江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.1向量的概念及表示學(xué)案（無答案）蘇教版必修4

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1、2.1 向量的概念及表示 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 向量的實(shí)際背景：物理中位移、速度、力和幾何中有向線段等 了解 結(jié)合具體背景學(xué)習(xí)向量概念、與物理中矢量進(jìn)行比較，認(rèn)識(shí)向量是既有大小又有方向的量. 平面向量的基本概念和幾何表示：向量、零向量、單位向量、相等向量及共線向量等 理解 向量相等的含義 理解 二、 預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1. 預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)理解向量、零向量、單位向量、相等向量及共線向量等概念； (2)掌握向量的表示方法； (3)能在圖形中辨認(rèn)共線向量與相等向量，能用有向線段表示已知向量． 2. 預(yù)習(xí)提綱 (1)復(fù)習(xí)物理中位移、速度、力和

2、幾何中有向線段等概念，理解平面向量的含義． (2)閱讀課本P57-58,思考下列內(nèi)容： ①向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量． ②向量的表示：向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．符號(hào)表示以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量．向量也可以用小寫字母，，等表示． ③向量的模：向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度或向量的模，記作||． ④向量的其他概念及表示方法． 3. 典型例題 (1) 向量的有關(guān)概念 例1 給出下列命題： ①若=，則；②若<，則；③若=，則∥； ④若∥，則=；⑤若=0，則=0；⑥若=，則=． 其中正確命題的序號(hào)是

3、 ． 分析：解答本題可借助于相等向量、共線向量的概念等基本知識(shí)逐一進(jìn)行判斷． 解：由相等向量定義可知，若=，則，的模相等，方向相同，故①不正確，⑥正 確． <知模的大小，而不能確定方向，故②不正確． 共線向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共線，共線向量不一定相等，故③正確，④不正確． 零向量與數(shù)字0是兩個(gè)不同的概念，零向量不等于數(shù)字0，故⑤不正確． 所以答案為③⑥． 點(diǎn)評(píng)：此類題目關(guān)鍵是理解、區(qū)分向量的有關(guān)概念，從向量的長(zhǎng)度與方向兩方面認(rèn)識(shí)向量，可舉特例選擇． (2) 共線向量與相等向量 方向相同或相反的的非零向量為平行向量，零向量與任意向量平

4、行．在圖形中要能識(shí)別共線向量與相等向量． 例2 如圖：EF是△ABC的中位線，AD是△ABC的BC邊上的中線，以A、B、C、D、E、F為端點(diǎn)的有向線段表示的向量中 (1)與向量共線的向量有哪幾個(gè)？請(qǐng)分別寫出這些向量； (2)與向量的模一定相等的向量有哪幾個(gè)？請(qǐng)寫出這些向量； (3)寫出與向量相等的向量． 分析：根據(jù)共線向量與相等向量的定義即可解決． 解：(1)與共線的向量有7個(gè)，它們分別是； (2)與向量的模一定相等的向量有5個(gè)，它們分別是； (3)如圖，==. (3) 向量的應(yīng)用 例3 若且，判斷四邊形ABCD的形狀. 分析：先由得出四邊形為平行四邊形，再由得出結(jié)論．

5、 解：由知∥且=，所以四邊形ABCD為平行四邊形， 又因?yàn)?，所以四邊形ABCD為菱形． 點(diǎn)評(píng)：隱含∥與=兩方面，一般，判斷四邊形的形狀需要判斷對(duì)邊與鄰邊的關(guān)系． 4. 自我檢測(cè) (1) 判斷下列說法是否正確： ①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合； ②若、都是單位向量，則； ③物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量； ④不相等的向量一定不平行； ⑤若平行，平

6、行，則平行； ⑥零向量沒有方向； ⑦零向量與任何向量都平行； 　　 ⑧零向量的方向是任意的； ⑨向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上； ⑩有向線段就是向量，向量就是有向線段．

7、 (2) 思考討論： ①所有的單位向量都相等嗎？ ②∥與∥一樣嗎？ ③向量、能不能用不等號(hào)將它們連接起來？即能表示為＞或＜嗎？ 三、 課后鞏固練習(xí) A組 1．給出下列命題： ①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等； ②若向量與向量平行，則與的方向相同或相反； ③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同； ④兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量. 其中，正確命題的個(gè)數(shù)是 ． 2．以下各物理量：速度、位移、力、功，不能稱之為向量的是 ． 3．

8、向量的長(zhǎng)度記作_____；的模是_____，是單位向量，則的值是____． 4．與非零向量()平行的向量中，不相等的單位向量有_____個(gè)． 5．已知、為不共線的非零向量，且存在向量，使∥，∥， 則=_______． 6．在直角坐標(biāo)系中，已知=2，則點(diǎn)P構(gòu)成的圖形是_______． 7．如圖在正六邊形ABCDEF中，Ｏ為中心， 　(1)與相等的向量有　　　　 　　??； 　(2)與共線的向量有　　　 　　　?。? 　(3)與的模相等且反向的向量有　　 　　?。? 8．直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1，3)，(5，2)，試畫出兩個(gè)與向量

9、不相等且又共線的向量． B組 9.在直角坐標(biāo)系中，畫出向量：=5，的方向與x軸正向的夾角是30°，與y軸正方向的夾角是120°． 10. 如圖，D、E、F分別是△ABC各邊上的中點(diǎn)，四邊形BCMF是平行四邊形．分別寫出： (1)與共線的向量； (2)與共線的向量； (3)與相等的向量； (4)與相等的向量． 11. 一架飛機(jī)從A點(diǎn)向西北飛行200km到達(dá)B點(diǎn)，再從B點(diǎn)向東飛行km到達(dá)C點(diǎn)，再從C點(diǎn)向東偏南30°飛行了km到達(dá)D點(diǎn)．問D點(diǎn)在A點(diǎn)的什么方向，距A點(diǎn)有多遠(yuǎn)？ 12．右圖是中國(guó)象棋的半個(gè)棋盤，“馬走日”是象棋中馬的走法，如圖，馬可從A跳到A1，也可跳到A2，用向量表

10、示馬走了“一步”，試在圖中畫出馬在B,C處走“一步”的所有情況． 13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)的位置在(0，0)，圓在軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2，1)時(shí)，的坐標(biāo)為 ． 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 向量的實(shí)際背景 結(jié)合向量相等的概念，在一些幾何圖形中,能找到相等的向量，理清平行向量、共線向量、相反向量、相等向量的概念 平面向量的基本概念和幾何表示 向量相等的含義 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 向量的由來 向量又稱為矢量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)．很多物理量如力、速

11、度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量．大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到．“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段．最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓． 　　課本上討論的向量是一種帶幾何性質(zhì)的量，除零向量外，總可以畫出箭頭表示方向．但是在高等數(shù)學(xué)中還有更廣泛的向量．例如，把所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體看成一個(gè)多項(xiàng)式空間，這里的多項(xiàng)式都可看成一個(gè)向量．在這種情況下，要找出起點(diǎn)和終點(diǎn)甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的．這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數(shù)學(xué)對(duì)象或物理對(duì)象．這樣，就可以指導(dǎo)線性代數(shù)方法應(yīng)用到廣闊的自然科學(xué)領(lǐng)域中去了．因此，向量空間的概念，已成了數(shù)學(xué)中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法在自然科學(xué)的各領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用．而向量及其線性運(yùn)算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個(gè)具體的模型． 從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，歷史上很長(zhǎng)一段時(shí)間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)，直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們才把空間的性質(zhì)與向量運(yùn)算聯(lián)系起來，使向量成為具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系．