【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八篇 立體幾何 第6講　空間向量及其運(yùn)算教案 理 新人教版

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1、第6講　空間向量及其運(yùn)算 【2020年高考會(huì)這樣考】 1．考查空間向量的線性運(yùn)算及其數(shù)量積． 2．利用向量的數(shù)量積判斷向量的關(guān)系與垂直． 3．考查空間向量基本定理及其意義． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 空間向量的運(yùn)算類似于平面向量的運(yùn)算，復(fù)習(xí)時(shí)又對(duì)比論證，重點(diǎn)掌握空間向量共線與垂直的條件，及空間向量基本定理的應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．空間向量的有關(guān)概念 (1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量． (3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量． 2．空間向量的線

2、性運(yùn)算及運(yùn)算律 (1)定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算，如下：＝＋＝a＋b；＝－＝a－b；＝λa(λ∈R)． (2)運(yùn)算律：(1)加法交換律：a＋b＝b＋a. (3)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (4)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 (1)數(shù)量積及相關(guān)概念 ①兩向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b. ②兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個(gè)非零向量a，

3、b則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 ①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交換律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．基本定理 (1)共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb. (2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，p與向量a，b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y使p＝xa＋yb. (3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa

4、＋yb＋zc. 一種方法 用空間向量解決幾何問(wèn)題的一般方法步驟是： (1)適當(dāng)?shù)倪x取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相關(guān)向量； (3)通過(guò)運(yùn)算完成證明或計(jì)算問(wèn)題． 兩個(gè)理解 (1)共線向量定理還可以有以下幾種形式： ①a＝λb?a∥b； ②空間任意兩個(gè)向量，共線的充要條件是存在λ，μ∈R使λa＝μb. ③若，不共線，則P，A，B三點(diǎn)共線的充要條件是＝λ＋μ且λ＋μ＝1. (2)對(duì)于共面向量定理和空間向量基本定理可對(duì)比共線向量定理進(jìn)行學(xué)習(xí)理解．空間向量基本定理是適當(dāng)選取基底的依據(jù)，共線向量定理和共面向量定理是證明三點(diǎn)共線、線線平行、四點(diǎn)共面、線面平行的工具

5、，三個(gè)定理保證了由向量作為橋梁由實(shí)數(shù)運(yùn)算方法完成幾何證明問(wèn)題的完美“嫁接”． 四種運(yùn)算 空間向量的四種運(yùn)算與平面向量的四種運(yùn)算加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積從形式到內(nèi)容完全 一致可類比學(xué)習(xí)．學(xué)生要特別注意共面向量的概念．而對(duì)于四種運(yùn)算的運(yùn)算律，要類比實(shí)數(shù)加、減、乘的運(yùn)算律進(jìn)行學(xué)習(xí)． 雙基自測(cè) 1．已知向量a∥平面β，向量a所在直線為a，則(　　)． A．a(chǎn)∥β B．a(chǎn)?β C．a(chǎn)交β于一點(diǎn) D．a(chǎn)∥β或a?β 答案　D 2．(人教A版教材習(xí)題改編)下列命題： ①若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有＋＋＋＝0； ②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共線的充要條件； ③若

6、a、b共線，則a與b所在直線平行； ④對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面．其中不正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 解析?、僦兴狞c(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，正確； ②中當(dāng)a、b同向時(shí)，應(yīng)有|a|＋|b|＝|a＋b|； ③中a、b所在直線可能重合； ④中需滿足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四點(diǎn)共面． 答案　C 3．(2020·福州質(zhì)檢)a＝λb(λ是實(shí)數(shù))是a與b共線的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　a＝λb

7、?a∥b 但則a∥b，a≠λb. 答案　A 4．(2020·舟山月考)平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量、、兩兩的夾角均為60°，且||＝1，||＝2，||＝3，則||等于(　　)． A．5 B．6 C．4 D．8 解析　設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝a＋b＋c， 2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25， 因此||＝5. 答案　A 5．在四面體O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝________(用a，b，c表示)． 解析　如圖，＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. 答案　a＋b＋c　　 考向一

8、　空間向量的線性運(yùn)算 【例1】?如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中G為△A1BD的重心，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示，. [審題視點(diǎn)] 正確運(yùn)用空間向量的加法運(yùn)算用已知向量表示出未知向量． 解?。剑? ＝＋＋ ＝a＋b＋c. ＝＋ ＝＋(＋) ＝＋(－)＋(－) ＝＋＋ ＝a＋b＋c. (1)通過(guò)以上表示可以看出＝3即證明：A、G、C1三點(diǎn)共線．G為AC1的三分之一分點(diǎn)． (2)解決幾何問(wèn)題的難點(diǎn)是作輔助線，而利用向量解決幾何問(wèn)題恰好回避了這一難點(diǎn)問(wèn)題，把證明轉(zhuǎn)化為運(yùn)算． 【訓(xùn)練1】 如右圖，已知M、N分別為四面

9、體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點(diǎn)，且GM∶GA＝1∶3.設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示，. 解?。剑剑? ＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c. 說(shuō)明　此問(wèn)題事實(shí)上解決了B、G、N三點(diǎn)共線問(wèn)題，同學(xué)們可以通過(guò)此題想象正四面體外接球和內(nèi)切球的球心位置． 考向二　共線共面定理的應(yīng)用 【例2】?如右圖，已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，E、F、G、H分別是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中點(diǎn)，求證E、F、G、H四點(diǎn)共面． [審題視點(diǎn)] 四點(diǎn)共點(diǎn)，考慮構(gòu)造有關(guān)向量，然后利用共面向量定理證明． 證明　?。絘、＝

10、b、＝c，則＝＋＋＝＋2＋ ＝b－a＋2a＋(＋＋)＝b＋a＋(b－a－c－a)＝b－c，∴H與b、c共面．即E、F、G、H四點(diǎn)共面． 證明E、F、G、H四點(diǎn)共線，只須證明＝λ＋μ即可，即證、、三個(gè)向量共面．此種方法也是證明直線與平面平行的方法． 【訓(xùn)練2】 如圖在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為BC邊上的中點(diǎn)， 試證A1B∥平面AC1D. 證明　設(shè)＝a，＝c，＝b， 則?。剑? ＝＋＝a＋c， ＝＋＝＋＝－a＋b， ＝＋＝－＋＝b－a＋c， ＝－2，∵AB?平面AC1D， 因此A1B∥平面AC1D. 考向三　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 【例3】?如圖，在四面體

11、S-ABC中，若SA⊥BC，SB⊥AC，試證SC⊥AB. [審題視點(diǎn)] 可通過(guò)證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為0來(lái)證明兩直線垂直． 證明　?。絘，＝b，＝c，由已知SA⊥BC，SB⊥AC， 即 ②－①得c·(b－a)＝0， 則SC⊥AB. 利用空間向量的基本定理適當(dāng)?shù)倪x取基底，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知求證c·(b－a)＝0 回避了傳統(tǒng)幾何法中作輔助線這一難題．以上證法同時(shí)也證明了平面幾何中“三角形的三條高線交于同一點(diǎn)”這一命題． 【訓(xùn)練3】 已知如右圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°. (1)求證：C1

12、C⊥BD； (2)當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？請(qǐng)給出證明． (1)證明　?。絘，＝b，＝c， 由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ＝－＝a－b，·＝c·(a－b)＝c·a－c·b ＝|c||a|－|c||b|＝0，∴⊥，即C1C⊥BD. (2)若A1C⊥平面C1BD， 則A1C⊥C1D，＝a＋b＋c，＝a－c. ∴·＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0. 整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0， (3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0， ∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|. 即當(dāng)＝＝1時(shí)，A1C⊥平面C1BD

13、. 　　 規(guī)范解答14——利用空間向量證明平行或垂直問(wèn)題 【問(wèn)題研究】 從近幾年高考試題的命題情況來(lái)看，高考對(duì)平行、垂直關(guān)系的考查主要以線面平行，線面垂直為核心，以多面體為載體結(jié)合平面幾何知識(shí)，常和角與距離的求解.體積的計(jì)算等綜合命題，同時(shí)考查判定定理、性質(zhì)定理、定義以及對(duì)符號(hào)語(yǔ)言的識(shí)別和轉(zhuǎn)化，難度以中低檔題目為主. 【解決方案】 建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)或基底表示相關(guān)的向量，把線面關(guān)系的邏輯推理轉(zhuǎn)化為相應(yīng)直線的方向向量和平面的法向量之間的運(yùn)算，用代數(shù)運(yùn)算代替空間線面關(guān)系的邏輯推理，使證明和運(yùn)算過(guò)程具有程序化. 【示例】? (本題滿分12分)(2020·全國(guó)改編)如圖，四棱錐S

14、ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)證明：SD⊥平面SAB； (2)求AB與平面SBC所成的角的正弦值． (1)本題可以通過(guò)計(jì)算邊邊關(guān)系證明SD⊥平面SAB，第2問(wèn)也可作出AB與平面SBC所成的角，利用解三角形來(lái)計(jì)算，但這種方法必須加輔助線，且易找錯(cuò)角，故考慮用向量法，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵． [解答示范] 　以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為x正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz. 設(shè)D(1,0,0)，則A(2,2,0)、B(0,2,0)． 又設(shè)S(x，y，z)，則x＞0，y＞0，z＞0. (1)

15、證明　A＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，由||＝||得 ＝， 故x＝1. 由||＝1得y2＋z2＝1， 又由||＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4， 即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝，z＝. 于是S，＝，＝，＝，·＝0，·＝0，故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.(6分) (2)解　設(shè)平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，則a⊥，a⊥，∴a·＝0，a·＝0. 又＝，＝(0,2,0)， 故(9分) 取p＝2得a＝(－，0,2)． 又＝(－2,0,0)， cos〈，a〉＝＝. 故AB與平面SBC所成角的

16、正弦值為.(12分) 直線和平面的位置關(guān)系可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系來(lái)判斷．證明的主要思路是：(1)證明線線平行：可證兩條直線的方向向量共線；(2)證明 線面平行：①證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，②證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量線性表示；(3)證明面面平行：可證兩個(gè)平面的法向量共線；(4)證明線線垂直：可證兩條直線的方向向量垂直；(5)證明線面垂直：①證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量垂直，②證明直線的方向向量與平面的法向量共線；(6)證明面面垂直：可證兩個(gè)平面的法向量互相垂直． 【試一試】 設(shè)p：方程x2＋2mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0無(wú)實(shí)根．求使p∨q為真，p∧q為假的實(shí)數(shù)m的取值范圍． [嘗試解答]　由得m＜－1. ∴p：m＜－1； 由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)＜0， 知－2＜m＜3，∴q：－2＜m＜3. 由p∨q為真，p∧q為假可知，命題p，q一真一假， 當(dāng)p真q假時(shí)，此時(shí)m≤－2； 當(dāng)p假q真時(shí)，此時(shí)－1≤m＜3. ∴m的取值范圍是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．