江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.1合情推理與演繹推理學(xué)案（無答案）蘇教版選修2-2

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1、2.1 合情推理與演繹推理 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 合情推理 理解 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． 演繹推理 理解 了解演繹推理的重要性，理解演繹推理的基本模式，并能運用演繹推理進(jìn)行一些簡單的推理；了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差異． 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1．預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)了解合情推理的含義；能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理． (2)體會演繹推理的重要性，理解演繹推理的基本方法，并能運用它們進(jìn)行一些簡單的推理． (3)了解合情推理與演繹推理

2、之間的聯(lián)系與差別，體會并認(rèn)識合情推理、演繹推理在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． 2．預(yù)習(xí)提綱 (1)實驗、觀察、操作是人們認(rèn)識事物的重要手段．通過實驗、觀察、操作得到的結(jié)論常常是正確的，但是僅憑實驗、觀察、操作得到的結(jié)論有時是不深入的、不全面的，甚至是錯誤的．回顧八年級(下冊)(江蘇科學(xué)技術(shù)出版社)，第十一章圖形與證明(一)第125－133頁，體會：“探索中，豐富對圖形的認(rèn)識．” (2)任何推理都包含前提和結(jié)論兩個部分，_____是推理所依據(jù)的命題，它告訴我們已知的知識是什么，_____是根據(jù)前提推得的命題，它告訴我們推得的知識是什么． (3)從個別事實中推演出一般性的結(jié)論，這樣的推理通常稱為__

3、________．歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理，是一種具有創(chuàng)造性的推理．歸納推理的思維過程為：_________________． (4)根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理通常稱為__________．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)．類比推理的思維過程為：_________________． (5)合情推理是根據(jù)已有的事實、正確的結(jié)論、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程．________和________都是數(shù)學(xué)活動中常用的合情推理． (6)演繹推理是由一般

4、到特殊的推理，在前提和推理形式都正確的前提下，結(jié)論一定正確．________式推理是演繹推理的主要形式，其常用的格式為_____________． (7)閱讀課本第62頁的例1，學(xué)習(xí)歸納推理，會利用歸納進(jìn)行簡單的推理；閱讀課本第65－66頁的例1和例2，學(xué)習(xí)類比推理，會利用類比進(jìn)行簡單的推理；閱讀課本第68－69頁的例1和例2，學(xué)習(xí)演繹推理，會利用三段論以及它的簡略形式進(jìn)行簡單的推理．閱讀課本第72－76頁的推理案例，體會合情推理和演繹推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中的作用． (8)閱讀課本第61頁至第77頁內(nèi)容，并完成課后練習(xí)． (9)成立學(xué)習(xí)小組，去探索、猜測一些數(shù)學(xué)結(jié)論，并與其他小組交流．

5、3．典型例題 (1)任何推理都包含前提和結(jié)論兩個部分，前提是推理所依據(jù)的命題，它告訴我們已知的知識是什么，結(jié)論是根據(jù)前提推得的命題，它告訴我們推得的知識是什么． 例1 你能說出下列推理案例中的前提和結(jié)論嗎? ①　4=2＋2； 6=3＋3； 8=3＋5； 10=3＋7=5＋5； 12=5＋7； 14=3＋11=7＋7； 16=3＋13=5＋11； 18=5＋13=7＋11； 20=3＋17=7＋13； ……； 所以任何大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和． ②　狗是有骨骼的； 鳥是有骨骼的； 魚是有骨骼的； 蛇是有骨骼的． 所以青蛙是有骨骼的． ③　所有的

6、鳥都會飛， 麻雀是鳥． 麻雀會飛． 分析：任何推理都包含前提和結(jié)論兩個部分，我們要分清這兩部分．①是著名的哥德巴赫猜想，簡稱“1＋1”，至今沒有人能完全證明這個命題． 解：?、佟∏疤幔?=2＋2； 6=3＋3； 8=3＋5； 10=3＋7=5＋5； 12=5＋7； 14=3＋11=7＋7； 16=3＋13=5＋11； 18=5＋13=7＋11； 20=3＋17=7＋13； ……； 結(jié)論：任何大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和． ②　前提：狗是有骨骼的； 鳥是有骨骼的； 魚是有骨骼的； 蛇是有骨骼的． 結(jié)論：青蛙是有骨骼的． ③　前提：所有的鳥都會飛，

7、 麻雀是鳥． 結(jié)論：麻雀會飛． (2)歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理．歸納常常從觀察開始，觀察、實驗、對有限的資料作歸納整理、提出帶有規(guī)律性的猜想，這是數(shù)學(xué)研究的基本方法之一． 歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì) 從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題(猜想)． 例2 ①　已知：， ， 通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題_________； ②　已知：， ， 通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題： _____________________=( * )，并給出( * )式的證明． 分析：通常歸納的個體數(shù)

8、目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．我們要仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律，掌握技巧，解決問題． 解：?、?若都不是，且， 則； ②　一般形式： ， 證明： 左邊 = = = = = ∴原式得證 (將一般形式寫成 ， 等均正確．) 例3 (1)已知數(shù)列的第1項，且，試歸納出這個數(shù)列的通項公式； (2)已知數(shù)列的第1項，且，試歸納出這個數(shù)列的通項公式； (3)已知數(shù)列的第1項，且，則____； (4)已知數(shù)列滿足，()，則的值為 ． 分析： 通常我們會寫出數(shù)列的前幾項，然后尋找其規(guī)律，歸納出這

9、個數(shù)列的通項公式．但歸納不能代替證明，本題的歸納是不完全歸納，我們不能肯定所得的通項公式是否正確．事實上，我們可以直接求出數(shù)列的通項公式．①、②給我們的啟發(fā)：對滿足型的數(shù)列，當(dāng)時采取取倒數(shù)的方法即可得出數(shù)列是等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求出數(shù)列的通項；③、④給我們的啟發(fā)：結(jié)構(gòu)與兩角和或差的正切公式相似，這樣的數(shù)列一定是周期數(shù)列． 解：(1)法1：，，…，一般地有； 法2：由得，，即， 所以數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，則， 而，則； (2)法1：，，…，一般地有； 法2：由得，，即， 所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，則， 而，則； (3)法1：由于，，則，，

10、，由此歸納出數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，則； 法2：，令，則， 則(k是整數(shù))，即，， 而，則，； (4)法1：分別求出、、、，可以發(fā)現(xiàn)，且，故． 法2：由，聯(lián)想到兩角和的正切公式，設(shè)，則有，，， ，……． 則，故． (3)類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)．類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠． 例4 設(shè)N=2n（n∈N*，n≥2），將N個數(shù)x1,x2,…，xN依次放入編號為1,2，…，N的N個位置，得到排列P0=x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前

11、和后個位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到P2；當(dāng)2≤i≤n-2時，將Pi分成2i段，每段個數(shù)，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當(dāng)N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置. (1)當(dāng)N=16時，x7位于P2中的第___個位置； (2)當(dāng)N=2n（n≥8）時，x173位于P4中的第___個位置. 分析： 先仔細(xì)審題，讀懂題意，然后從N的特殊值出發(fā)，尋找規(guī)律. 解： (1)當(dāng)N=16時, ,可設(shè)為, ,即為, ,即, x7位于P2中的第6個位置； (2)

12、方法同(1),歸納推理知x173位于P4中的第個位置. 點評: 本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力、創(chuàng)造性解決問題的能力.同學(xué)們要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動腦的習(xí)慣，才能順利解決此類問題. 例5 (1)在計算“”時，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法： 先改寫第k項：由此得 … 相加，得 類比上述方法，請你計算“”，其結(jié)果為 ____． (2)通過計算可得下列等式： ┅┅ 將以上各式分別相加得： 即： 類比上述求法，請你求出的值． 分析： 本題是方法的類比，兩項積變?nèi)椃e，二次方變?nèi)畏剑? 解：(1) (2) …… 將

13、以上各式分別相加得： 所以， (4) 類比推理的一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性； ②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)． 例6 在DEF中有余弦定理：． 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的3個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明． 分析： 三角形的三條邊長對應(yīng)三棱柱的三個側(cè)面面積，三角形的內(nèi)角對應(yīng)三棱柱的兩個側(cè)面所成的二面角，根據(jù)類比猜想得出斜三棱柱ABC－的3個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式． 解：斜三棱柱ABC－的3個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式為． 其中為側(cè)

14、面為與所成的二面角的平面角． 證明：作斜三棱柱的直截面DEF，則為面與面所成二面角，在中有余弦定理：， 兩邊同乘以，得 即 例7 請將平面內(nèi)的一般三角形與空間中四面體的性質(zhì)進(jìn)行類比． 分析： 我們經(jīng)常將二維平面內(nèi)的三角形與三維空間中的四面體作為類比對象．有興趣的同學(xué)可以將得到的四面體的性質(zhì)一一證明． 解： 三角形 四面體 三角形兩邊之和大于第三邊； 四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積； 三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點且該點是三角形內(nèi)切圓的圓心； 四面體的六個二面角的平分面交于一點，且該點是四面體內(nèi)切球的球心； 三角形任意兩邊中點的連線平行于第三邊，

15、且等于第三邊的一半； 四面體任意三條棱的中點連成的三角形所在的平面平行于第四個面，且該三角形的面積等于第四個面面積的； 三角形的任何一條邊上的中線將三角形分成面積相等的兩部分； 四面體的任何一個三角形面上的一條中線和這個三角形所在平面外一頂點所確定的平面將這個四面體分成體積相等的兩部分； 三角形的三條中線交于一點，且三角形的每一條中線被該點分成的兩段的比為2：1； 將四面體的每一個頂點和對面的重心相連接，所得四條線段交于一點，且其中每一條線段被交點分成的兩段的比都是3：1； 在ΔABC中，的平分線交BC于D，則； 在四面體ABCD中，二面角C－AB－D的平分面交棱CD于點E，則，

16、； 在ΔABC中，(正弦定理)； 在四面體ABCD中，棱AB與面ACD、BCD所成的角分別，，則； 設(shè)ΔABC的三邊長分別為、、，ΔABC的面積為，內(nèi)切圓半徑為，外接圓半徑為，則 (1) (2) 四面體S－ABCD的四個側(cè)面的面積分別為，，，，內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則(1) (2) (5)演繹推理是由一般到特殊的推理，在前提和推理形式都正確的前提下，結(jié)論一定正確．“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：　 ①大前提－－－已知的一般原理；　　　　　　　　 ②小前提－－－所研究的特殊情況；　　　　　　　 ③結(jié)論－－－－－據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷． 三段論的基

17、本格式： M－P(M是P) (大前提) S－M(S是M) (小前提) S－P(S是P) (結(jié)論) 例8 請看以下3個推理： ①　所有的金屬都能導(dǎo)電， 銅是金屬， 所以，銅能夠?qū)щ姡? ②　一切奇數(shù)都不能被2整除， (2100＋1)是奇數(shù)， 所以，(2100＋1)不能被2整除； ③　三角函數(shù)都是周期函數(shù)， tan是三角函數(shù)， 所以，tan是周期函數(shù)． 這樣的推理是合情推理還是演繹推理?若是合情推理，則指明是歸納推理還是類比推理；若是演繹推理，則指明大前提、小前提和結(jié)論． 分析： 把握合情推理和演繹推理的概念及其一般步驟、一般模式． 解：3個推理都是演繹推理

18、： ①　所有的金屬都能導(dǎo)電 ←－－－大前提 銅是金屬 ←－－－－－小前提 所以，銅能夠?qū)щ? ←――結(jié)論 ②　一切奇數(shù)都不能被2整除 ←－－－大前提 (2100＋1)是奇數(shù)，←――小前提 所以， (2100＋1)不能被2整除． ←―――結(jié)論 ③　三角函數(shù)都是周期函數(shù)， ←－－大前提 tan是三角函數(shù)， ←――小前提 所以，tan是周期函數(shù)．←――結(jié)論 例9 分析： 本題是概念題，我們知道大前提是一般性原理，因此問題轉(zhuǎn)化為尋找“什么樣的函數(shù)的圖像是一條拋物線”的一般性原理． 解： 二次函數(shù)的圖像是一條拋物線 (大前提) (6)三段

19、論推理的依據(jù)，可以用集合的觀點來理解： 若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的一個子集，那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P． 例10 已知lg2=m，計算lg0．8 ． 分析： 在一個計算題中，往往會包含幾個三段論，雖然它們有時寫得不一定完整． 解： ∵lgan=nlga(a>0)－－大前提 lg8=lg23－－－－小前提 ∴l(xiāng)g8=3lg2－－－－結(jié)論 ∵lg(a/b)=lga－lgb(a>0，b>0)－－大前提 lg0．8=lg(8/10)－－小前提 ∴l(xiāng)g0．8=lg8－ lg10 －－結(jié)論 ∴l(xiāng)g0．8=lg8－lg10=3lg2－1=3m－1 例11 如圖：在銳

20、角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足．求證：AB的中點M到D，E的距離相等． 分析： 在一個證明題中，往往會包含幾個三段論，雖然它們有時寫得不一定完整． 解：∵有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，－－大前提 在△ABC中AD⊥BC，即∠ADB=90°－－－小前提 ∴△ABD是直角三角形－－結(jié)論 ∵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，－－大前提 DM是直角三角形斜邊上的中線，－－小前提 ∴DM= AB－－結(jié)論 同理 EM= AB ∴DM=EM，即AB的中點M到D，E的距離相等． (7)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程是一個探索創(chuàng)造的過程，是一個不斷地提出猜想

21、驗證猜想的過程，合情推理和演繹推理相輔相成，相互為用，共同推動著發(fā)現(xiàn)活動的進(jìn)程．合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中，它為演繹推理確定了目標(biāo)和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，提供思路的作用；演繹推理是形式化程度較高的必然推理，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中，它具有類似于“實驗”的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對猜想作出判斷和證明，從而為調(diào)控探索活動提供依據(jù)． 例12 隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人類通過計算機(jī)已找到了630萬位的最大質(zhì)數(shù)．小陳在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)由41，43，47，53，61，71，83，97組成的數(shù)列中每一個數(shù)都是質(zhì)數(shù)，他根據(jù)這列數(shù)的一個通項公式，得出了數(shù)列的后幾項，發(fā)現(xiàn)它們

22、也是質(zhì)數(shù)．于是他斷言：根據(jù)這個通項公式寫出的數(shù)均為質(zhì)數(shù)． ①　請你求出這個通項公式； ②　從這個通項公式舉出一個反例，說明小陳的說法是錯誤的． 分析： 我們要正確認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識；猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供證明思路、證明數(shù)學(xué)結(jié)論，是建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程． 解：①　根據(jù)題意知通項公式是； ②　取得顯然不是質(zhì)數(shù)，因此小陳的說法是錯誤的． 例13 已知：“過圓上一點的切線方程是．” (Ⅰ)類比上述結(jié)論，猜想過橢圓上一點的切線方程(不要求證明)； (Ⅱ)過橢圓外一點作兩直線

23、與橢圓切于兩點，求過兩點的直線方程； (Ⅲ)若過橢圓外一點作兩直線與橢圓切于兩點，且恰好通過橢圓的左焦點，證明：點在一條定直線上． 分析： 利用圓方程與橢圓方程結(jié)構(gòu)的一致性，不難得出(Ⅰ)的結(jié)論，而(Ⅱ)的解決則體現(xiàn)了方法的類比．本題利用類比的數(shù)學(xué)思想方法，從一個更新穎的角度來關(guān)注圓錐曲線的命題方向． 解：(Ⅰ)橢圓上一點的切線方程是； (Ⅱ)設(shè)． 由(Ⅰ)可知：過橢圓上點的切線的方程是：； 過橢圓上點的切線的方程是：； 因為都過點，則， 則過兩點的直線方程是： (Ⅲ)由(Ⅱ)知過兩點的直線方程是：， 由題意：在直線上，則，則 點在橢圓的左準(zhǔn)線上． 4．自我檢測 (1

24、)， (均為實數(shù))，請推測= ，= ． (2) ①數(shù)列2，5，11，20，，47…中的等于______________． ②觀察下列數(shù)：1，3，2，6，5，15，14，x，y，z，122，…中x，y，z的值依次是_____． (3)數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…，中第100項是__________；第1000項是_____________． (4) ①從1=1，1－4=－(1＋2)，1－4＋9=1＋2＋3，1－4＋9－16=－(1＋2＋3＋4)，…，推廣到第個等式為________________________

25、_； ②依次有下列等式：，按此規(guī)律下去，第8個等式為 _________；一般規(guī)律為 ____ (用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示)． 三、課后鞏固練習(xí) A組 1．(1) 考察下列一組不等式： ． 將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的 特例，則推廣的不等式可以是　　　　　　?。? (2) 觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此規(guī)律，第個等式為 ． (3) 設(shè)為正整數(shù)，， 經(jīng)計算得 觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論是：_____

26、______． 2．(1) 把數(shù)列依次按第一個括號一個數(shù)，第二個括號兩個數(shù)，第三個括號三個數(shù)，第四個括號四個數(shù)，第五個括號一個數(shù)……循環(huán)下去，如：(3)，(5，7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，……，則第104個括號內(nèi)各數(shù)字之和為　 ??； (2) 若數(shù)列的通項公式，記，試通過計算的值，推測出 (3) 設(shè)函數(shù)，觀察： 根據(jù)以上事實，由歸納推理可得： 當(dāng)且時， . 3．(1)已知，試求____；_____； _______； n個 (2) 已知 ，猜想的表達(dá)式為______； (3)設(shè)f0(x)＝s

27、inx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2020(x)＝___． 4．在某學(xué)校，星期一有15名學(xué)生遲到，星期二有12名學(xué)生遲到，星期三有9名學(xué)生遲到，如果有22名學(xué)生在這三天中至少遲到一次，則三天都遲到的學(xué)生人數(shù)的最大可能值是________． 5．(1)已知函數(shù)，那么 ______________； (2)設(shè)函數(shù)，則的值為 ； (3)若，則①= ； ② =_____________； (4)設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對稱，則 6．(1)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按下圖

28、的規(guī)律拼成若干個圖案： 第1個 第2個 第3個 第2020個圖案中有白色地面磚 塊； (2)用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖的規(guī)律拼成若干圖形，則按此規(guī)律第100個圖形中有白色地磚 _ 塊；現(xiàn)將一粒豆子隨機(jī)撒在第100個圖中，則豆子落在白色地磚上的概率是 _ ． 第1個 第2個 第3個 B組 7．(1)將棱長相等的正方體按如圖所示的形狀擺放，從上往下依次為第1層、第2層、第3層、……，則第2020層正方體的個數(shù)是 ； (2)

29、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因為這些數(shù)對應(yīng)的點可以排成一個正三角形， 1 3 6 10 15 則第個三角形數(shù)為_______． (3)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點，若用f(n)表示n條直線交點的個數(shù)，則f(4)= ；當(dāng)n>4時f(n)=_____ (用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示)； 8．在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形展

30、品，其中第一堆只有一層，就一個球，第2、3、4、…堆最底層(第一層)分別按下圖方式固定擺放，從第二層開始每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆的第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)， 則=__________；=_________(用表示) 9．如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(簡稱ICME－7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…A7A8=1，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項公式為 ； (2)如圖，△OA1A2是等腰直角三角形，O

31、A1＝A1A2＝1，以O(shè)A2為直角邊作等腰直角△OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角△OA3A4，如此繼續(xù)下去得到等腰直角△OA4A5，……．則△OA9A10的面積為____________． 10．有一正方體，六個面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6，有三個人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示．如果記3的對面的數(shù)字為m，4的對面的數(shù)字為n，那么m＋n的值為_______． 　 11．如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長程序：正方形一邊上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形兩直角邊再分別連接著一個正方形，如此繼續(xù)下去，共得到127個正方形．若最后得到的正方形的邊長為1，則初始正方形的邊長為

32、 ． 12．如下圖，第(1)個多邊形是由正三角形“擴(kuò)展”而來，第(2)個多邊形是由正四邊形“擴(kuò)展”而來，……如此類推．設(shè)由正邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為，則 ； ＝ ． 13．圖(1)、(2)、(3)、(4)分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第個圖形包含個“福娃迎迎”，則　　　　　??；　　　　　　　?。?答案用數(shù)字或的解析式表示) 14．某同學(xué)在電腦中打出如下若干個圈： ●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圈，那么在前2020

33、個圈中的●的個數(shù)是 ▲ ． 15．(1)將正偶數(shù)按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 則2020在第 行 ，第 列． 16．將正奇數(shù)按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9

34、 第3行 17 19 21 23 那么，2020應(yīng)在第______行，第______列． 17．對于任意實數(shù)，符號表示的整數(shù)部分，即“是不超過的最大整數(shù)”．在實數(shù)軸R(箭頭向右)上是在點左側(cè)的第一個整數(shù)點，當(dāng)是整數(shù)時就是．這個函數(shù)叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實踐中有廣泛的應(yīng)用．那么=__________________． 18．觀察下列各式：則_______． 19．正方形的邊長為，點在邊上，點在邊上，．動點從出發(fā)沿直線向運動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當(dāng)點第一次碰到時，與正方形的邊碰撞

35、的次數(shù)為______． 20．若（），則在中，正數(shù)的個數(shù)是______ ． 21．觀察下列事實：|x|+|y|=1的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為4 ， |x|+|y|=2的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為8， |x|+|y|=3的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為12，……，則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解（x，y）的個數(shù)為________ ． 22．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù). （1）sin213°+cos217°-sin13°cos17° （2）sin215°+cos215°-sin15°cos15° （3）sin218°+cos212°-sin18

36、°cos12° （4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48° （5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55° Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； Ⅱ 根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論. 23．下面使用類比推理得到的結(jié)果正確的是______． ①“若，則”類推出“若，則” ②“若”類推出“” ③“若” 類推出“ (c≠0)” ④“” 類推出“” 24．(1)在等差數(shù)列中，若， 則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式

37、 成立； (2)若數(shù)列，(n∈N)是等差數(shù)列，則有數(shù)列(n∈N)也是等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列是等比數(shù)列，且＞0(n∈N)，則有=______ __________________ (n∈N)也是等比數(shù)列； (3)數(shù)列是正項等差數(shù)列，若，則數(shù)列也為等差數(shù)列，類比上述結(jié)論，寫出正項等比數(shù)列，若= ，則數(shù)列也為等比數(shù)列． 25． 對于平面幾何中的命題“如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)垂直，那么這兩個角相等或互補”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題： 26．在中，若則三角形ABC的外接圓半徑 ，把此結(jié)論拓展到空間，寫出類似的結(jié)論為______

38、______． 27．若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長分別為，則三角形的面積．根據(jù)類比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個面的面積分別為，則四面體的體積 ． 28．在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)Rt△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關(guān)系：AB2＋AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，“設(shè)三棱錐A－BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為_______．” 29．若RtΔABC中兩直角邊為a、b，斜邊c上的高為h，則，如圖，在正方體的一角上截取三棱錐P－ABC，P

39、O為棱錐的高，記M=，N=，那么M、N的大小關(guān)系是 ． 30．由圖(1)有面積關(guān)系：則由(2) 有體積關(guān)系： 31． 在平面直角坐標(biāo)系中，直線的一般方程為，圓心在的圓的一般方程為；則類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程為________________，球心在的球的一般方程為_______________________． 32． 由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據(jù)“三段論”推理出一個結(jié)論，則這個結(jié)論是______． 33．下面說法正確的有_______個：　 (1)演繹推理是由一般

40、到特殊的推理；(2)演繹推理得到的結(jié)論一定是正確的； (3)演繹推理一般模式是“三段論”形式；(4)演繹推理的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理形有關(guān) 34．下列表述正確的是________． ①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． 35． 有一段演繹推理是這樣的：“有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”，結(jié)論顯然是錯誤的，是因為_____． 36． 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線

41、∥直線”，結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為______． 37．把下面不完整的命題補充完整，并使之成為真命題： 若函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于　　　　對稱，則函數(shù) ＝　　?。?注：填上你認(rèn)為可以成為真命題的一種情形即可，不必考慮所有可能的情形) C組 38．一個函數(shù)發(fā)生器，當(dāng)輸入x后，經(jīng)過發(fā)生器的作用，便輸出．此時發(fā)生器立即對輸出值作一個判斷：若輸出值超過99．9，則發(fā)生器停止工作；若輸出值不超過99．9時，它會自動將輸出值作為新輸入值輸入，經(jīng)過發(fā)生器的作用，再作同樣法則運算后輸出……，最終，打印機(jī)會依次打印出這些輸出值． (1)若輸入值為10，則打印機(jī)打印出何種結(jié)果? (2)若輸入值a后，打

42、印機(jī)只打印出了a，問a的最小整數(shù)值為多少? (3)若輸入值b后，打印機(jī)打印出了2個值，求b的取值范圍． 39．如圖所示，面積為S的平面凸四邊行的第i條邊的邊長記為，此四邊形內(nèi) 任意一點P到第i條邊的距離記為，若則， 類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱堆的第i個面的面積記為，此三棱堆內(nèi)任 意一點Q到第i個面的距離記為， P 若 則_______，并加以證明． B C P A MA O 40．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則，現(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，類比以上結(jié)論，可得到什么命題? 41．在中，若 C B A 用類比的方法猜想三棱

43、堆的類似性質(zhì)，并證明你的猜想． 42．已知橢圓具有性質(zhì)：若是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點，點是橢圓上任意一點，且直線的斜率都存在(記為)，則是與點位置無關(guān)的定值．試寫出雙曲線的類似性質(zhì)，并加以證明． 43．對于，將n表示為,當(dāng)時，當(dāng)時為0或1，定義如下：在的上述表示中，當(dāng)，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0. (1)b2+b4+b6+b8=____________________； (2)記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是___． 44．回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121

44、，3443，94249等．顯然2位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99．3位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999．則 (1)4位回文數(shù)有 個； (2)位回文數(shù)有 個． 知識點 題號 注意點 合情推理 歸納推理：1～22 類比推理：23～31 利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，注意其合理性． 演繹推理 32～37 運用演繹推理的基本模式，進(jìn)行一些簡單的推理，注意其必然性． 實際問題 38 注意推理在實際問題中的應(yīng)用． 綜合問題 39～44 注意靈活運用推理解決問題． 四、學(xué)習(xí)心得

45、 五、拓展視野 皇冠上的明珠 “歌德巴赫猜想”是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，是數(shù)學(xué)皇冠上最璀璨的明珠． 哥德巴赫生于1690年，是德國的中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家， 1725年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士．1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個不小于6的偶數(shù)都是兩個素數(shù)(只能被1和它本身整除的數(shù))之和．如6＝3＋3，12＝5＋7等等．公元1742年6月7日，哥德巴赫(Goldbach)寫信給當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想： (a) 任何一個≥6之偶數(shù)，都可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和． (b) 任何一個≥9之奇數(shù)，都可以表示成三個奇質(zhì)數(shù)之和． 這就

46、是著名的哥德巴赫猜想．歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明．?dāng)⑹鋈绱撕唵蔚膯栴}，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意．從提出這個猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功．當(dāng)然曾經(jīng)有人作了些具體的驗證工作，例如： 6 = 3 ＋ 3， 8 = 3 ＋ 5， 10 = 5 ＋ 5 = 3 ＋ 7， 12 = 5 ＋ 7， 14 = 7 ＋ 7 = 3 ＋ 11，16 = 5 ＋ 11， 18 = 5 ＋ 13， ……等等．有人對33×108以內(nèi)且大過6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗算，哥德巴赫猜想(a)都成立．但嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明尚待數(shù)學(xué)

47、家的努力．從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意． 200年過去了，沒有人能夠證明它．哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望而不可及的“明珠”．到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近．1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗用一種古老的篩選法證明，得出了一個結(jié)論：每一個比6大的偶數(shù)都可以表示為(99)．這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從(9十9)開始，逐步減少每個數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個數(shù)，直到最后使每個數(shù)里都是一個質(zhì)數(shù)為止，這樣就能夠證明“哥德巴赫猜想”．目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理：“任何充分大的偶數(shù)都是一個質(zhì)數(shù)與一個自然數(shù)之和，而后者僅僅是兩個質(zhì)數(shù)的乘積”．通常都簡稱這個結(jié)果為大偶數(shù)可表示為 “1＋2”的形式． 1973年，陳景潤改進(jìn)了“篩法”，證明了“1＋2”，就是充分大的偶數(shù)，都可表示成兩個數(shù)之和，其中一個是素數(shù)，另一個或者是素數(shù)，或者是兩個素數(shù)的乘積．陳景潤的這個證明結(jié)果被稱為“陳氏定理”，是至今為止，歌德巴赫猜想的最高記錄．