江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 3.1兩角和與差的三角函數(shù)學案 蘇教版必修4

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1、3.1 兩角和與差的三角函數(shù) 一、 學習內容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 兩角和與差的余弦 向量法 理解 預習過程中要主動參與公式的發(fā)現(xiàn)和推導活動，要重視公式推導中的思維過程，而不是簡單的記住公式的結論；將兩角和與差的余弦與正弦公式在形式上的異同進行比較，并找到記憶的方法. 兩角和與差的正弦 化歸思想 兩角和與差的正切 化歸思想 二、 預習指導 1. 預習目標 (1)經歷用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用，掌握推導兩角差的余弦公式的多種方法，充分認識到兩角差的余弦公式是本單元所有公式的基礎； (2)用余弦的差

2、角公式推出余弦的和角公式,理解化歸思想在三角變換中的作用； (3)掌握的誘導公式； (4)理解以兩角差的余弦公式為基礎，推導兩角和、差正弦和正切公式的方法，體會三角恒等變換特點的過程，理解推導過程，掌握其應用； (5)能正確運用三角公式，進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形. 2. 預習提綱 (1)①探究兩角、的和與差、的三角函數(shù)與、的三角函數(shù)的關系，如：？反例：，思考問題：與、、、的關系？解決思路：探討三角函數(shù)問題的最基本的工具是直角坐標系中的單位圓及單位圓中的三角函數(shù)線 ②閱讀課本P91、P92思考如何推導 可記為，有其他推

3、導方法嗎?并探究 的公式：以-b代b得： 可記為 . ③閱讀課本P95思考如何推導兩角和的正弦公式 即： () 以-b代b得： () ④閱讀課本P100、P101思考如何推導公式∵ 當時, 分子分母同時除以得： 以-b代b得： ；其中都不等于 (2)閱讀課本P91～P103的例題，學會公式的靈活運用. 課本93頁例3是和差角公式與同角三角函數(shù)公式的綜合運用，在由sin

4、α的值求cosα的值，或由cosβ的值求sinβ的值時，要注意根據(jù)角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號. 課本96頁例3可以看成是和差角公式的逆向運用，也可以運用余弦的差角公式求解，此例題可以體會到三角恒等變換是研究三角函數(shù)的工具. 課本97頁的例4、例5都是通過變換角來消除角的差異，實現(xiàn)解題目標. 課本97頁的例6的解法體現(xiàn)了方程思想，分析時從解題目標入手，正確掌握公式的結構是靈活運用公式的基礎. 3. 典型例題 (1) 熟悉公式 例1 化簡： (1)； (2)； (3)； (4). 分析：(1)(2)(3)將需要化簡的式子與公式相比較，把不吻合的地方用誘導公式變過來(4)仔

5、細套用公式，展開即可. 解：(1)原式 (2)法1：原式 法2：原式 (3)原式 (4)原式= 例2 求值：(1)；(2)；(3). 分析：直接從正、反兩方面應用公式，形式不吻合時先轉化成吻合形式. 解：(1)原式=； (2)原式=； (3)原式=. (2) 應用公式進行計算、化簡、求值、證明等 例3 (1)求的值； (2)已知，求的值. 分析：(1)先用誘導公式將“大角”轉化為“小角”，再將“非特殊角”轉化為“特殊角”. 解： 分析：(2)先用結合角的范圍求出，再套公式 解：∵∴，∵ ∴， ∴ 例4 已知，，其中，，求． 分析：注意到已

6、知角與未知角之間的關系：，用誘導公式處理“”，再用和差角公式. 解：∵，∴，∴．又∵， ∴．∵，∴， ∴．又∵， ∴． ∵ . 例5 已知且，，求及角. 分析：將“”“”看成整體，把用它們的和或差表示出來. 解：∵∴ ∵∴ ∵，∴，又∵，∴ ∴. 例6 (1)已知，，求的值； (2)如果，，求的值. 分析：(1)將sin，分別展開，僅出現(xiàn)兩種不同類型的因子：與，將已知的兩個等式看成關于與的方程組，求出它們的值，然后兩式相除即可.思考：若條件改為 ，，可求什么？ (2)因求解目標中不含角，所以解題的關鍵是“消元”思想.將含的項先移到等式一側，利用消

7、去.思考：條件怎么改可求的值？ 解：(1)將，分別展開得：+= -=，兩式分別相加、減再除以2得：= =，兩式相除得，即 (2)由條件得 ，兩式分別平方相加得： ，即 ，∴. 例7 已知都是銳角，且，，，求的值. 分析：先求的正切，再視為一個角，求出的正切，最后結合的范圍求角. 解：∵ = ∴ ∵都是銳角且∴， ∴， 故. 例8 設函數(shù)的最小正周期為． (1)求的值； (2)若函數(shù)的圖像是由的圖像向右平移個單位長度得到，求的單調增區(qū)間． 解：(1) 依題意得，故的值為. (2)依題意得： 由 解得 故的單調增區(qū)間為： 例9 已知，是方

8、程的兩個實根，求 的值. 分析：先求出，若利用同角三角函數(shù)的關系分別求、則需要討論它們的符號，比較麻煩，這里可采用“弦”化“切”的特殊處理方法，通過添分母構造二次齊次式，再同時除以即可. 解：∵，是方程的兩個實根， ∴，， =. 原式= = (3) 公式的逆用 熟練掌握“”，“”( “”)的化簡. 靈活應用兩角和與差的正切公式 如：；；等. 例10 (1) 函數(shù) 的最小值是__________________； (2)若、是方程的兩個根，則 =_______________； (3)化簡：=_______________． 分析：(1)先展開再合并；(2)將所求

9、式子進行恰當?shù)拇钆洌Y合韋達定理求解；(3)弦切共存時，一般將“切”化成“弦”，再與通分；或將改寫成，分別化“弦”再通分. 解：(1)= ==， ∴ (2)由韋達定理.原式= == (3)原式 = 例11 求值：(1)； (2). 分析：(1)注意到，靈活應用；(2)用(1)的結論. 解：(1)原式= ==1 (2)由(1)知，只要，就有=1，從而 =1+=1+1=2 ∴原式= =. 4. 自我檢測 (1)的值等于 ． (2) ． (3) ． (4)化簡的結果是

10、 ． (5)已知 ． (6)的值為 ． (6)若 ． (7)求值：. 三、 課后鞏固練習 A組 1．在中，若，則的形狀為________________． 2．化簡等于________________． 3．如果，，那么的值等于 ． 4．的值等于_________ ． 5．化簡的值為___________． 6．的值等于_______________． 7．已知，， 則的值為___________ ． 8．已知， 那么的值為__

11、__________． 　 9．求值＝________________． 10．下列等式 (1)； (2)； (3)；(4). 其中成立的有____________． 11．已知，，則 ． 12．的值為__________． 13． ． 14．已知，，則 ． 15．已知，，則 ． 16．已知，，則 ． 17．設，，且，，求． 1

12、8．若，，，求的值． 19．已知，求的值． 20．設，，，則的值等于_________． 21．已知，，則的值為______________． 22．已知，則的值為______________． 23．如果那么等于___________． 24．設和是方程的兩個根，則、之間的關系是_____． 25．求值：(1) _________________________； (2) =___________ ； (3)=______________． (4) =______________． 26．在中，，，則 ．

13、 27．已知和是方程的兩個根，則 . 28．已知，，，，求的值． 29．在中，，求的值． B組 30．化簡求值：=______________ ． 31．化簡求值： ． 32．化簡求值：. 33．，，那么 ． 34．已知，求cosβ的值． 35．已知，則，的范圍分別是________________． 36．若，，則___________． 37．已知，，且，則__________． 38．若，，，則與的大小關系是 ． 39．若等式能夠成立，則的取值范

14、圍是是 ． 40．已知，則 ． 41．已知是的三個內角，且，試判斷的形狀． 42．已知是偶函數(shù)，求． 43．求函數(shù)的最值． 44． ． 45．若是銳角三角形，試比較大小： 1 ． 46. 求值 ． 47.已知，求的值． 48.已知函數(shù)其中， (1)若求的值； (2)在(1)的條件下，若函數(shù)的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數(shù)的解析式；并求最小正實數(shù)，使得函數(shù)的圖像象左平移個單位所對應的函數(shù)是偶函數(shù). 49．已知又，都是鈍角

15、，求的值． 50．關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為 求的取值范圍． C組 51．函數(shù)的最小正周期是________． 52．已知，，求的值． 53．在△ABC中，已知，，求cosC的值. 54．是否存在銳角和，使下列兩式：①，②同時成立？若存在，求出和；若不存在，請說明理由. 55．已知，，，其中，求的值及、的值． 知識點 題號 注意點 兩角和與差的余弦 直接應用公式 逆用、變用靈活運用公式 兩角和與差的正弦 注意運用輔助角公式研究函數(shù)性質 兩角和與差的正切 公式的變形運用 求角的大小 注意角的范圍 綜合

16、題 公式的靈活運用 四、 學習心得 五、 拓展視野 1.課本上用向量的數(shù)量積推導了兩角差的余弦公式，課本提供了另一個不用向量的證明思路，我們來試試看吧！ y x O 如圖：在直角坐標系中，單位圓O與軸交于，以為始邊分別作出角，其終邊分別和單位圓交于，，.∵，，∴，∴.由三角函數(shù)的定義，，的坐標分別為，， 由兩點之間的距離公式得 化簡得， 即 2.課本上用“”代“”的方法推導了兩角和的余弦公式，如何用向量的數(shù)量積直接推導呢？ 仿書上證明，只要將角對稱地翻折到軸下方即可.此時，坐標為，其它證明相同. 3.關于角的范圍的限定是三角函

17、數(shù)里的一個難點，我們既要掌握一點“縮角”的方法，更要善于避免“縮角”來優(yōu)化我們的解題過程.例如: (1)已知都是銳角，且，求角的值. 學生甲給出如下解答：∵都是銳角，∴且 ，， ∴. 由正弦函數(shù)的性質，滿足條件的角有兩個：或. 學生乙給出如下解答：∵都是銳角，∴且 ， ∴ . 由余弦函數(shù)的性質，滿足條件的角只有一個：. 試討論甲和乙到底誰對誰錯？ 解：滿足都是銳角，且的角是唯一的，故的值也唯一，不可能多解，所以甲肯定不對.事實上，由，以及函數(shù)在上單調遞增知，，同理，由知，所以，不可能等于 (2)在△ABC中，已知，，求的值. 解一：∵ ∴且， 又∵ ∴或， ∵ ∴ ∴ ∴ 解二：，當時， 與矛盾. 解三，∵∴ ∴ ∴B只能是銳角. 4．課本證明了這樣一個優(yōu)美的結論： 斜中，,事實上，斜中還有不少類似的等式，如 ① ② ③ ④ ⑤等等. 下面我們來證明① 證明：要證原等式，只要證 只要證，只要證 只要證(*).∵∴ =，∴(*)式成立 ∴原等式成立. 其它幾個等式，有興趣的同學試試看吧！