江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用學案（無答案）蘇教版選修2-2

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1、1．3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 一、學習內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 學習建議 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極大(小)值 掌握 借助于導(dǎo)數(shù)這個工具可以很好地判別函數(shù)單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間，極值，最值等，通過這些量我們可以從總體上把握函數(shù)的圖象的變化規(guī)律．可以通過對一些具體的函數(shù)(如常見的三次多項式函數(shù))的研究來加以體會． 二、預(yù)習指導(dǎo) 1．預(yù)習目標 (1)了解函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極大(小)值、函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系． (2)能利用導(dǎo)數(shù)的符號法則來解決函數(shù)的單調(diào)性問題，求函數(shù)的極值、最值等，通過這些量來研究函數(shù)的圖象的變化規(guī)律． 2．預(yù)習提綱 (1)回顧必修1

2、中有關(guān)函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)最值的相關(guān)內(nèi)容(必修1第34頁至37頁)． (2)閱讀課本第28頁至33頁，回答下面的問題 ① 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符合存在著怎樣的關(guān)系呢? ②函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)： 函數(shù)的極大值與極小值是怎樣定義的? 注： 第一，極值是一個局部概念．由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最?。⒉灰馕吨诤瘮?shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最?。诙?，函數(shù)的極值不是唯一的．即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個．第三，極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系．即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值． ③函數(shù)的最值 最值的概念在必

3、修1的教材中已經(jīng)給出，請回憶，并指出最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系． (3)閱讀課本例題，思考下面的問題． ①閱讀課本第28頁至29頁上例1、例2和例3，總結(jié)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟． ②閱讀課本第31頁上例1和例2，歸納求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟． 思考：當時，能否函數(shù)在處取得極值? ③閱讀課本第32頁與第33頁上例1和例2，歸納利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟． 3．典型例題 例1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 解： ．令，解得． x (－∞，－3) －3 (－3，3) 3 (3，＋∞) ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 由上表可知，函數(shù)有兩個

4、單調(diào)增區(qū)間，分別是和；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是． 點評： (1)不能說在內(nèi)函數(shù)遞增，應(yīng)寫為在和內(nèi)分別遞增． (2)因為函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，所以說函數(shù)有兩個單調(diào)增區(qū)間，分別是和，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是這樣的說法也是對的． 例2 已知函數(shù)，其中．若在上是增函數(shù)，求的取值范圍． 分析： 因為在上是增函數(shù)，所以對上恒成立，再求出的取值范圍． 解： 根據(jù)題意，． 由于在上是增函數(shù)，所以對上恒成立， 即即對上恒成立． 因為，所以，于是． 點評： ①解答過程中對恒成立，而不是恒成立，主要由于教材沒有對閉區(qū)間的端點的導(dǎo)數(shù)下定義．由于函數(shù)在區(qū)間是連續(xù)的，所以在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，等價于在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)

5、． ②對已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則有可能漏解． 例3 求函數(shù)的值域． 分析： 求函數(shù)值域一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)來求解，也可利用函數(shù)的單調(diào)性求出值域，本題形式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，可采用求導(dǎo)方法求解． 解： 函數(shù)的定義域由，求得， 求導(dǎo)得． 由得， 即， 解得． 即函數(shù)在上是增函數(shù)，又此函數(shù)在x=－2處連續(xù)，所以在上是增函數(shù)．而f(－2)= －1， 所以函數(shù)的值域是． 點評： 函數(shù)y=f(x)在(a，b)上為單調(diào)函數(shù)，當在[a，b]上連續(xù)

6、時，y=f(x)在[a，b]上也是單調(diào)函數(shù)． 例4 求函數(shù)的極大值和極小值． 分析： 利用求極值的一般方法． 解： ， 令，解得． 列表： x －2 0 2 － 0 ＋ 0 － 0 ＋ y ↘ 極小值 －14 ↗ 極大值 2 ↘ 極小值 －14 ↗ 因此，當x=0時，f(x)有極大值f(0)=2；當x=±2時，f(x)有極小值f(±2)=－14． 例5 已知函數(shù)的極大值為13，求的值． 分析： 首先求，然后令求出方程根，判別f(x)在何處取得極大值，最后求． 解： 令，解得． 列表： x 0

7、 4 － 0 ＋ 0 － y ↘ 極小值 ↗ 極大值 13 ↘ 所以在x=4處取得極大值，即，解得． 點評： 解答此題關(guān)鍵是判別f(x)在何處取得極大值． 例6 設(shè)函數(shù)在x=1和x=－1處有極值，且f(1)=－1，求a，b，c的值，并求出相應(yīng)的極值． 分析： 此題屬于逆向思維，但仍可根據(jù)函數(shù)極值的步驟來求，但要注意極值點與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：極值點為的根，利用這一關(guān)系借助于待定系數(shù)法求a，b，c的值． 解： ，是函數(shù)的極值點，則－1，1是方程的根，即有，解得b=0，c=－3a． 又f(1)=－1，則a＋b＋c=－1， 所以． 此時， 令，

8、解得． 列表： x －1 1 ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 1 ↘ 極小值 －1 ↗ 所以在x=－1處取得極大值1，即；在x=1處取得極小值－1，即． 點評： 本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進行逆向聯(lián)合，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象問題具體化． 例7 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù) (1)求f(x)的極值； (2)當a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點． 分析： (1)中的極值含有參數(shù)a．(2)將函數(shù)化為．可知x取足夠大的正數(shù)時，有f(x)>0，x取足夠小的負數(shù)時，有f(x)<0．所以y=f(x)與x

9、軸至少有一個交點．要使y=f(x)與x軸僅有一個交點，只需要極大值與極小值同號即可． 解： (1)，令，解得． 列表： x 1 ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以在x=處取得極大值，即；在x=1處取得極小值，即． (2)函數(shù)． 由此可知x取足夠大的正數(shù)時，有f(x)>0，x取足夠小的負數(shù)時，有f(x)<0．所以y=f(x)與x軸至少有一個交點． 結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知：當f(x)的極大值，即時，它的極小值也小于0，因此曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點，它在；當f(x)的極小值，即時，它的極大值也大于0，因

10、此曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點，它在上．所以當時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點． 點評： 本題若改為“曲線y=f(x)與x軸恰有兩個交點”或“ 曲線y=f(x)與x軸有三個交點”該如何處理? 例8 求函數(shù)在區(qū)間[－1，1]上的最大值和最小值． 分析： 求出，當時，恒成立，即在區(qū)間[－1，1]內(nèi)函數(shù)f(x)無極值點，因此需利用函數(shù)的單調(diào)性求最值 解： 因為在[－1，1]內(nèi)恒大于0，所以在[－1，1]上是增函數(shù)，故當x=－1時，；當x=1時，，即f(x)的最大值為2，最小值為－12． 例9 求函數(shù)在[－4，4]上的最大值和最小值． 分析： 先求出函數(shù)可能的極值點(即

11、的點及個別不可導(dǎo)的點)，然后比較區(qū)間的兩端點及所有這些點(這些點的個數(shù)往往是不多的)處的函數(shù)值，最大(小)者即為所求的最大(小)值． 解： 令，解得． 列表： x －4 －1 3 4 ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －71 ↗ 極大值 10 ↘ 極小值 －22 ↗ －15 所以，函數(shù)f(x)在－4，4上的最大值為f(－1)=10，最小值為f(－4)=－71． 例10 求函數(shù)的最大值． 分析： 求出f(x)的定義域為，令，解得x=0，然后討論f(x)在(－1，0)和上的單調(diào)性． 解：函數(shù)f(x)的定義域為，， 令，解

12、得． 列表： x 0 ＋ 0 － f(x) ↗ 極大值 0 ↘ 所以，當且僅當x=0時，函數(shù)f(x)取得極大值為f(0)=0，這個極大值就是該函數(shù)的最大值，即最大值為0． 例11 設(shè)，，的最大值為，最小值為，求常數(shù)的值． 分析： 閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導(dǎo)的函數(shù)的最大值、最小值問題的解法應(yīng)該先出極大值、極小值，然后再與端點處的函數(shù)值進行比較，分類討論確定的值． 解： 　　令，解得， 　　當變化時，的變化情況如下表：　　 x －1 0 a 1 ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值b ↘

13、極小值 ↗ 由表可知，最大值應(yīng)為或 　　又， 故當時，有最大值 由已知，此時 　　由表可知，最小值應(yīng)為或 　　若時，有最小值，則 從而，，與已知條件矛盾 　　若時，有最小值，則得． 此時 故當時，的最小值為． 　　綜上所述，． 點評： 列出表格，由表格觀察分析，進行分類討論，是解決本題的關(guān)鍵，最后的檢驗不可少，因為滿足條件的可能是不存在的． 例12 已知，證明不等式． 分析： 要證，只需證為此令，只需證明在上是增函數(shù)，從而使問題解決 證明： 設(shè)，，由，知， 在上單調(diào)遞增，又，即，且， ，即． 點評： 本題是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式問題，

14、體會導(dǎo)數(shù)的作用． 例13 已知函數(shù)(，實數(shù)，為常數(shù))． (1)若()，且函數(shù)在上的最小值為0，求的值； (2)若對于任意的實數(shù)，，函數(shù)在區(qū)間上總是減函數(shù)，對每個給定的n，求的最大值h(n)． 分析：問題(1)可以是先用表示出在的最小值，在此過程中需要討論與1的大小關(guān)系，然后根據(jù)已知條件得到關(guān)于的方程求解；問題(2)先說明在區(qū)間上是減函數(shù)，從而有對恒成立． 解：(1)當時，． 則． 令，得(舍)，． ①當>1時， 1 － 0 ＋ ↘ ↗ ∴當時， ． 令，得． ②當時，≥0在上恒成立， 在上為增函數(shù)，當時，

15、 ． 令，得(舍)． 綜上所述，所求為． (2) ∵對于任意的實數(shù)，，在區(qū)間上總是減函數(shù)， 則對于x∈(1，3)，＜0， ∴在區(qū)間[1，3]上恒成立． 設(shè)g(x)=， ∵，∴g(x)在區(qū)間[1，3]上恒成立． 由g(x)二次項系數(shù)為正，得 即 亦即 ∵ =， ∴ 當n＜6時，m≤， 當n≥6時，m≤， ∴ 當n＜6時，h(n)= ， 當n≥6時，h(n)= ， 即 點評： 本例是一道導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式綜合問題，具有一定的難度，本題涉及的數(shù)學思想有分類討論、數(shù)形結(jié)合等． 4．自我檢測

16、(1)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是 ． (2)設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍____ __． (3)已知函數(shù)為常數(shù))在區(qū)間上單調(diào)遞增，且方程的根都在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是____________． (4)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間． ① ② ③ (5)求下列函數(shù)的極值． ① ② (6)函數(shù)處有極小值10，求a＋b的值． (7)已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有極大值，又有極小值，則實數(shù)的取值范圍是 ． (8)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值． 三、課后

17、鞏固練習 A組 1．函數(shù)f(x)=x3－3x2＋1的減區(qū)間為 ． 2．已知函數(shù)f(x)=2x3＋3x2－12x＋3，則函數(shù)f(x)在(－2，1)內(nèi)是 (填“增”、“減”)函數(shù)． 3．函數(shù)y=ex－x＋1的遞減區(qū)間是 ． 4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ． 5．若函數(shù)恰有3個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是 ． 6．若上是減函數(shù)，則b的取值范圍是 ．

18、7．對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f (x)，若滿足，則f (0)＋f (2) 2f (1)(請選填“￡”，“3”“<”“>”中的一個) ． 8．給出下列函數(shù)：①，②，③，④，其中在處取得極值的函數(shù)是 ． 9．函數(shù)在上的極值點有 個． 10．函數(shù)y=ax3＋bx2取得極大值和極小值時x的值分別為0和，則a與b的關(guān)系是 ． 11．函數(shù)在(0，1)內(nèi)有極小值，則b的取值范圍是 ． 12． 已知是函數(shù)的一個極值點，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．

19、13．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處取到極大值，則a的取值范圍是 ． 14．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于　 ?。? 15．函數(shù)的最大值是 ，最小值是 ． 16．函數(shù)在上的最大值為 ． 17．函數(shù)的最大值是 ． 18．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖， 則下列關(guān)于的說法正確的是 ． ①在上為減函數(shù)；②在處取得最大值； ③在上為減函數(shù)；④在處取得最小值． 19．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

20、： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．已知函數(shù)的遞增區(qū)間為(－2，3)，求a，b的值． 21．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 22．已知函數(shù)f(x)與g(x)均為閉區(qū)間a，b上的可導(dǎo)函數(shù)，且． 求證：當時，． 23．求下列函數(shù)的極值： (1)； (2)；(3)y=2ex＋e－x． 24．已知f(x)=ax3＋bx2＋cx在時取得極值，且f(1)=－1． (1)試求常數(shù)a、b、c的值； (2)試判斷f(1)與f(－1)是函數(shù)的極大值還是極小值，并說明理由． 25．已知函數(shù)在點處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1

21、，0)，(2，0)，如圖所示．求： (1)的值；(2)a，b，c的值． 26．已知函數(shù)， (1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值． B組 27．若函數(shù)的遞減區(qū)間為，則a的取值范圍是 ． 28．若不等式對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ． 29．若曲線與x軸有兩個不同的公共點，則實數(shù)a的值是 ． 30．已知函數(shù)有零點，則a的取值范圍是___________． 31．已知f(x)=x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍

22、為 ． 32．設(shè)函數(shù)f(x)=xsinx在x=x0處取得極值，則(1＋x02)(1＋cos2x0)的值為 ． 33．已知函數(shù)的圖象與x軸切于(1，0)，則f(x)的極大值為 ． 34．已知函數(shù)在(0，1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是 ． 35．設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點M，N，則當|MN|達到最小時t的值為 ． 36．已知函數(shù)，當x=－1時函數(shù)f(x)的極值為，則f(2)= ． 37．討論函數(shù)y=x－2sinx在內(nèi)的單調(diào)性． 38．若函

23、數(shù)在區(qū)間(1，4)上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍 ． 39．已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍． 40．已知f(x)=x3＋ax2＋bx＋c在x=－1與時，都取得極值． (1)求a，b的值； (2)若f(－1)=，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； 41．函數(shù)f(x)=x3＋3ax2＋3bx＋c在x=2處有極值，其圖象在x=1處的切線平行于直線3x＋y＋2=0，求函數(shù)的極大值與極小值的差． 42．已知函數(shù)f(x)=x3－3ax2＋2bx在點x=1處有極小值－1，試確定a，b的值，并求出f(x)的單調(diào)區(qū)間． 43．設(shè)函數(shù)，其中． (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

24、 (2)討論f(x)的極值． 44．已知a為實數(shù)，． (1)求導(dǎo)數(shù)；(2)若，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值； (3)若f(x)在和上都是遞增的，求a的取值范圍． 45．求函數(shù)的極值和最值，并畫出函數(shù)的簡圖． 46．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)圖象上的點(1，－)處的切線斜率為－4，求y＝f(x)的極大值． 47．對于任意的實數(shù)，證明： ． 48．已知函數(shù)f(x)＝xlnx． (1)求f(x)的最小值；(2)討論關(guān)于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的個數(shù)． C組 49．已知函數(shù) (1)求曲線在點處的切線方程； (2

25、)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (3)當時，若不等式恒成立，求的取值范圍． 50．求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間． 51．已知函數(shù) (1)求的值域； (2)設(shè)，函數(shù)。若對任意的總存在，使，求實數(shù)a的取值范圍。 52．已知函數(shù) (1)當時，恒成立，求a的取值范圍；(2)討論的定義域上的單調(diào)性； 53．設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)f(x)的圖像在x=1處的切線方程為y=3x＋2，(1)求a，b，c的值；(2)若對任意都有成立，求實數(shù)k的取值范圍；(3)若對任意都有，求實數(shù)m的取值范圍． 54．已知函數(shù)f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1． (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)設(shè)

26、a≤－2，證明：對任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|． 55．已知函數(shù)f(x)= (1)若h(x)=f(x)－g(x)存在單調(diào)增區(qū)間，求a的取值范圍； (2)是否存在實數(shù)a>0，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根?若存在，求出a的取值范圍?若不存在，請說明理由． 知識點 題號 注意點 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1～7，19～22，27，37，38，50 若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則，注意此時公式中的等號不能省略，否則有可能漏解． 求函數(shù)的極值 8～13，23～25，31～33，36，41 注意極值點與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：

27、極值點為的根，的根不一定是極值點． 求函數(shù)的最值或值域 15～17，26，34～35 閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導(dǎo)的函數(shù)的最大值、最小值問題的解法應(yīng)該先出極大值、極小值，然后再與端點處的函數(shù)值進行比較． 綜合應(yīng)用 14，18，28～30，40，42～49，51～55 靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決方程解的個數(shù)問題，不等式恒成立問題． 四、學習心得 五、拓展視野 函數(shù)在某開區(qū)間內(nèi)為常數(shù)，當且僅當在該區(qū)間內(nèi)恒成立．對于可導(dǎo)的函數(shù)，在某開區(qū)間內(nèi)單調(diào)增，可以得到在該區(qū)間內(nèi)恒成立．反之，滿足(假定不為常值函數(shù))在某開區(qū)間內(nèi)恒成立，卻不能保證在該區(qū)間內(nèi)

28、單調(diào)增，可能是單調(diào)增函數(shù)，也可能不是單調(diào)增函數(shù)，主要是看這些使得的實數(shù)(我們稱之為駐點)是“孤立”的還是“連續(xù)”的． 我們可以構(gòu)造滿足且單調(diào)遞增的函數(shù)，如；我們也可以構(gòu)造滿足但不是單調(diào)遞增的函數(shù)，如對于這個函數(shù)，我們需要理解在及處可導(dǎo)的概念(有興趣的同學可以參閱華東師范大學數(shù)學系編的《數(shù)學分析》一書中關(guān)于在某點處導(dǎo)數(shù)存在的條件，即左右導(dǎo)數(shù)存在且相等)． 明顯，對于滿足但的實數(shù)只有有限個的函數(shù)是一定是單調(diào)遞增的，那么如果滿足的實數(shù)有無限個的函數(shù)呢?我們也可以構(gòu)造一個定義在R上函數(shù)，滿足有無窮多個點使得，且是單調(diào)增函數(shù)．例如對任意的整數(shù)，當，定義．可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)的圖象是由的圖象(一段弧)經(jīng)過不斷地有規(guī)律地“延拓”而成，它有無數(shù)條水平的切線，也就是說該函數(shù)有無窮多個點滿足，你會發(fā)現(xiàn)它是增函數(shù)，主要還是因為這些滿足的點是“孤立”的．