《江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 1.1命題及其關(guān)系學案（無答案）蘇教版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 1.1命題及其關(guān)系學案（無答案）蘇教版選修2-1（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1．1 命題及其關(guān)系
一、學習內(nèi)容、要求及建議
知識、方法
要求
建議
命題四種形式
了解
從初中所學的命題入手，通過實例說明四種命題形式的客觀存在，體會研究四種命題形式的必要性；利用熟悉的命題理解四種命題的關(guān)系，避免抽象的討論．
必要條件、充分條件、充要條件
理解
二、預(yù)習指導
1．預(yù)習目標
(1)了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義；會分析四種命題的相互關(guān)系．
(2)感悟四種命題真假性的判斷方法：直接判斷、利用等價性判斷．
(3)理解充分條件、必要條件與充要條件的意義；會判斷充分條件、必要條件與充要條件．
(4)感悟和體會判斷充分條件、必要條件與充要條
2、件的方法：直接利用定義、利用命題的真假性、利用關(guān)系結(jié)構(gòu)圖、利用集合知識．
2．預(yù)習提綱
(1)什么叫命題?兩個命題怎樣才能成為互逆命題?
(2)四種命題之間的相互關(guān)系你會用圖來表示嗎?
(3)充分條件、必要條件與充要條件的意義：如果p q，那么p是q的_________，q是p的___________； 如果p q，那么p是q的__________．
(4)閱讀課本第5頁至第9頁內(nèi)容，并完成課后練習．
(5)結(jié)合課本第6頁的例1，學會寫出命題的逆命題、否命題與逆否命題；結(jié)合課本第6頁的例2，體會判斷命題、逆命題、否命題與逆否命題真假的方法；結(jié)合課本第7頁的例1，感悟和體會判斷充
3、分條件、必要條件與充要條件的方法．
(6)請小結(jié)四種命題真假性的判斷方法以及充分條件、必要條件與充要條件的判斷方法，并與同學交流．
3．典型例題
(1)如何判斷一個命題的真假?
例1 判斷下列語句是不是命題?若是，判斷其真假，若不是，請說明理由．
① x2－5x+6=0；
② 當x=4時，2x<0；
③ 垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎?
④ 一個數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)；
⑤ 求證：若x∈R，方程x2+x+1=0無實根．
分析：可以判斷真假的語句叫做命題，命題非真即假，二者必居其一． 對于不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的簡單命題，可直接判斷其真假．
解: ①不是命題，因為語句中含有變量x
4、，在不給定變量的值之前，我們無法確定該語句的真假(這種含有變量的語句叫“開語句”)；
②是命題，它是能作出真假判斷的語句，它是一個假命題；
③不是命題，因為沒有對垂直于同一條直線的兩條直線是否平行作出判斷，疑問句不是命題；
④是命題，假命題，因為數(shù)1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；
⑤不是命題，它是祈使句，沒有作出判斷．
點評：開語句、疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題．
(2)如何寫出四種命題，它們的真假關(guān)系如何?
例2 已知命題:有一組對邊平行，而另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形．請判斷這個命題和它的否命題的真假．
分析：我們先要把命題寫成為“若p則q”的形式，然后寫出命題的逆命題
5、、否命題與逆否命題．
解：等腰梯形的一組對邊平行，另一組對邊相等，但等腰梯形不是平行四邊形，故原命題是假命題．又平行四邊形的一組對邊平行，另一組對邊相等，即逆命題是真命題，據(jù)逆命題和否命題的等價性知，否命題是真命題．
點評：直接舉反例可知原命題為假命題．而否命題的真假難判定，則通過判定其等價命題－－逆命題的真假來推得結(jié)論．原命題與逆否命題、逆命題與否命題是等價命題，它們同真或同假．
例3 原命題“若xy=1，則x，y互為倒數(shù)”，請寫出它的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷真假．
分析：因為互為逆否命題的兩個命題同真或同假，所以要判斷四種命題的真假，只需判斷其中兩個的真假，然后利用等價性
6、得到另兩個命題的真假．
解：原命題“若xy=1，則x，y互為倒數(shù)”是真命題，
逆否命題：“若x，y不互為倒數(shù)，則xy≠1”，
因為原命題與逆否命題是等價命題，它們同真或同假，所以逆否命題是真命題；
逆命題：“若x，y互為倒數(shù)，則xy=1”，是真命題，
否命題：“若xy≠1，則x，y不互為倒數(shù)”，
因為逆命題與否命題是等價命題，它們同真或同假，所以否命題是真命題．
因此原命題、逆命題、否命題、逆否命題都是真命題．
點評：本題是利用四種命題的關(guān)系判斷四種命題的真假．
例4 已知p： x+y ≠3，q：x ≠1 或y ≠2，則p是q的________ 條件(填：充要、 充分而不必
7、要、必要而不充分、既不充分又不必要)．
解：∵ p： x+y ≠3，q：x ≠1 或y ≠2
∴ 非p：x+y =3，非q：x =1 且y =2
當非q成立時，x =1 且y =2，則x+y =3，即非p成立，∴非q非p；
但當非p成立時，非q不一定成立，如x=y=1．5時，x+y =3，非p成立，非q不成立，故：非p 非q．
∴ p q且qp，p是q的充分而不必要條件．
點評： p、q都是否定性說法，考察命題“若p則q”、“若q則p”的真假性較難，故先判斷其逆否命題“若非q則非p”、 “若非p 則非q” 的真假，再利用等價性判斷命題“若p 則q
8、”、“若q則p”的真假，從而判斷條件的充要性．
例5 已知p、q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么，
(1) s是q的什么條件；
(2) r是q的什么條件；
(3) p是q的什么條件．
解：據(jù)題意
(1)s是q的充要條件；
(2)r是q的充要條件；
(3)p是q的必要條件．
點評：這是多條件的充分條件、必要條件、充要條件的關(guān)系判定，應(yīng)根據(jù)定義，考察p、q、r、s的互推關(guān)系，畫出它們的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖，再予以判定．
例6 已知p：，q：：x2－2x + 1－m2≤0(m > 0)，若非p是非q的充分而不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．
解：由x2－
9、2x+1－m2≤0，(m>0)得1－m ≤x≤1＋m，
故非q：A＝{x|x > 1+m或x < 1－m，m > 0}，
由，得 －2≤x≤10，
故非p： B＝{ x| x>10或x<－2}，
∵ 非p是非q的充分而不必要條件，
∴ BA．
∴ 且等號不能同時取， 解得：m ≤3，又m >0，∴ 0 < m ≤3．
∴ 實數(shù)m的取值范圍是．
點評：本例由“非p是非q的充分而不必要條件”得“非p非q但非q非p”，然后借助集合間關(guān)系求得m的取值范圍．本題也可用四種命題的關(guān)系，將已知條件等價轉(zhuǎn)化為“qp且pq”，然后求解．請再用等價轉(zhuǎn)化的思想解答本例．
(3)相關(guān)的證明問題的
10、處理：
①要證明p是q的充分不必要條件，只要證明“若p則q”為真，而“若q則p”為假；
②要證明p是q的必要不充分條件，只要證明“若q則p”為真，而“若p則q”為假；
③要證明p是q的充要條件，只要證明“若p則q”與 “若q則p”都為真，即：對于充要條件的證明，一般分充分性和必要性兩種情況分別加以證明，缺一不可；
④要證明p是q的既不充分又不必要條件，只要說明“若p則q”與“若q則p”都為假．
例7 方程ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一負實根的充要條件是_____．
分析：由a≠0知方程是一元二次方程，方程至少有一負根包括兩種情形：有一非負根和一負根、有兩個負根，應(yīng)分類討論
11、．
解：將x=0代入原方程，得1=0，不合題意，因此方程無零根．
(1)方程有一正根和一負根；
(2)方程有兩個負根．
綜合(1)、(2)，方程ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一負根的充要條件是a<0或0
12、一根x=1．
綜上所述，方程ax2+bx+c=0有一根x=1的充要條件是a+b+c=0．
點評：對于充要條件的證明，一般都分“充分性”和“必要性”兩種情況分別加以證明，缺一不可． 證明時不要顛倒充分性和必要性．
4．自我檢測
(1)判斷下列語句是不是命題?若是，判斷其真假，若不是，請說明理由．
① 3是12的約數(shù)；
② 大角所對的邊大于小角所對的邊；
③ π是無理數(shù)嗎?
④ 一個數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)．
(2)寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題．
① 原命題：若a=0，則ab=0
② 原命題：對角線相等的平行四邊形是矩形．
(3)填空：(用“充分不必要”、“必要不充分
13、”、“充要”、“既不充分也不必要”填空)
?、佟 癆B+BC=AC”是“A、B、C三點共線”的___________條件；
?、凇 發(fā)∥AB”是“A、B到l等距離”的________條件．
?、邸 癮b=0”是“a2+b2=0”的________條件．
?、堋∪鬭≠0，則“x=1是方程ax2+bx+c=0的一個根”是“a+b+c=0”的_______條件．
(4) ① “(1－|x|)(1+x)>0”是“|x|<1”的__________條件；
?、凇 癮≠1”是“a2≠1”的________條件；
?、邸 癆B”是“(A∩C)(B∩C)”的
14、_________條件 ．
三、 課后鞏固練習
A組
1．若命題m的逆命題是n，命題m的否命題是r，則n是r的_______．(填逆命題、否命題、逆否命題)
2．寫出命題 “若x2+y2=0，則x，y全為零”的逆命題，否命題，逆否命題．
3．以下四個命題的的真假是 _________ ．
(1)原命題：若一個自然數(shù)的末位數(shù)字為5，則這個自然數(shù)能被5整除；
(2)逆命題：若一個自然數(shù)能被5整除，則這個自然數(shù)的末位數(shù)字為5；
(3)否命題：若一個自然數(shù)的末位數(shù)字不為5，則這個自然數(shù)不能被5整除；
(4)逆否命題：若一個自然數(shù)不能被5整除，則這個自然數(shù)的末位數(shù)字不為5．
15、4．判斷命題“若a，b是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題的真假．
5．判斷命題“若m>0，則x2+x－m=0有實根”的逆否命題的真假．
6．寫出命題“若x≠y，則x2≠y2”的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷真假．
7． 指出下列命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件．
(1)p：|x|≤1，q：|x|<2； (2)p：x>－1，q： |x|<1 ．
8． 若a、b、c都是實數(shù)，試從
(A)ab=0；(B)a+b=0；(C)a2+b2=0；(D)ab>0；(E)a+b>0；(F)a2+b2>0，分別選出適合下列條件者，用代號填空：(1)使a、b都為0的充分條件是__
16、______________；(2)使a、b都不為0的充分條件是______________；(3)使a、b中至少有一個為0的充要條件是____________；(4)使a、b中至少有一個不為0的充要條件是_______________．
9．a(chǎn)、b∈R，條件是條件的_________．
10．已知A和B是兩個命題，如果A是B的充分條件，那么非A是非B的什么條件?
11．是的______條件．
12．設(shè)P：{x|0
17、______條件．
14．“a2－b2是偶數(shù)”成立的______條件是“a－b=0”．
15．設(shè)甲、乙、丙是三個命題，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分但不必要條件，那么丙是甲的___________條件．
16．方程3x2－10x+k=0有兩個異號的實根的充要條件是_____．
17．下列四組條件：
①甲：； 乙：
②甲：； 乙：
③甲：； 乙：
④甲：； 乙：
其中甲是乙的充分但不必要條件的是____________(請把正確命題的序號填上)．
B組
18．如果否命題為“若x+y≤0，則x≤0”，寫出相應(yīng)的原命題，逆命題與逆否命題．
19．原命題為
18、“末位數(shù)是0的整數(shù)，可以被5整除”，寫出逆命題，否命題，逆否命題．
20．把命題“負數(shù)的平方是正數(shù)”改寫成“若p則q”的形式，并寫出它的逆命題，否命題，逆否命題．
21．有下列命題：
(1)“若x2+y2=0，則x，y全為0”的否命題；
(2)“全等三角形是相似三角形”的否命題；
(3)“若m>1，則關(guān)于x的不等式mx2－2(m+1)x－(m－3)>0的解集為R”的逆命題；
(4)“若a+5是無理數(shù)，則a是無理數(shù)”的逆否命題．
其中，是真命題的是___________ ．
22．命題“各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的正整數(shù)可以被9整除”，與它的逆命題，否命題及逆否命題中假命題有____
19、_個，真命題有______個．
23．寫出命題“若AB，則AB=A”的逆命題，并判斷真假．
24．設(shè)原命題是“當a>0時，若|x|
20、
27．已知p是r的充分條件，r是q的必要條件，r又是s的充分條件，q是s的必要條件，那么(1)s是p的什么條件? (2)r是q的什么條件? (3)在p、q、s、r中，哪幾對互為充要條件?
28．設(shè)條件p：；條件q：．若┐p是┐q的必要而不充分的條件，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
29．已知條件p：ax2+2ax+1>0的解集為R；條件q：00的解集為()的充要條件是0≤m<．
C組
32．給定下列兩個關(guān)于異面
21、直線的命題：
命題Ⅰ：若平面α內(nèi)的直線a與平面β內(nèi)的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么，c至多與a，b中的一條相交；
命題Ⅱ：不存在這樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線．
那么，命題Ⅰ、命題Ⅱ是否正確?
33．定義在R上的函數(shù)y=f(x－1)是單調(diào)減函數(shù)，其圖象如圖所示，
給出三個結(jié)論：(1)f(0) =1；(2)f(1)<1；(3)f(0)<0．5．
其中正確的命題是 ．
34．給出以下命題：①若，則的取
值范圍是(1，)；?、诤瘮?shù)的單調(diào)遞
減區(qū)間為；③若數(shù)列{an}前n項之和為Sn=3n－
22、2，則數(shù)列{an}
的通項公式an=2×3n－1；④若定義在R上的函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則f(x)
為偶函數(shù)．則以上命題中正確命題的序號為 ．
35．判斷命題“若ab=0，則a≠0且b≠0”的否命題的真假．
36．判斷命題“若ab≤15，則a≤5或b≤3”的否命題的真假．
知識點
題號
注意點
四種命題
1～6，18～25，32～36
判斷一個命題的真假時要注意原命題和逆否命題同真假，顧原命題難判斷真假時可以判斷其逆否命題
充要條件
7～16，17，26～31，
要分清“ 的充要條件是 ”和“
23、
____________是 的充要條件”
四、學習心得
五、拓展視野
我們規(guī)定真命題賦值為1，假命題賦值為0，“1”或“0”均稱作命題的“真值”．
命題A：“在同一個直角坐標系中，曲線y = ax(a > 0)的圖象與y = x的圖象至多有一個交點．”那么，命題A的真值是_______．
解：當a =1和0 < a < 1時，y = ax與y = x的圖象有且僅有一個交點；而當a > 1時，若取a = ，則x =1時，y = ax = >1，(1， )在直線y =x的上方；當x =2時，y =
24、ax =2，(2， 2)是兩曲線的一個交點，當x = 3時，y = ax = 2 < 3，(3， 2)在直線y = x的下方；當x = 4時，y = ax = 4，(4 ， 4)是兩曲線的另一個交點；當x > 4時，()x > x，兩曲線再無交點．所以，當a = 時，y = ax的圖象與y =x的圖象有兩個交點，故命題A是假命題，其真值為0．
點評：題中當0 < a ≤1時兩曲線只有一個公共點，但當a > 1且a 比較接近1時，如解中的a =，或a = 1．1等，兩曲線有兩個公共點．而當a較大時，如a =2，a =3等時，兩曲線無公共點．判斷一個命題為假，只需找出一個反例．故A是假命題．
江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 1.1命題及其關(guān)系學案（無答案）蘇教版選修2-1
