江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 1.1集合的含義及其表示學案 蘇教版必修1

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1、1.1 集合的含義及其表示 一、 學習內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 集合的概念 確定性、互異性、無序性 了解 集合是不定義的原始概念，通過舉例進行概念辨析；會用適當?shù)姆椒ū硎炯?；?shù)形結(jié)合、分類討論思想在集合中有重要應用. 集合的表示 列舉法、描述法、Venn圖 了解 元素與集合、集合與集合的關系 屬于、包含 了解 二、 預習指導 1. 預習目標 (1)通過預習初步了解集合的概念，能用集合的語言描述具體問題； (2)會判斷元素與集合的關系；知道幾個常用數(shù)集的表示方法； (3)會用列舉法、描述法及Venn圖表示集合. 2. 預習提綱 (1

2、)對集合的理解應從初中數(shù)學和實際生活中尋找實例，請舉例，并與同學交流辨析. (2)對課本中集合的定義的理解要注意關鍵詞的內(nèi)涵，請找出你認為的關鍵詞. (3)用列舉法、描述法表示集合時，應注意根據(jù)問題選擇合理的表示方法，歸納一下哪類問題宜用哪種表示法. (4)課本例1是解一元一次不等式，并將不等式的解用集合的形式表示出來，這是一種常見題型.同學們解不等式要正確，解集的表達也要正確. (5)上網(wǎng)查閱集合論的創(chuàng)始人康托(Cantor)的資料. 3. 典型例題 例1 判斷下列描述的對象能否構(gòu)成集合： (1)某校高一(1)班的女生； (2)某校高一(1)班比較聰明的女生；

3、(3)某校高一(1)班學生家長；(4)某校高一(1)班經(jīng)常體育鍛煉的學生. 分析：根據(jù)集合的定義判斷特性所描述的對象是否確定，若對象確定，則他們可以構(gòu)成集合；反之，則不能構(gòu)成集合. 解：(1)由于“某校高一(1)班的女生”所描述的對象是確定的，所以，某校高一(1)班的 女生可以構(gòu)成集合. (2)由于“某校高一(1)班比較聰明的女生”所描述的對象不確定，所以，某校高一(1) 班比較聰明的女生不能構(gòu)成集合. (3)由于“某校高一(1)班學生家長”所描述的對象是確定的，所以，某校高一(1)班 學生家長可以構(gòu)成集合. (4)由于“某校高一(1)班經(jīng)常體育鍛煉

4、的學生”所描述的對象不確定，所以，某校高 一(1)班經(jīng)常體育鍛煉的學生不能構(gòu)成集合. 點評：判斷某種對象能否構(gòu)成集合，關鍵在于能否找到一個明確標準，對于任何一個元素，都確定它是不是給定集合的元素. 例2 用“”或“”符號填空： (1)3.14 N； (2) R； (3)2 N； (4) Q； (5)sin45 R； (6)cos45 Z； (7) Q； (8)3 {(2，3)}. 分析：首先了解常用數(shù)集符號表示方法，而后判斷“數(shù)”是否是集合中的元素，最后填寫符號“”或“”. 解：(1) 3.14 N； (2)R

5、； (3)2N； (4) Q； (5)sin45R； (6)cos45Z； (7)Q； (8)3 {(2，3)} . 點評：判斷元素與集合的關系，必須先確定集合是由什么元素組成，然后再判斷所給對象是否是集合中的元素. 例3 用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? (1)由15的正約數(shù)組成的集合； (2)能被3整除的整數(shù)； (3)方程的解； (4)直角坐標平面中一、三象限角平分線上的點. 解：(1)因為15的正約數(shù)為1，3，5，15，所以15的正約數(shù)組成的集合用列舉法表示為 {1，3，5，15}. (2)用描述法表示為. (3)用列舉法表示

6、為{-1，3}. (4)用描述法表示為. 點評：(1)列舉法表示集合時,要符合互異性，元素之間要用逗號分隔，但列舉時與元素的順序無關.列舉法一般適用于元素不多的有限集. (2)描述法表示集合時要符合確定性，元素x滿足的條件p(x)要表達準確.描述法適用于元素比較多的有限集或無限集. 例4 用列舉法表示下列集合： (1) (2) . 解：(1)根據(jù)絕對值的定義化簡, 當時, ； 當時, ； 當異號時, .所以. (2)根據(jù)元素滿足的條件且得到的值. 所取的正整數(shù)必須使得整除6,所以, 因為所以 所以 . 點評：用列舉法表示集合時，要把元素不重復、不遺漏

7、、不計順序的全部列出來. 例5 已知集合，若，求實數(shù)的值. 分析：，則均有可能為1，則需分類討論解決，且必須檢驗是否滿足集合中元素的互異性. 解：(1)若則；此時，與集合中元素的互異性矛盾，(舍去)； (2)若，則或，當時，滿足題意；當時， 與集合中元素的互異性矛盾，(舍去)； (3)若 則(舍去)或 (舍去)． 綜上所述，，此時集合. 點評：本題易錯原因：忽視元素的互異性.在解決集合問題時常用分類討論思想，需要弄清“為什么要分類”、“按什么分類”和“怎樣進行分類”. 例6 已知集合，集合，且，求實數(shù)和的值. 分析：求未知數(shù)的值，常需要用解方程的方法

8、，根據(jù)集合相等，可列出方程組. 解：∵，∴(Ⅰ)或(Ⅱ) 解方程組(Ⅰ)，得檢驗知不合題意，舍去. 解方程組(Ⅱ)，得檢驗知不合題意，舍去. 綜上所述，. 4. 自我檢測 (1)以下元素的全體不能夠構(gòu)成集合的是 . ①中國古代四大發(fā)明； ②地球上的小河流； ③方程的實數(shù)解； ④周長為10cm的三角形. (2)方程組的解集是 . (3)給出下列關系：①； ②；③ ；④. 其中正確的個數(shù)是 . (4)下列各組中的兩個集合M和N, 表示同一集合的是 . ①, ； ②, ；

9、 ③, ； ④, . (5)已知實數(shù)，集合，則a與B的關系是 . (6)已知，則集合中元素x所應滿足的條件為 . 三、 課后鞏固練習 A組 1．判斷下列特性描述的對象能否形成集合： (1)算術平方根等于自身的數(shù)； (2)高一(1)班1988年出生的學生； (3)與一個角的兩邊距離相等的點； (4)難解的題目. 2．分別寫出下列集合中的元素: (1){中國的直轄市)； (2){大于0且小于5的整數(shù)的平方}； (3){大于10且小于20的合數(shù)}； (4){既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)}； (5){大于10且小于20的質(zhì)數(shù)}；

10、 (6){方程的解}； (7){24和36的正公因數(shù)}； (8){江蘇省的省轄市}． 3．用“∈”或號填空： (1)若則 A； (2)若B={小于10的質(zhì)數(shù)}，則3 B； (3)若則 C； (4)若則 D； (5)，則數(shù)對 . 4．下面七個命題：(1)集合N中的最小元素是1：(2)若，則 (3) 的解集為{2，2}；(4)0.7；(5)方程的解集中含有3個元素；(6)；(7)滿足的實數(shù)的全體形成的集合為R.其中正確命題是 ；不正確命題為 . 5．下列命題(1)；(2)；(3)；(4)中表述正確的是

11、 . 6．下列命題(1)；(2)；(3)中表述正確的是 . 7．用列舉法表示不等式組的整數(shù)解集為 . 8．在實數(shù)范圍內(nèi)，方程的解集是 ；方程的解集是 . 9．設集合M={正方形}，T={能被7整除的數(shù)},P={比2大3的數(shù)}，H={大于1且小于2的有理數(shù)}，其中無限集為 . 10．下列每一題中各個集合的意義是否相同？并說明理由． (1) (2). 11．已知. (1)試判斷集合A、B是有限集還是無限集； (2)試判斷是否是這兩個集合的元素． 12．已知

12、集合，則以下結(jié)論中正確的是 (1)且；(2)但；(3)但；(4)且. B組 13．集合{有長為2的邊和40度的內(nèi)角的等腰三角形}的元素個數(shù)為 . 14．已知集合用列舉法表示集合A為 . 15．下列四個集合中表示空集的是 (1){0}；(2){(x,y)|y2=-x2,x∈R，y∈R}； (3){x∈N|2x2+3x-2=0}. 16．若集合有且只有一個元素，則實數(shù)的取值集合為 . 17．數(shù)集中實數(shù)的取值范圍是 . 18. 用列舉法表示下列集合： ⑴{(x,y)|x+y=5, x∈N，y∈N

13、}； ⑵{(x,y)|y=x2-1, |x|≤2，x∈Z}. 19．直角坐標系中坐標軸上的點的集合可表示為 . (1){(x,y)|x=0, y≠0或x≠0，y=0}；(2){(x,y)|x=0且y=0}； (3){(x,y)|xy=0}； (4){(x,y)|x,y不同時為0}. 20．若求的值. 21. 設均為整數(shù)，把形如的一切數(shù)構(gòu)成的集合記作M，設，試判斷是否屬于集合M，并說明理由. C組 22．已知集合，用列舉法表示集合A為 . 23．集合用列舉法表示集合B． 24．設，求. 25. 已知集合，為實數(shù). (1)若A是空

14、集，求的取值范圍； (2)若A是單元素集，求的值； (3)若A中至多只有一個元素，求的取值范圍． 26．已知集合，求證：(1)；(2) (3)偶數(shù)不屬于A. 知識點 題號 注意點 集合的概念 集合是不定義的原始概念，通過舉例進行辨析；會用適當?shù)姆椒ū硎炯?；分類討論思想在集合中有重要應? 集合的表示 注意列舉法、描述法、Venn圖各自的特點. 元素與集合、集合與集合的關系 分清元素與集合、集合與集合的屬于關系和包含關系 綜合題 用分類討論思想 四、 學習心得 五、 拓展視野 羅素悖論 十九世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在

15、集合論剛產(chǎn)生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊.但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽.數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學大廈.因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學的基石.“一切數(shù)學成果可建立在集合論基礎上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學家們?yōu)橹兆?1900年，國際數(shù)學家大會上，法國著名數(shù)學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………借助集合論概念，我們可以建造整個數(shù)學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經(jīng)達到了……” 可是，好景不長.1903年，一個震驚數(shù)學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國著名數(shù)學家伯特蘭·羅素（Russel，1872—1970）提出的著名的羅素悖論：把

16、所有集合分為兩類，第一類中的集合以其自身為元素，第二類中的集合不以自身為元素，令第一類所組成的集合為P，第二類所組成的集合為Q，于是有： 　　P={A∣A∈A}，Q={A∣AA}　　問，Q∈P 還是 Q∈Q？ 　　羅素悖論還有一些較為通俗的版本，即理發(fā)師悖論： 　　在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽滿全城.我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉.我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人.可是，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不

17、給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉. 　　羅素悖論提出，危機產(chǎn)生后，數(shù)學家紛紛提出自己的解決方案.人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則.“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內(nèi)容得以保存下來.”　 公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學危機.但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學而言有著更為深刻的影響.有人說：“提出問題就是解決問題的一半”

18、，而悖論提出的正是讓數(shù)學家無法回避的問題.它對數(shù)學家說：“解決我，不然我將吞掉你的體系！”正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：“必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的.人們試想：在數(shù)學這個號稱可靠性和真理性的模范里，每一個人所學的、教的和應用的那些概念結(jié)構(gòu)和推理方法竟會導致不合理的結(jié)果.如果甚至于數(shù)學思考也失靈的話，那么應該到哪里去尋找可靠性和真理性呢？”悖論的出現(xiàn)逼迫數(shù)學家投入最大的熱情去解決它.而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數(shù)學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數(shù)學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創(chuàng)立；第三次數(shù)學危機促成了數(shù)理邏輯的發(fā)展與一批現(xiàn)代數(shù)學的產(chǎn)生.數(shù)學由此獲得了蓬勃發(fā)展，這或許就是數(shù)學悖論重要意義之所在吧，而羅素悖論在其中起到了重要的作用.