江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3.2二倍角的三角函數(shù)學(xué)案 蘇教版必修4

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1、3.2 二倍角的三角函數(shù) 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 二倍角的正弦 化歸思想 理解 推導(dǎo)二倍角公式的關(guān)鍵在于認(rèn)識(shí)“二倍角”是“和角”的特例，建議獨(dú)立地推導(dǎo)公式，體會(huì)化歸思想 二倍角的余弦 變形、升降冪公式 二倍角的正切 化歸思想 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1. 預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)推導(dǎo)二倍角公式的思想和方法； (2)二倍角公式以及余弦的二倍角公式的變形(升、降冪公式)的記憶和應(yīng)用； (3)和差角公式、二倍角公式綜合應(yīng)用. 2. 預(yù)習(xí)提綱 (1)閱讀課本P105思考如何推導(dǎo)二倍角正弦、余弦、正切公式，并探究三倍角正弦、余弦、正切公式，并填空：

2、 ； ； (所有有意義)注意“倍角”的相對(duì)性. (2)閱讀課本P107的降冪公式并學(xué)會(huì)運(yùn)用降冪公式解題(如P106例3的解法1)，閱讀課本P107的例4，學(xué)會(huì)公式靈活運(yùn)用. (3)探究：求的值. 3. 典型例題 (1) 熟悉公式 例1 已知，，求，，的值. 分析：先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再分別套用二倍角正弦、余弦公式，注意角的范圍. 解：∵，∴. ∴ ， (2)

3、應(yīng)用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明等 例2 已知，，，求. 分析：先求，再求，最后求，注意的范圍. 解：∵，∴，解得 ∴ ∴ ∵，，，∴ ∴ 又∵∴，∴ ∴. 例3 已知的值． 分析：(1)先降冪，再用和差角公式展開(kāi),(2)條件展開(kāi)為關(guān)于“”的條件，對(duì)需要求值的式子先化簡(jiǎn)，對(duì)“切”化成“弦”，對(duì)“”用二倍角公式，注意“”、 “” 、“”這三者的關(guān)系. 解：由得，兩邊平方得：， ∴，∵∴ = ∴== ==. 例4 求值：(1)； (2)； (3). 分析：(1)由這些角中后一角為前一角的兩倍，聯(lián)想到用正弦的二倍角公式；(2)這是4個(gè)正弦的積，且它們的角之間

4、難以看出明顯的關(guān)系.仿(1)將部分正弦化為余弦，用類似(1)的方法解題；(3)注意到與的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)墓较颉巴恰狈较蚺? 解：(1)原式== === (2)原式== === (3)原式= == = (3) 升冪、降冪公式的應(yīng)用 降冪公式，特點(diǎn)：降冪同時(shí)擴(kuò)角，當(dāng)遇到且不需要“平方”時(shí)，?？紤]該公式. 升冪公式，特點(diǎn)：升冪同時(shí)縮角，當(dāng)遇到時(shí)，常考慮該公式. 例5 化簡(jiǎn)：， 分析：分母顯然用升冪公式，分子中的“1”可與結(jié)合換成同時(shí)對(duì)用二倍角公式；也可把“1”與結(jié)合用升冪公式同時(shí)對(duì)也用二倍角公式，公式選擇的主要依據(jù)依然是“同角”. 解：原式== =∵∴∴∴原式=

5、 例6 (1)已知，，求的值； (2)求函數(shù)的最大值． 分析：(1)∵∴只要求，將已知兩等式平方相加即可；(2)∵不是特殊角∴應(yīng)先降冪擴(kuò)角，再用和差角公式展開(kāi). 解：(1)將，分別平方并相加得： ，即. ∴. (2)= ==∴ 4. 自我檢測(cè) (1)已知，則的值為_(kāi)_____________． (2)等腰三角形的一個(gè)底角的正弦為，則這個(gè)三角形的頂角的正切為_(kāi)________． (3)不查表求值： ． (4)計(jì)算： ． (5)化簡(jiǎn)：=__________． (6)求值：(1)；(2). (7)求證：函數(shù)是常數(shù)函數(shù)

6、． 三、 課后鞏固練習(xí) A組 1．已知，則的值等于___________． 2．已知，則 ． 3．已知，，則等于_________． 4．函數(shù)的最小值是_____________________． 5．已知__________． 6．求值：(1)；　 (2) ； (3) . 7．已知，且為銳角，求的值． 8．已知，，求的值． 9. 若,則= . 10. 若,,則 . 11．化簡(jiǎn)()． B組 12．化簡(jiǎn)為_(kāi)__________． 13．已知 是第_

7、___象限角. 14. 設(shè)為銳角，若，則的值為 ． 15. 已知，，則 ． 16．求值：（1） ； （2） ． 17．已知，，，則、、按從小到大的順序排列為 ． 18．函數(shù)的值域是____________________． 19．函數(shù)的值域?yàn)? ． 20．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1，則的最小值是 ． 21．已知函數(shù). (1)求的最小正周期； (2)求在區(qū)上的最大值和最小值. 22．(1) (2) (3

8、) (4) (5) Ⅰ 試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù)； Ⅱ 根據(jù)(Ⅰ)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 23．設(shè)函數(shù). (1) 求函數(shù)的最大值和最小正周期； (2) 設(shè)為的三個(gè)內(nèi)角，若，，且為銳角，求. 24. 已知函數(shù),. (Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期； (Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值. 25. 已知向量，，函數(shù)． （1）求的最大值及相應(yīng)的的值；（2）若，求的值． C組 26．若，則函數(shù)的最大值為 ． 27．已知函數(shù). （1）求函數(shù)在上的值域； （2）在△ABC中，若，求的值. 28．設(shè)函數(shù)．

9、(1)求的最小正周期； (2)若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，求當(dāng)時(shí)的最大值． 29．已知，，試求的值． 30．已知，求的最大值和最小值． 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 二倍角公式 注意角的變化，統(tǒng)一到同一個(gè)角 降冪公式 注意次數(shù)變化的同時(shí)角的變化 綜合題 公式的靈活運(yùn)用 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 課本向我們介紹了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加函數(shù)(A，B不全為0)，并指出該函數(shù)可以改寫(xiě)成，其中，，一般地，我們把公式(，)稱為輔助角公式.下面我們來(lái)看它的兩個(gè)應(yīng)用： 例1 求函數(shù)的最大值. 解： == =(其中，)∴ 例2 求函數(shù)的值域. 解：將變形為，∴ (其中，) 即，∵∴，解得 ∴函數(shù)的值域?yàn)閇-1，1].