)間為． , ∵, ∴,即函數(shù)的值域為．

10、點評：利用復合函數(shù)的單調性的法則，我們可以求一些比較簡單的復合函數(shù)的單調區(qū)間．這里值得注意的是，有條理地表達非常重要，可以通過閱讀仔細體會． 例5 判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性： (1)；(2)；(3)； (4)；(5)． 分析：首先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，這是判斷奇偶性的前提，然后根據(jù)定義考察f(x)與f(-x)的關系從而判斷函數(shù)的奇偶性．值得注意的兩點：一是非奇非偶函數(shù)的判定可以考慮舉反例；二是既奇又偶的函數(shù)的辨識． 解：(1)函數(shù)的定義域為R,關于原點對稱． ∵, ∴函數(shù)是奇函數(shù)． (2)函數(shù)的定義域為R,關于原點對稱． ∵, ∴函數(shù)是偶函數(shù)． (3)函數(shù)

11、的定義域為R,關于原點對稱． ∵ ∴ ∴是非奇非偶函數(shù). (4)由得函數(shù)的定義域為,關于原點對稱, 且此時, ∴函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). (5)由得函數(shù)的定義域為,不關于原點對稱, ∴是非奇非偶函數(shù)． 點評：判斷函數(shù)的奇偶性(還有，如求函數(shù)的單調區(qū)間等問題)應優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域，這是很容易疏忽． 例6 已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當≥0時，，求的解析式． 分析： 根據(jù)偶函數(shù)的對稱性求解對稱區(qū)間的解析式是基本而重要的題型．關鍵是利用偶函數(shù)的定義及≥0的函數(shù)表達式，求出x<0的函數(shù)表達式．注意“求什么設什么”即設x<0，則-x>0可以溝通已知條件． 解： 設,則

12、-x>0,故． 又∵是偶函數(shù), ∴,則． ∴ 點評： 這里我們是使用的化歸的思想，將未知的一段函數(shù)的解析式轉化到已知的某一段的函數(shù)解析式． 例7 奇函數(shù)當1≤≤4時解析式為，試求在區(qū)間上的最大值． 分析：兩種思路：一是直接求出上的解析式，然后求解；二是根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，先求出上的最小值． 解：(法一)設,則, 　 此時,, ∵是奇函數(shù), ∴． ∴在上, ． (法二)∵, ∴在上,, 　　　 則對任意的,有,∴ 　 ∵是奇函數(shù),∴即． 　 ∴在上, ． 點評：本例的法一是比較容易想到的，

13、先求解析式后求最值；法二是從整體去把握函數(shù)的對稱的兩段區(qū)間，考察對函數(shù)最值的定義的理解以及函數(shù)奇偶性的靈活運用，要求較高．若函數(shù)是偶函數(shù)，則該函數(shù)的表達式中沒有奇次項． 例8 定義在R上的偶函數(shù)在上是增函數(shù)． ⑴ 比較與的大小關系； ⑵ 解不等式． 分析： ⑴可以利用函數(shù)的奇偶性把自變量化到同一單調區(qū)間內,然后通過比較自變量的大小就可以比較函數(shù)值的大小． ⑵利用，將賦予f的值都能等價地變換到單調增區(qū)間上，從而直接用單調性解抽象不等式． 解： (1)∵為偶函數(shù),∴． 又 ∵在上是增函數(shù),∴, 　　　　 ∴． (2) ∵

14、為偶函數(shù),∴, 　∴即． 　又在上是增函數(shù),∴． 　∴原不等式的解集為． 點評： 比較函數(shù)值的大小一般來講可以借助于函數(shù)的單調性，本例(1)的兩個自變量不在同一個單調區(qū)間里，我們可以借助于函數(shù)的單調性進行轉化；本例(2)解函數(shù)不等式，我們利用函數(shù)的單調性，設法將“f”脫掉．這里我們注意這樣的事實：是增函數(shù)，則由可以得到，同樣由也可以得到．很容易利用反證法證明這個事實． 例9 已知，且，求的值． 分析：為多項式函數(shù)，它的特點是只有奇次項和常數(shù)項，如果我們把常數(shù)去掉就會得到一個奇函數(shù)，這樣可以利用奇函數(shù)的性質求解． 解：設，則

15、 ∵， ∴是奇函數(shù)． 又∵，∴, ∴． 點評： 如果多項式函數(shù)是奇函數(shù)，則該函數(shù)的表達式中沒有偶次項；如果多項式函數(shù)是偶函數(shù)，則該函數(shù)的表達式中沒有奇次項． 例10 已知為奇函數(shù)． (1)求、； (2)判斷的單調性并加以證明． 分析：(1)運用奇函數(shù)定義,根據(jù)待定系數(shù)法求出、，也可以先用特殊情形求得、，再證明(先求后證)；(2)直接運用單調性定義． 解：(1)(法一)∵函數(shù)是奇函數(shù), ∴,． 即對任意恒成立． 　 整理即得，對任意恒成立． 　　　　　 ∴,∴． (法二)∵函數(shù)是定義在的奇函數(shù)

16、, ∴即 解得因此，． 經檢驗，此時滿足條件，故 (2)任取且, 則． ∵,,∴, 　又,∴, ∴． ∵,,, ∴,即． ∴是單調遞增函數(shù). 點評：本例(1)的方法一是直接根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義將問題轉化成恒成立的問題，而方法二根據(jù)特殊情形先求出、，也就是先求必須滿足的條件(以后我們稱這樣的條件叫做必要條件)，然后去檢驗這樣的、是符合條件的，也就是這樣的、是充分的(以后我們稱這樣的、是充分條件)．

17、 例11 下列對應是否是A到B的映射，能否構成函數(shù)？ (1)A=R，B=R，； (2)，，； (3)，B=R，； (4),,三角形該三角形的周長數(shù)值(單位m)． 分析：直接依據(jù)映射、函數(shù)的定義判斷． 解：(1)當時,不存在,所以該對應不是映射,更不是函數(shù). (2)是映射,也是函數(shù),數(shù)集A中所有的元素的倒數(shù)都是B中的元素. (3)不是映射,不是函數(shù),例如對于一個輸入值,有兩個輸出值與之對應. (4)是映射,但不是函數(shù),因為A不是數(shù)集． 點評：注意函數(shù)與映射的聯(lián)系和區(qū)別：函數(shù)是特殊的映射,映射是函數(shù)的推廣． 例12 已知集合，，且，映射，使B中的元

18、素y=3x+1和A中元素x對應，求a和k的值． 分析：如果把A中元素x對應到B中的元素y,則稱y是x的象, 稱 x為y的一個原象．根據(jù)可知：1，2，3，k的象分別為4，7，10，3k+1，那么根據(jù)B，我們就可以求得a和k的值． 解：由題意1、2、3、k的象分別是4、7、10、3k+1,且是B中的元素． ∵k不能為1、2、3中的一個，則3k+1不是4、7、10中的一個， ∴①或② ∵,∴①式無解．由②解得． 點評：本例是已知映射的對應法則，根據(jù)映射的定義求字母的問題．在解題的過程中，會出現(xiàn)兩種對應關系，應值得注意． 4． 自我檢測 (1)作出函數(shù)-3的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單

19、調區(qū)間． (2)證明：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)． (3)已知在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． (4)求函數(shù)的單調區(qū)間． (5)已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)m的值是 ． (6)已知偶函數(shù)在區(qū)間[0,4]上是增函數(shù)，則和的大小關系是 ． (7)設函數(shù)，已知，則的值是 ． (8)已知函數(shù)既是R上的奇函數(shù)，又是R上的減函數(shù)，則滿足的實數(shù)a的取值范圍是 ． (9)已知映射，其中，集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的每一個元素都是A中元素在映射f下的象，且對任意的，在B中和它對應的元素是|a|，則集合B中元素的個

20、數(shù)是 ． (10)已知是奇函數(shù)，且時，，求時的解析式． 三、 課后鞏固練習 A組 1．判斷下列函數(shù)在區(qū)間上的單調性： (1)； (2)；(3)；(4)． 2．函數(shù)的單調遞增區(qū)間是 ． 3．如圖為的圖象，則它的單調減區(qū)間為 ． 4．函數(shù)的遞增區(qū)間為 ． 5．函數(shù)在定義域上是否是單調函數(shù)？如果是，是單調遞增還是單調遞減函數(shù)？ 6．已知和在上都是減函數(shù)，則在上是單調遞_______函數(shù)． 7．函數(shù)，當時是增函數(shù)，當時是減函數(shù)，則 的值為 ． 8．若是區(qū)間上的

21、減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 ． 9．二次函數(shù)y = ax 2 + bx + c (a > 0)的圖象的對稱軸為x = 2，則f (1 ),f (2)和f (4)的大小關系為 ． 10．求函數(shù)的單調遞減區(qū)間為 ． 11．求函數(shù)的單調遞增區(qū)間． 12．作出函數(shù)的圖象并寫出函數(shù)的單調區(qū)間． 13．已知，利用單調性的定義證明在上是增函數(shù)． 14．若為R上的增函數(shù)，解不等式． 15．判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)； (2)； (3) ． 16．判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性： (1)； (2)． 17．已知定義在上的偶函數(shù)

22、滿足，則= ． 18．若函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為 ． 19．已知函數(shù)是偶函數(shù)，那么是 函數(shù)(判斷奇偶性)． 20．偶函數(shù)在軸右側的圖象如圖所示，試畫出在軸左側的圖象． 21．若是偶函數(shù)，則 ． 22．定義在R上的偶函數(shù)在時，表達式為， 求當時， 的表達式． 23．已知是偶函數(shù)，當< 0時，，求> 0時的表達式． 24．奇函數(shù)在上的表達式是求在上的最小值． 25．已知奇函數(shù)的定義域為，若當時的圖象如圖所示，則不等式的解集是 ． 26．已知函數(shù)

23、是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，試判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明． 27．定義在R上的奇函數(shù)也是R上的減函數(shù)，設，現(xiàn)有不等式： ①；②；③； ④． 其中成立的不等式序號是 ． 28．若是奇函數(shù)，且方程有三個根,,, 則的值是 ． 29．已知，都是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，試判斷下列函數(shù)的奇偶性：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ． 30．已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，若，求實數(shù)的取值范圍． 31．已知奇函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，那么在定

24、義域上奇偶性和單調性怎樣? 32．偶函數(shù)在上是遞減函數(shù)，試比較大?。篲____． 33．是定義在R上的任意一個增函數(shù)，，則單調遞 函數(shù)，而且還是 函數(shù)(判斷奇偶性) . 34．判斷下列對應是否是從A 到B的映射： (1)； (2)，：． 35．從集合到集合，共可建立的映射的個數(shù)是 ． 36．已知集合，，判斷下列對應關系中，能不能構成從M到P的映射： (1)； (2)； (3)； (4) . B組 37．函數(shù)的定義域是，則單調減區(qū)間是 ． 38．函數(shù)在定義域上是單調遞 函數(shù)．

25、 39．函數(shù)在上的最大值為2，求的值． 40．函數(shù)在上的最大值和最小值之和為，求的值． 41．函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 42．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 ． 43．已知奇函數(shù)y=f(x)的定義域為{x|x≠0，且x∈R}，若f(x)在(-∞，0)上為單調增函數(shù)，且f(-1)=0，解不等式f(x)<0． 44．若是偶函數(shù)，求的遞增區(qū)間． 45．求函數(shù)在區(qū)間上的單調增區(qū)間． 46．討論函數(shù)在上的單調性． 47．已知(其中a，b，c是實常數(shù))，且f(-2)=10，求f(2)的值． 48．已知、都是奇函數(shù)，的解集是，的解集是，那么的解

26、集是 ． 49．已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，求、的解析式． 50．設函數(shù)為奇函數(shù),,,則 ． 51． 已知是R上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，，則的解集是 ． 52．奇函數(shù)的定義域為，且在上是增函數(shù)，若，求實數(shù)的取值范圍． 53．設定義域為R的偶函數(shù)滿足：對任意的, , 則_______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 54．偶函數(shù)在區(qū)間上是單調遞 函數(shù)． 55．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且． (1)求函數(shù)的表達式； (2)當x>0時，用定義討論函數(shù)的單調性． C組 56．定義在R上的二次函數(shù)在區(qū)間上遞增,且

27、對任意R都有 ，若，求實數(shù)的取值范圍． 57.，若，求的取值范圍. 58.已知：函數(shù)＝，R,且，，，則的值的符號為 ． 59．已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，比較三者的大小關系. 60．已知是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為 ． 61．已知，解方程． 62．在矩形ABCD中，AD=15，AB=a(a＞15)，E、F、G、H分別是邊AD、AB、BC、CD上的點，若AE=AF=CG=CH，問AE取何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求最大面積． 63．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，試求函數(shù)的單調區(qū)間． 64．求函

28、數(shù)的最小值． 65．已知函數(shù)的最小值是，求實數(shù)的取值范圍． 66．求函數(shù)，的最大最小值． 67．利用定義，討論的單調性． 68．若在上遞增，求實數(shù)的取值范圍． 69．已知函數(shù)對任意實數(shù)，總有，且當時，． (1)求； (2)判斷函數(shù)的單調性； (3)若，求在上的最值． 70．定義在R上的奇函數(shù)對任意的實數(shù)都有，若，求的值． 71．設定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調遞減．若，求實數(shù)的取值范圍． 72．若，記，求的最大值和最小值． 73．已知不恒為零的函數(shù)對任意實數(shù)，總有成立，求證：為偶函數(shù)． 74.設函數(shù)的定義域為R.對任意的實數(shù)都有，當時，且（1）求證：為奇函數(shù)（2）求

29、在區(qū)間上的最大值和最小值. 75．是定義在上的奇函數(shù)，且對任意，當時都有．⑴判斷函數(shù)的單調性；⑵解不等式． 知識點 題號 注意點 函數(shù)的基本性質 單調性： 奇偶性： 單調性奇偶性： 曲線的升降反映函數(shù)的增減，函數(shù)的奇偶 性反映的是函數(shù)的整體性質，我們可以從 數(shù)和形兩個方面理解函數(shù)的單調性和奇偶 性；研究函數(shù)單調性和奇偶性時要注意函 數(shù)的定義域，單調區(qū)間是定義域的子區(qū)間， 具有奇偶性的函數(shù)定義域關于原點對稱. 實際問題 注意問題的實際意義 綜合問題 注意各知識點的聯(lián)系 探究問題 靈活運用所學知識 映射 與函數(shù)定義比較，映射中的集合A

30、、B可以不是數(shù)集合. 四、 學習心得 五、 拓展視野 [題組] (1)證明在上單調遞減,在單調遞增； (2)證明在上單調遞減,在單調遞增； (3)通過(1)、(2)；你能嘗試討論在上的單調性嗎? 又若呢? (4)研究函數(shù)在其定義域內的單調性,并用定義給出證明； (若有多個單調區(qū)間,請選擇一個證明) (5)對于和所得到的結論作推廣,使得它們都是你所推廣的函數(shù)的結論的特例；(只需要寫出結論,不需要證明) (1)證明：任取且． ,． 當時, , ,, ∴,即,∴在上是遞減函數(shù)． 當時, , ,, ∴．即,∴在上是遞增函數(shù)． (2)證明完全類似于(1)． (3)由(1)和(2)可以猜想在上單調遞減,在上單調遞增；證明如下：取且． ,． 當時, , ,, ∴,即,∴在上是遞減函數(shù)． 當時, , ,, ∴．即,∴在上是遞增函數(shù)． 對于函數(shù),即,它與函數(shù) 單調性完全一致,利用剛才的結論知道, 在上單調遞減,在上單調遞增． (4)和(5)留給讀者自己嘗試討論．