《大學(xué)物理：第4章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《大學(xué)物理：第4章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（68頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、12 剛體剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體化的物體 . （任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）組）剛體的運(yùn)動(dòng)形式：剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) . 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 平動(dòng)：平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的或者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始連線總是平行于它們的初始位置間的連線位置間的連線 .3 轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng). 轉(zhuǎn)動(dòng)又分轉(zhuǎn)
2、動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)非定軸轉(zhuǎn)動(dòng) .剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)4 剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)= 質(zhì)心的平動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+567 描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位置的物理量。描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位置的物理量。oPx參考方向?yàn)閰⒖挤较驗(yàn)閛x，剛體上某一點(diǎn)剛體上某一點(diǎn) P 到轉(zhuǎn)軸到轉(zhuǎn)軸 O 點(diǎn)的連點(diǎn)的連線與參考方向線與參考方向ox的夾角的夾角 。單位：?jiǎn)挝唬夯《龋《?，rad角坐標(biāo)為標(biāo)量。角坐標(biāo)為標(biāo)量。參考方向參考方向8o二、角位移二、角位移描寫剛體位置變化的物理量描寫剛體位置變化的物理量。0Px參考方向參考方向剛體初始角坐標(biāo)剛體初始角坐標(biāo)0末態(tài)角坐標(biāo)末態(tài)角坐標(biāo)剛體的角位移剛體的角位移
3、0單位：?jiǎn)挝唬夯《龋《?，rad9三、角速度三、角速度 描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量。描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量。tt0limddt角速度為角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一次導(dǎo)數(shù)。角速度為角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一次導(dǎo)數(shù)。單位：?jiǎn)挝唬夯《然《? /秒，秒，rad/s, s110角速度是矢量，但角速度是矢量，但對(duì)于對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的方向只有角速度的方向只有兩個(gè)兩個(gè)，在表示角速，在表示角速度時(shí)只用角速度的度時(shí)只用角速度的正負(fù)數(shù)值正負(fù)數(shù)值就可表示就可表示角速度的角速度的方向方向，不，不必用矢量表示。必用矢量表示。方向：方向：滿足右手螺滿足右手螺旋關(guān)系旋關(guān)系. .11tt0lim單位：?jiǎn)挝唬夯《然《?
4、/秒秒2，rad/s2, s2方向：方向：角速度變化的方向。角速度變化的方向。00dtd 22dtd 四、角加速度四、角加速度描述角速度變化快慢和方向的物理量。描述角速度變化快慢和方向的物理量。12 注意注意: : 角加速度是矢量，但對(duì)于角加速度是矢量，但對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角加角加速度的方向只有速度的方向只有兩個(gè)兩個(gè)，在表示角加速度時(shí)只用角加速，在表示角加速度時(shí)只用角加速度的度的正負(fù)數(shù)值正負(fù)數(shù)值就可表示角加速度的就可表示角加速度的方向方向，不必用矢量，不必用矢量表示。表示。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)特點(diǎn) 1） 每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；
5、 2） 任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo) .,a, v13二二 角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系tervrtev2ntraratanan2tererat ddtt22dddda14三三 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng) . 剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直
6、線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比15山東科技大學(xué)濟(jì)南校區(qū)山東科技大學(xué)濟(jì)南校區(qū)干耀國(guó)干耀國(guó)設(shè)計(jì)制作設(shè)計(jì)制作16飛輪飛輪 30 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度rad75)6(2)5(22202210srad6srad3050t 例例1 一飛輪半徑為一飛輪半徑為 0.2m、 轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為150rmin-1， 因因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng) 30 s 停止轉(zhuǎn)動(dòng)停止轉(zhuǎn)動(dòng) . 試求：試求：（1）角）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開始）制動(dòng)開始后后 t = 6 s 時(shí)飛輪的角速度；（時(shí)飛輪的角速度；（3）t = 6 s
7、時(shí)飛輪邊緣上一時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度 .解解（1）,srad510. 0 t = 30 s 時(shí)，時(shí)，設(shè)設(shè).飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)00時(shí)，時(shí)， t = 0 s 17（2）s6t時(shí)，飛輪的角速度時(shí)，飛輪的角速度110srad4srad)665(t（3）s6t時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小22sm5 . 2sm42 . 0rv該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度22tsm105. 0sm)6(2 . 0ra轉(zhuǎn)過的圈數(shù)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)r5 .372752N18 例例2 在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)
8、里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng) . 開始時(shí)，它的角速開始時(shí)，它的角速度度 ，經(jīng)，經(jīng)300s 后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18000rmin-1 . 已知轉(zhuǎn)已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比子的角加速度與時(shí)間成正比 . 問在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)問在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？過多少轉(zhuǎn)？00解解 由題意，令由題意，令 ，即，即 ，積分，積分 ctcttddtttc00dd得得221ct當(dāng)當(dāng)t=300s 時(shí)時(shí)11srad600minr18000所以所以3322srad75srad30060022tc19轉(zhuǎn)子的角速度
9、轉(zhuǎn)子的角速度2215021tct由角速度的定義由角速度的定義2150ddtt得得tttd150d020有有3450t在在 300 s 內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)43103)300(45022N32srad)75(2tc2021O一、力矩一、力矩力與力臂的乘積。力與力臂的乘積。dFMF FPdr rsinrFM根據(jù)矢量乘積法則：根據(jù)矢量乘積法則：sinABB BA A用矢量方法表示力矩：用矢量方法表示力矩：F Fr rM M單位：?jiǎn)挝唬号ｎD牛頓 米，米， N m方向：方向：從從r r沿小于沿小于 角角右旋到右旋到F F，大拇指指，大拇指指向。向。FrsinM M22rFM M M 的方向垂
10、直于的方向垂直于 r r 與與 F F 構(gòu)成的平構(gòu)成的平面。面。討論討論1) M0, 沿沿OZ軸正向軸正向,剛體逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)剛體逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn);M0,沿沿OZ軸負(fù)向軸負(fù)向,剛體順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)剛體順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和: :321MMMM23Ormz二二 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律FtFnFmrmaFtt2iejjjjrmMM2）剛體剛體質(zhì)量元受質(zhì)量元受外外力力 ，內(nèi)內(nèi)力力jFejFiM 1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)單個(gè)質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)與轉(zhuǎn)軸剛性連接軸剛性連接m外外力矩力矩內(nèi)內(nèi)力矩力矩2mrM 2tmrrFMOzjmjrjFejFi24 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度角加速度
11、與它所受的與它所受的合外力矩合外力矩成正比成正比 ，與剛體的與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比成反比 .rmMMjjjjjj2ie0jijjiijMMM)rmMjjjj2e( 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律JM 2jjjrmJ定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrJd2OzjmjrjFejFi25mrJrmJjjjd,22三三 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 物理物理意義意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 .剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與哪些物理量有關(guān)？剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與哪些物理量有關(guān)？.與剛體質(zhì)量有關(guān)與剛體質(zhì)量有關(guān)。.與質(zhì)量的分布有關(guān)與質(zhì)量的分布有關(guān)。.與軸的位置有關(guān)與軸的位置有關(guān)。26竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量
12、為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？27轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法 質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2222112rmrmrmJjjj 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrrmJjjjd22：質(zhì)量元：質(zhì)量元md282 對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：質(zhì)量線密度：質(zhì)量線密度lmdd2 對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：質(zhì)量面密度：質(zhì)量面密度Smdd2 對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：質(zhì)量體密度：質(zhì)量體密度Vmdd29例例1：在無質(zhì)輕桿的在無質(zhì)輕桿的 b 處處 3b 處各系質(zhì)量處各系質(zhì)量為為 2m 和和
13、m 的質(zhì)點(diǎn)，可繞的質(zhì)點(diǎn)，可繞 o 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求：軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求：質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。解：解：由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義221iiirmJ222211rmrm22)3(2bmmb211mbbb3omm230例例2：長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細(xì)桿，繞的勻質(zhì)細(xì)桿，繞與桿垂直的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與桿垂直的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J。mlo解：解：細(xì)桿為線質(zhì)量細(xì)桿為線質(zhì)量分布，單位長(zhǎng)度的分布，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為：質(zhì)量為：lm建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)選在質(zhì)心處。建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)選在質(zhì)心處。 分割質(zhì)量元分割質(zhì)量元 dm , ,長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為 dx , x2l2ldmdxdxdm
14、x31dmxJll22/2/ 2/ 2/ 33llx2121mlJlm繞細(xì)桿質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為繞細(xì)桿質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2121mlJ3121ldxxll22/2/dmrJ2mlox2l2ldmdxx32例例3：長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細(xì)桿，繞的勻質(zhì)細(xì)桿，繞細(xì)桿一端軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量細(xì)桿一端軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J。解：解：細(xì)桿為線質(zhì)量細(xì)桿為線質(zhì)量分布，單位長(zhǎng)度的分布，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為：質(zhì)量為：lmxlmlodmdx建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)選在邊緣處。分建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)選在邊緣處。分割質(zhì)量元割質(zhì)量元 dm , ,長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為 dx , dxdmx33dmxJl20 lx 0 332
15、31mlJlm繞細(xì)桿邊緣軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為繞細(xì)桿邊緣軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為231mlJdxxl20331ldmrJ2xlmlodmdxx34R例例5：半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓盤，繞垂直的圓盤，繞垂直于圓盤平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量于圓盤平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J。rdr解：解：圓盤為面質(zhì)量圓盤為面質(zhì)量分布，單位面積的分布，單位面積的質(zhì)量為：質(zhì)量為：SM分割質(zhì)量元為圓環(huán)，分割質(zhì)量元為圓環(huán)，圓環(huán)的半徑為圓環(huán)的半徑為 r 寬寬度為度為 dr, ,r2RMM35dSdmdJJ)2(20rdrrR421R由由2RM則圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：則圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：221MRJ則圓環(huán)質(zhì)量則圓環(huán)質(zhì)量Rrd
16、rrMrdr2dmr236 薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直中心與盤面垂直221mrJr2r1圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸)(212221rrmJ37lr圓柱體轉(zhuǎn)軸沿幾何軸圓柱體轉(zhuǎn)軸沿幾何軸221mrJlr 圓柱體轉(zhuǎn)軸通過圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心與幾何軸垂直中心與幾何軸垂直12422mlmrJ38l 細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直中心與棒垂直122mlJl 細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直端點(diǎn)與棒垂直32mlJ392r球體轉(zhuǎn)軸沿直徑球體轉(zhuǎn)軸沿直徑522mrJ2r球殼轉(zhuǎn)軸沿直徑球殼轉(zhuǎn)軸沿直徑322mrJ40定理表述：定理表述：剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣
17、量量 J，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JC 加上加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積。剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積。2mdJJCJCJdmC 剛體繞質(zhì)心軸剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。41例例1：再以繞長(zhǎng)為再以繞長(zhǎng)為 l、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細(xì)的勻質(zhì)細(xì)桿，繞細(xì)桿一端軸轉(zhuǎn)動(dòng)為例，利用平行軸桿，繞細(xì)桿一端軸轉(zhuǎn)動(dòng)為例，利用平行軸定理計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定理計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J 。解：解：繞細(xì)桿質(zhì)心的繞細(xì)桿質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：mloJCJC2121mlJC繞桿的一端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為繞桿的一端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2mdJJC222121lmmlJ2/l結(jié)果與前相同。結(jié)果與前相同
18、。231ml42例例2：半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓盤，繞垂的圓盤，繞垂直于圓盤平面的邊緣軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量直于圓盤平面的邊緣軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。RJCJRMC解：解：繞圓盤質(zhì)心繞圓盤質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：221MRJC2221MRMRJ223MR2mdJJC由由43例例3：半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓環(huán)，繞垂直的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。RMo解：解：dmdmRJM20分割質(zhì)量元分割質(zhì)量元 dm圓環(huán)上各質(zhì)量元到圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等，軸的距離相等，dmRM022MR繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為
19、繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2MRJ44例例4 4：質(zhì)量為質(zhì)量為 m1和和m2兩個(gè)物體，跨在兩個(gè)物體，跨在定滑輪上定滑輪上 m2 放在光放在光滑的桌面上，滑輪滑的桌面上，滑輪半徑為半徑為 R，質(zhì)量為，質(zhì)量為 M，求：，求：m1 下落的下落的加速度，和繩子的加速度，和繩子的張力張力 T1、T2。1m2mRM,T1 1T2 2451m2mRM,1mgm11TRM,1T2T2T2m解：解：受力分析受力分析1m以以為研究對(duì)象為研究對(duì)象amTgm111 （1）2m以以為研究對(duì)象為研究對(duì)象amT22 （2）M以以為研究對(duì)象為研究對(duì)象JRTT)(21（3）221MRJT1T246補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程Ra （4）聯(lián)立
20、方程（聯(lián)立方程（1）-（4）求解得）求解得2/211Mmmgma2/)2/(21211MmmgMmmT2/21212MmmgmmT討論：討論：當(dāng)當(dāng) M= =0時(shí)時(shí)212121mmgmmTT47 例例5 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 質(zhì)量為質(zhì)量為 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈下端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng) . 由于此由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng) .試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎
21、直線成 角時(shí)的角加速度角時(shí)的角加速度和角速度和角速度 .lm 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得NFJmglsin2148式中式中231mlJ ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定義由角加速度的定義dsin23dlg代入初始條件積分代入初始條件積分 得得)cos1 (3lgJmglsin2149例例6 6：測(cè)輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣：測(cè)輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量用一根輕繩纏繞在半用一根輕繩纏繞在半徑為徑為 R、質(zhì)量為、質(zhì)量為 M 的的輪子上若干圈后，一端輪子上若干圈后，一端掛一質(zhì)量為掛一質(zhì)量為 m 的物體，的物體，從靜止下落從靜止下
22、落 h 用了時(shí)間用了時(shí)間 t , ,求輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。hRM,m50hRM,mgT受力分析受力分析: :以以m為研究對(duì)象為研究對(duì)象(1) maTmg以以M為研究對(duì)象為研究對(duì)象(2) JTR 物體從靜止下落時(shí)滿足物體從靜止下落時(shí)滿足(3) /22ath補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程：(4) Ra T51聯(lián)立方程（聯(lián)立方程（1）-（4）求解得：）求解得：hhgtmRJ2)2(225253力矩的時(shí)間累積效應(yīng)力矩的時(shí)間累積效應(yīng)一一 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 力的時(shí)間累積效應(yīng)力的時(shí)間累積效應(yīng) 沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理. 沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量
23、定理沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理為求剛體的角動(dòng)量為求剛體的角動(dòng)量,先介紹質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量先介紹質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量.動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律54v1 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量vmrprLvrLLrpmo 質(zhì)點(diǎn)以角速度質(zhì)點(diǎn)以角速度 作半徑作半徑為為 的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的角動(dòng)量角動(dòng)量rJmrL2Lrxyzom 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)以速度的質(zhì)點(diǎn)以速度 在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn) O 的位矢為的位矢為 ，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法則的方向符合右手法則.L55?dd,ddtLF
24、tpptrtprprttLdddd)(ddddtLMdd 作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)參考點(diǎn) O 的力矩的力矩 ，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn) O 的的角角動(dòng)量動(dòng)量隨時(shí)間的隨時(shí)間的變化率變化率.FrtprtLdddd0,ddptrvv2 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理prL56 質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn) O 的的合力矩合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)參考點(diǎn) O 的的角動(dòng)量為一恒矢量角動(dòng)量為一恒矢量. LM,0 恒矢量恒矢量 沖量矩沖量矩tMttd21 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對(duì)同一參考點(diǎn)：對(duì)同一參考點(diǎn) O ，質(zhì)點(diǎn)所受，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)
25、量的增量的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量.12d21LLtMtt3 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律tLMdd57二二 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量iiiiiiirmrmL)(2v2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理1221dJJtMtt剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理112221dJJtMttOirimivtJtLMd)(dddJL z58 角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律. 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量?jī)?nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)
26、量. 守守 恒條件恒條件0M若若 不變，不變， 不變；若不變；若 變，變， 也變，但也變，但 不變不變.JJLJ剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理1221dJJtMtt3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律0M常量JL，則，則若若討論討論59 有許多現(xiàn)象都可以有許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來說明用角動(dòng)量守恒來說明.自然界中存在多種守恒定律自然界中存在多種守恒定律2 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律2電荷守恒定律電荷守恒定律2質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律2宇稱守恒定律等宇稱守恒定律等花樣滑冰花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水跳水運(yùn)
27、動(dòng)員跳水60o1o 2例例 ：人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量J0= =60kg m2, ,伸臂伸臂時(shí)臂長(zhǎng)為時(shí)臂長(zhǎng)為 1m，收臂時(shí)，收臂時(shí)臂長(zhǎng)為臂長(zhǎng)為 0.2m。人站在。人站在可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤中心上，每只手抓有中心上，每只手抓有質(zhì)量質(zhì)量 m= =5kg的啞鈴。的啞鈴。伸臂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度伸臂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 1 = = 3 s- -1, ,求收臂時(shí)的角求收臂時(shí)的角速度速度 2 . .61o1o 2解：解：整個(gè)過程合外力整個(gè)過程合外力矩為矩為0，角動(dòng)量守恒，角動(dòng)量守恒，2211JJ21012mlJJ21526022022mlJJ22 .052602mkg702mkg4 .6062
28、2211JJ2112JJ 由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的減小，角速度增加。由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的減小，角速度增加。4 .607031 -s5 .363例例 ：兩個(gè)共軸飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為兩個(gè)共軸飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，角速度分別為，角速度分別為 1 、2，求兩飛輪嚙，求兩飛輪嚙合后共同的角速度合后共同的角速度 。1J2J1264解：解：兩飛輪通過摩兩飛輪通過摩擦達(dá)到共同速度擦達(dá)到共同速度, ,合合外力矩為外力矩為0，系統(tǒng)角，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。動(dòng)量守恒。1J2J12)(212211JJJJC CL LL L0 212211JJJJ共同角速度共同角速度65 長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng)的木棒的木棒,質(zhì)量為質(zhì)量為M,上端固定上端固定,靜止下垂
29、靜止下垂.今有一子彈質(zhì)量為今有一子彈質(zhì)量為m,以水平速度以水平速度v射入桿下端射入桿下端,并并留在其中留在其中,求木棒的角速度求木棒的角速度.0v0v解解:2231mlMlmvllmMmv)3(366例例4:一一質(zhì)量為質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R的自行車輪，假的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞固定軸定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞固定軸O轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng). 另一質(zhì)量為另一質(zhì)量為m的子彈以速度的子彈以速度 V 射入輪緣，射入輪緣，并留在輪內(nèi)。開始時(shí)輪是靜止的，求子彈并留在輪內(nèi)。開始時(shí)輪是靜止的，求子彈打入后打入后,車輪的角速度。車輪的角速度。 解解:22m v RmRM R()m vmM R67例例5:質(zhì)量為質(zhì)量為M,長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng)的木棒的木棒,與一質(zhì)量為與一質(zhì)量為m的小球在下端相碰的小球在下端相碰,小球速率為小球速率為v,碰后以速碰后以速率率u反向運(yùn)動(dòng)反向運(yùn)動(dòng).求棒的角速度求棒的角速度.mulMlmvl231Mluvm)(368 長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng)的木桿的木桿,質(zhì)量為質(zhì)量為M,可繞通過其中點(diǎn)并可繞通過其中點(diǎn)并與之垂直與之垂直.今有一子彈質(zhì)量為今有一子彈質(zhì)量為m,以水平速度以水平速度v射入射入桿端桿端,并留在其中并留在其中,求木桿的角速度求木桿的角速度.221( )2122llmvMlm6(3 )mvMm l
大學(xué)物理：第4章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)
