江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.2橢圓學(xué)案（無答案）蘇教版選修2-1

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1、2．2 橢圓 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　 掌握 1．讓學(xué)生自主探究：如何建系可使橢圓的方程形式簡單?對(duì)焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程， 能否從焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程的結(jié)構(gòu)特征來猜想出結(jié)論? 2．能熟練地利用待定系數(shù)法、定義法或轉(zhuǎn)移代入法求橢圓方程． 橢圓的幾何性質(zhì) 掌握 1．掌握a， b， c， e的幾何意義以及它們之間的關(guān)系． 2．通過對(duì)方程的討論， 知道解析幾何是怎樣用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)的． 直線與橢圓的位置關(guān)系 了解 直線與橢圓的位置關(guān)系的討論類似于直線與圓的位置關(guān)系的討論，但由于圓的幾何特性，它既可以利用代數(shù)法(即

2、聯(lián)立方程，利用判別式)，也可以利用幾何法(即圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系)來處理．直線與橢圓位置關(guān)系常聯(lián)立兩曲線方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程，利用判別式結(jié)合韋達(dá)定理來解決．中點(diǎn)弦問題可用點(diǎn)差法來處理． 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1．預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及a、b、c間的關(guān)系； (2)能熟練地利用待定系數(shù)法、定義法或轉(zhuǎn)移代入法求橢圓方程； (3)掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì)； (4)了解直線與橢圓的位置關(guān)系的處理方法； (5)體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法． 2．預(yù)習(xí)提綱 (1

3、)回顧必修2中直線與圓的相關(guān)知識(shí)，回答下列問題： ①直線的點(diǎn)斜式方程是如何建立的? ②圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是如何建立的? ③你能根據(jù)直線及圓的方程的建立過程，總結(jié)出建立曲線方程的一般步驟嗎? (2)閱讀課本第28－33頁，回答下列問題： ①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使方程的形式簡單，你認(rèn)為要推導(dǎo)橢圓的方程怎樣建系比較合適? ②焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________________，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________，其中a，b，c的關(guān)系為________________； ③橢圓(a＞b＞0)上的點(diǎn)中，橫坐標(biāo)x的范圍是　　　　，縱坐標(biāo)y的范圍是　　

4、　　??； ④橢圓關(guān)于____________都是對(duì)稱的，橢圓的對(duì)稱中心叫做　　　　　　　??； ⑤橢圓(a＞b＞0)的四個(gè)頂點(diǎn)是A1(______)、A2(______)、B1(______)、B2(______)，線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的　　　　　　　　?。? ⑥橢圓的焦距與長軸長的比e=，叫做橢圓的　　　　　　　　?。? (3)課本第29頁例1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這是同學(xué)們熟悉的實(shí)際模型，采用的方法是__________； 第29頁例2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，采用的方法是_____________，例2運(yùn)用方程證實(shí)猜想：橢圓可用圓通過壓縮變換得到，它揭示了橢圓與圓的內(nèi)在關(guān)系，這種內(nèi)

5、在聯(lián)系有利于進(jìn)行類比探索，請(qǐng)同學(xué)們思考課本第35頁探究拓展第12題； 第32頁例1，先由方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，再運(yùn)用幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題(如作圖等)，請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法； 第33頁例2希望同學(xué)們進(jìn)一步感受圓錐曲線的實(shí)際背景，思考為什么長軸端點(diǎn)分別是近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)? 3．典型例題 (1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ①待定系數(shù)法：已知焦點(diǎn)、焦距或橢圓上一點(diǎn)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：先確定方程的形式，再根據(jù)條件求a、b． 例1 求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)焦點(diǎn)在x軸上，a：b=2：1，c=； (2)焦點(diǎn)在y軸上，a2+b2=5，且過點(diǎn)(－，0)； (3)焦距為6，a－b=1

6、． 分析：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程首先需確定焦點(diǎn)的位置，然后利用條件通過解方程或方程組解得a、b，從而得出橢圓方程． 解：(1)由題意設(shè)橢圓方程為：(a>b>0)， 則 a：b=2：1，c=． 又 a2－b2=c2=6， 由得： 故橢圓方程為：； (2)由題意設(shè)橢圓方程為：(a>b>0)， 則橢圓過點(diǎn)(，0)， b2=2． 又 a2+b2=5，a2=3． 故橢圓方程為： ； (3)若焦點(diǎn)在x軸上，則設(shè)橢圓方程為：(a>b>0)， 焦距為6，a2－b2=9． 又a－b=1， a2=25，b2=16 即橢圓方程為：； 若焦點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)橢圓方程為： (a>b>0)，

7、 同上可得：a2=25，b2=16，即方程為：． 故橢圓方程為：或． 點(diǎn)評(píng)：求符合條件的橢圓方程常用待定系數(shù)法，在計(jì)算a、b的過程中注意準(zhǔn)確運(yùn)用a2=b2+c2這一條件．對(duì)焦點(diǎn)位置不確定的橢圓方程除了分類討論以外，也可以設(shè)為mx2+ny2=1(m>0，n>0且m≠n)的形式． 例2 已知方程(2－k)x2+ky2=2k－k2表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 分析： 二元方程表示橢圓可先將二元方程化成標(biāo)準(zhǔn)式． 解： 由(2－k)x2+ky2=2k－k2得： 　　 當(dāng)2k－k2≠0時(shí)有：． 　　 ∵　方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓， ∴　k＞2－ k＞0 ，即：1＜

8、k＜2． 點(diǎn)評(píng)：二元方程表示焦點(diǎn)在x軸或y軸上的橢圓首先是要求，其次若，則焦點(diǎn)在x軸上；若，則焦點(diǎn)在y軸上． ②定義法： 正確理解橢圓的定義是熟練運(yùn)用定義的前提，準(zhǔn)確運(yùn)用定義的關(guān)鍵是注意定義中的限制條件“2a>F1F2”及對(duì)題設(shè)條件的正確轉(zhuǎn)化． 例3 在圓C：內(nèi)有一點(diǎn)A(1，0)，Q為圓C上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線與C、Q的連線的交點(diǎn)為M，求M點(diǎn)的軌跡方程． 分析：定義法求軌跡方程關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，本題中M在CQ上，且有：MA=MQ． 解：由題意M在線段CQ上，從而有CQ=MQ+MC． 又M在AQ的垂直平分線上，MA=MQ． 即：MA+MC=CQ=5． A(1，0)、

9、C(－1，0)， 點(diǎn)M的軌跡是以A(1，0)、C(－1，0)為焦點(diǎn)，a=的橢圓． 故M點(diǎn)的軌跡方程為：． 點(diǎn)評(píng)：本題在解答過程巧妙地利用點(diǎn)M是AQ垂直平分線上的點(diǎn)，將條件轉(zhuǎn)化為：MA=MQ，再利用M是CQ上的點(diǎn)，結(jié)合A、C是定點(diǎn)得出點(diǎn)M滿足的條件：MA+MC=5，從而避免了煩瑣的解題過程，這在解析幾何中會(huì)經(jīng)常遇到，因此在解題過程中應(yīng)充分挖掘隱含的條件，以達(dá)到簡化之目的． ③坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法： 若一動(dòng)點(diǎn)(x，y)隨著另一動(dòng)點(diǎn)(x0，y0)變化，且x0，y0的關(guān)系已知，則將x0，y0用x、y表示代入已知關(guān)系式即可． 例4 將圓x2+y2=9上任意一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫近c(diǎn)M

10、，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線． 分析：利用條件得出點(diǎn)M(x，y)的坐標(biāo)與P(x0，y0)的坐標(biāo)間的關(guān)系，將x0，y0用x，y表示代入方程x2+y2=9即可． 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則由題意的：x0= x ，y0=3 y． 點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2+y2=9上， x02+y02=9， x2+9y2=9， 即點(diǎn)M的軌跡方程為：． 故點(diǎn)M的軌跡為：以(－2，0)、(2，0)為焦點(diǎn)，a=3的橢圓． 點(diǎn)評(píng)：此例的解題步驟是先寫出P點(diǎn)與M點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示P點(diǎn)坐標(biāo)并代入P點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程，整理即得所求軌跡方程．轉(zhuǎn)移代

11、入法的基本步驟是：先求出相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)間的坐標(biāo)關(guān)系，并且用從動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程并整理即得所求方程． (2)橢圓的幾何性質(zhì) ①已知橢圓方程得橢圓的幾何性質(zhì)：化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式． 例5 已知橢圓25x2+16y2=400，寫出其長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率． 分析：將橢圓方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：由25x2+16y2=400得：， 則a＝5，b＝4，故c＝3． 故橢圓的長軸長為10，短軸長為8，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)、(0，－3)，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (0，5)、(0，－5)、(4，0)、(－4，0)，離心率e=． 點(diǎn)評(píng)：由橢圓方

12、程求描述橢圓幾何性質(zhì)的量時(shí)，應(yīng)首先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式并判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，寫出a、b、c三個(gè)基本量，再寫其他的特征量． ②已知橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；一是定型，二是定a、b． 例6 分別求出符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)兩軸之和為20，焦距為4??； (2)長軸長是短軸長的3倍，且過點(diǎn)(0，3)； (3)與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離心率為． 分析：涉及到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程問題必須先考慮焦點(diǎn)位置，然后用待定系數(shù)法． 解：(1)由題意：a＋b＝10， a 2－b 2=20， 　　解方程組得：a＝6，b＝4． 若焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓方程為：； 若焦點(diǎn)在y

13、軸上，則橢圓方程為：． 故橢圓方程為：或． (2)由題意得：a＝3b， 若焦點(diǎn)在x軸上，則設(shè)橢圓方程為： ， ∵　橢圓過點(diǎn)(0，3)，∴　b 2=9， 即：橢圓方程為：． 若焦點(diǎn)在y軸上，則設(shè)橢圓方程為： ， ∵　橢圓過點(diǎn)(0，3)，∴　b 2=1， 即：橢圓方程為：． 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或． (3)由題意得：c＝． 又e ==　，∴　a＝5，∴　　b 2= a 2－c 2=20， 若焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓方程為：， 若焦點(diǎn)在y軸上，則設(shè)橢圓方程為：， 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或． (3)直線與橢圓的位置關(guān)系 直線與橢圓位置關(guān)系的討論類似于直線與圓的位置關(guān)系的討論

14、，但由于圓的幾何特性，它既可以利用代數(shù)法(即聯(lián)立方程，利用判別式)，也可以利用幾何法(即圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系)來處理．直線與橢圓位置關(guān)系常聯(lián)立兩曲線方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程，利用判別式結(jié)合韋達(dá)定理來解決．中點(diǎn)弦問題可用點(diǎn)差法來處理． 例7 已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓與直線x+y=1相交于A、B兩點(diǎn)，且AB=，連結(jié)AB的中點(diǎn)與原點(diǎn)的直線的斜率為，求此橢圓方程． 分析：焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸無法確定時(shí)，設(shè)橢圓方程為：ax2+by2=1(a，b＞0)． 解：設(shè)橢圓方程為：ax2+by2=1(a，b＞0)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)P(x0，y0) 由得

15、：(a+b)x2－2bx+b－1=0 ∵ 直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，∴ △=4(a+b－ab)＞0 且 ∴ |AB|= ∴ a+b－ab=(a+b)2 又，且AB中點(diǎn)與原點(diǎn)連結(jié)的斜率為 故，即b=a 解方程組得： 檢驗(yàn)知： 故橢圓方程為： 點(diǎn)評(píng)：涉及到弦長、弦的中點(diǎn)問題時(shí)，常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)． 例8 已知橢圓，直線，若橢圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱，求的取值范圍． 分析：若存在關(guān)于直線成軸對(duì)稱，則直線是線段的垂直平分線．要根據(jù)這幾個(gè)條件，尋求它們與所求之間的聯(lián)系，設(shè)計(jì)自己的解題方案，然后再實(shí)施解題方案． 解：法一 假設(shè)存在關(guān)于直線對(duì)稱 ，，，代入化簡得：

16、 設(shè)的中點(diǎn)為M，則 將M坐標(biāo)代入直線得： 法二 假設(shè)存在關(guān)于直線對(duì)稱，它們的中點(diǎn)為 則： ，代入橢圓方程得： ，令 法三 ……，在橢圓內(nèi) 點(diǎn)評(píng)：法一先利用求出的范圍，再找到的關(guān)系，從而求出的取值范圍． 法二法三點(diǎn)差法是通過設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，然后將兩式作差得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率間的關(guān)系，在處理中點(diǎn)弦時(shí)較為簡便，但在求弦中點(diǎn)軌跡時(shí)無法確定取值范圍，需按幾何意義確定． 4． 自我檢測 (1)若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F1(－3，0)、F2(3，0)的距離之和為10，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是___________． (2)若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F1(0，－2)、

17、F2(0，2)的距離之和為12，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是____________． (3)已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ________． (4)若橢圓的一個(gè)長軸端點(diǎn)到一個(gè)短軸端點(diǎn)的距離恰等于該橢圓的焦距，則該橢圓的離心率為_________． (5)已知橢圓的離心率為，則m的值為_________________． 三、課后鞏固練習(xí) A組 1．有下列命題：①平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓；②平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離和等于常數(shù)(大于F1 F2)的點(diǎn)的軌跡是橢圓；③方程(a＞c＞0)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；④方程(a＞0，

18、b＞0)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．其中真命題的序號(hào)為_________________． 2．橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于6，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離是 ． 3．橢圓9x2+4y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，焦距為 ． 4．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－2，0)、F2(2，0)，并且點(diǎn)M(0，2)在該橢圓上，則其方程為　 ______ 　?。? 5．方程，化簡的結(jié)果是_______________． 6．設(shè)F1、F2為橢圓16x2+25y2=400的焦點(diǎn)，P為橢圓與y軸的一個(gè)交點(diǎn)，則P到F1、F2的距離和為

19、． 7．已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，則 的周長為__________． 8．若橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(2，0)、(0，1)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ． 9．兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為8，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的和等于是10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ． 10．ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－4，0)、B(4，0)，ABC的周長是18，頂點(diǎn)C的軌跡方程為 ． 11．將圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫近c(diǎn)Q，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是_

20、______________． 12．已知圓x2+y2=4，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP’，則線段PP’的中點(diǎn)M的軌跡方程是_______________． 13．若橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)F1 (－4，0)、F2 (4，0)，過F1的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)ABF2的周長為20時(shí)橢圓方程為_________ __． 14．橢圓6x2+y2=6的長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是_______________． 15．橢圓的長軸長為 ，短軸長為 ． 16．橢圓的一焦點(diǎn)與兩頂點(diǎn)為等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則長軸長是短軸的__________倍． 17．與橢圓

21、x2+ky2=2(0＜k＜1)， k越接近　　，橢圓越扁，k越接近　　，橢圓越接近圓． 18．設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn),為直線上一點(diǎn),是底角為的等腰三角形,則的離心率為_________________． 19．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，則橢圓的離心率為___________． 20．設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以為圓心、且過橢圓中心的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，若直線與圓相切，則該橢圓的離心率為___________． 21．橢圓的右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是_____________． 22．中心在原點(diǎn)

22、，焦點(diǎn)在x軸上，若長軸長為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是_______________． 23．橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離是5，焦點(diǎn)到橢圓中心的距離為3，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______________． 24．已知F1、F2為橢圓(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2作橢圓的弦AB，若△AF1B的周長為16，橢圓離心率，則橢圓方程為_______________． 25．經(jīng)過橢圓(a＞b＞0)的焦點(diǎn)且垂直于橢圓長軸的弦長為________． 26．求出符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)a=，b=1焦點(diǎn)在x軸上； (2)a+c=10， a－c=4； (3

23、)焦距為4，過P(3，－2)，焦點(diǎn)在x軸上． 27．已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(－1，0)、F2(1，0)，P為橢圓上一點(diǎn)，且F1 F2是PF1和PF2的等差中項(xiàng)．試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 28．求以橢圓9x2+5y2=45的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)M 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 29．已知橢圓過點(diǎn)M(4，－)、N(2，3)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 30．ABC中，已知頂點(diǎn)B(－2，0)、C(2，0)，頂點(diǎn)A滿足：sinB+sinC=． (1)求ABC的周長； (2)求點(diǎn)A的軌跡方程． 31．求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)焦點(diǎn)為(±2，0)，過M(0，2)； (2)過點(diǎn)(0，－2)，(，0)

24、． 32．求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)焦距為8，離心率為0．8； (2)焦點(diǎn)與長軸較近端點(diǎn)距離為，焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直． 33．已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長軸長是6，且cos∠OFA＝，求橢圓方程． B組 34．橢圓ax2+by2+ab=0 (a

25、___________． 38．已知橢圓的離心率，則m的值為_______________． 39．若橢圓2kx2+ky2=1的一個(gè)焦點(diǎn)是(0，－4)，則k的值為______________． 40．過點(diǎn)F1(0，2)且與圓x2+(y+2)2=36內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為___________． 41．我國發(fā)射的“神舟”五號(hào)載人飛船的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面為m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面為n千米，地球半徑為R千米，則飛船運(yùn)行軌道的短軸長為_______________． 42．設(shè)橢圓的長軸兩端點(diǎn)為M、N，異于M、N的點(diǎn)P在橢圓上，則PM、PN的斜率之積為____

26、___________． 43．已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為、為橢圓上任意一點(diǎn)，且直線的斜率的取值范圍是，則直線的斜率的取值范圍是 ． 44．ABC中，A、B坐標(biāo)分別為(－6，0)、(6，0)，邊AC、BC所在直線斜率之積為，求頂點(diǎn)C的軌跡方程． 45．若焦點(diǎn)是(0，)的橢圓截直線3x－y－2=0所得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該橢圓方程為_______________． 46．直線y=2x+m與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________． 47．過橢圓x2+2y2=4的左焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線l被橢圓截得的弦長為________．

27、48．直線y=x+1被橢圓x2+2y2=4截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為____________． 49．橢圓x2+2y2=1中斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程為_________________． 50．過點(diǎn)P(1，1)作橢圓的弦AB，則弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為_____________． 51．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為(3，4)，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程． 52．點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，以點(diǎn)P以及焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于8．求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 53．已知x軸上的一定點(diǎn)A(1，0)，Q為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程． 54．已知定圓C1：x2

28、+y2+4x=0，圓C2 ： x2+y2－4x－60=0，動(dòng)圓M和定圓C1外切和圓C2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程． 55．已知橢圓上一點(diǎn)P，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，若，求的面積． 56．過點(diǎn)P(1，1)作橢圓的弦，并使P為弦的中點(diǎn)，求這弦所在直線方程，并求弦長． 57．過橢圓的左焦點(diǎn)作直線l和橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若弦長恰好等于短軸長，求直線l的方程． C組 58．已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率． (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在橢圓和上，，求直線的方程． 59．如圖，已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)B為橢圓與y軸的正半軸

29、的交點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)且在橢圓上，且PF2與x軸垂直， (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E（異于點(diǎn)B）在橢圓C上，求m的值。 60．設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率； (2)若，證明直線的斜率滿足． 61．已知F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，求證：以PF2為直徑的圓與以AB為直徑的圓內(nèi)切． 62．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為 ． F O A P Q y

30、x 63．設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點(diǎn)P、Q，且． (1)求橢圓C的離心率； (2)若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線：相切，求橢圓C的方程． 64．已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)已知點(diǎn)E(3，0)，設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足EP⊥EQ，求 的取值范圍． 65．若橢圓ax2+by2=1(a＞0，b＞0)與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM的斜率為2，且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))

31、，求橢圓的方程． 66．如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A,左右焦點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)分別為，且△ 是面積為4的直角三角形． (1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過做直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，使，求直線的方程． 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1，4，8～13，20～33，40，51，53～54，63 注意焦點(diǎn)位置，靈活應(yīng)用定義判斷軌跡從而求軌跡方程． 橢圓定義的應(yīng)用 2，5～7， 41， 52，55，61 靈活應(yīng)用橢圓的定義處理焦點(diǎn)三角形問題 橢圓的幾何性質(zhì) 3，14～16，34～39， 注意橢圓的焦點(diǎn)位置，兩解的情

32、況 橢圓離心率 17～21，62 靈活應(yīng)用橢圓的定義 直線與橢圓的位置關(guān)系 45～50，56～58，65，66 點(diǎn)差法處理與弦中點(diǎn)相關(guān)問題時(shí)注意直線與橢圓相交的前提 綜合問題 42～44，52，59，60，64 應(yīng)用代數(shù)方法解決橢圓綜合問題 四、自學(xué)心得 五、拓展視野 橢圓是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)． 橢圓能不能用折紙法作出呢? 先用圓規(guī)在紙上畫一個(gè)圓，小心地沿著圓周剪下一張圓形紙片來，設(shè)圓心是O，在圓內(nèi)任取一點(diǎn)F(不能取O)，用筆在F的位置做上記號(hào)．如圖2．1把紙片翻起一角，使圓周正好通過F，或者說使圓周上有－點(diǎn)M落到F的位置上，然后抹平紙片，得到一條折痕l(為了看清楚，也不妨用鉛筆把直線l描出來)．這樣繼續(xù)折下去，就得到若干條折痕．你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些折痕圍出一個(gè)橢圓的輪廓(圖2．2)．畫一條與這些折痕都相切的光滑曲線，就得到所要畫的橢圓了． 想一想，為什么這樣畫出的曲線一定是橢圓呢?（提示：證明需要的輔助線如圖2．3，F(xiàn)與O是橢圓的焦點(diǎn)） 在這個(gè)問題中，涉及很多數(shù)學(xué)知識(shí)，如這些折痕實(shí)際上是橢圓的切線；橢圓的光學(xué)性質(zhì)－－如果有一束光從F點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)橢圓反射后，反射光一定通過O點(diǎn)．北京天壇公園里的回音壁就是根據(jù)這個(gè)原理建造的．