九年級數學上冊 期中期末串講 第82講 二次函數(二)課后練習 （新版）蘇科版

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1、九年級數學上冊 期中期末串講 第82講 二次函數(二)課后練習 （新版）蘇科版 題一： 已知關于x的一元二次方程kx2+(3k+1)x+2k+1=0． (1)求證：該方程必有兩個實數根； (2)若該方程只有整數根，求k的整數值； (3)在(2)的條件下，在平面直角坐標系中，若二次函數y=(k+1)x2+3x+m與x軸有兩個不同的交點A和B(A在B左側)，并且滿足OA=2OB，求m的非負整數值． 題二： 已知：關于x的一元二次方程mx2－(3m－2)x+2m－2=0． (1)若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍； (2)在(1)的條件下，求證：無論m取何值，拋物線y=mx

2、2－(3m－2)x+2m－2總過x軸上的一個固定點； (3)若m為正整數，且關于x的一元二次方程mx2－(3m－2)x+2m－2=0有兩個不相等的整數根，把拋物線y=mx2－(3m－2)x+2m－2向右平移4個單位長度，求平移后的拋物線的解析式． 題三： 我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖所示，點A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為(0，－3)，AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為(1，0)，半圓半徑為2． (1)請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取

3、值范圍； (2)你能求出經過點C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看； (3)開動腦筋想一想，相信你能求出經過點D的“蛋圓”切線的解析式． 題四： 如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線成為“蛋線”．已知點C的坐標為(0，)，點M是拋物線C2：y=mx2－2mx－3m(m＜0)的頂點． (1)求A、B兩點的坐標； (2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；

4、 (3)當△BDM為直角三角形時，求m的值． 第80講 期中期末串講—二次函數(二) 題一： 見詳解． 詳解：(1)△=b2－4ac=(3k+1)2－4k(2k+1)=(k+1)2≥0，∴該方程必有兩個實數根； (2)x==，即，， ∵方程只有整數根，∴應為整數，即應為整數， ∵k為整數，∴k=±1； (3)根據題意，k+1≠0，即k≠－1， ∴k=1，此時，二次函數為y=2x2+3x+m， ∵二次函數與x軸有兩個不同的交點A和B(A在B左側)， ∴△=b2－4ac=32－4×2×m=9－8m＞0，m＜， ∵m為非負整數，∴m=0，1， 當m=0時，二次函

5、數為y=2x2+3x，此時A(，0)，B(0，0)，不滿足OA=2OB； 當m=1時，二次函數為y=2x2+3x+1，此時A(－1，0)，B(，0)，滿足OA=2OB， ∴m=1． 題二： 見詳解． 詳解：(1)∵關于x的一元二次方程mx2－(3m－2)x+2m－2=0， 有兩個不相等的實數根， ∴△=[－(3m－2)]2－4m(2m－2)=m2－4m+4=(m－2)2＞0， ∴m≠0且m≠2， 答：m的取值范圍是m≠0且m≠2． (2)令y=0得，mx2－(3m－2)x+2m－2=0，∴x1=1，， ∴拋物線與x軸的交點坐標為(1，0)，(，0)， ∴無論m取何值，拋物

6、線y=mx2－(3m－2)x+2m－2總過x軸上的定點(1，0)， 即無論m取何值，拋物線y=mx2－(3m－2)x+2m－2總過x軸上的一個固定點； (3)∵x=1是整數，∴只需是整數， ∵m是正整數，且m≠0，m≠2，∴m=1， 當m=1時，拋物線的解析式為y=x2－x， 把它的圖象向右平移4個單位長度，即y=(x－4)2－(x－4)， ∴y=x2－9x+20， 答：平移后的拋物線的解析式為y=x2－9x+20． 題三： 見詳解． 詳解：(1)根據題意，可得A(－1，0)，B(3，0)， 則設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x－3)(a≠0)， 又∵點D(0，－3)

7、在拋物線上，∴a(0+1)(0－3)=－3，解得a=1， ∴y=x2－2x－3，自變量范圍－1≤x≤3； (2)設經過點C“蛋圓”的切線CE交x軸于點E，連接CM， 在Rt△MOC中，OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°，OC=， 在Rt△MCE中，MC=2，∠CMO=60°，∴ME= 4， ∴點C、E的坐標分別為(0，)，(－3，0)， ∴切線CE的解析式為； (3)設過點D(0，－3)，“蛋圓”切線的解析式為y=kx－3(k≠0)， 由題意，可知方程組只有一組解， 即kx－3=x2－2x－3有兩個相等實根，∴k=－2， ∴過點D“蛋圓”切線的解析式y(tǒng)=－2x－3．

8、 題四： 見詳解． 詳解：(1)y=mx2－2mx－3m=m(x－3)(x+1)， ∵m≠0，∴當y=0時，x1=－1，x2=3，∴A(－1，0)，B(3，0)； (2)設C1：y=ax2+bx+c，將A、B、C三點的坐標代入得： ，解得，故C1的解析式為y=x2－x－． 如圖，過點P作PQ∥y軸，交BC于Q， 由B、C的坐標可得直線BC的解析式為y=x－， 設P(x，x2－x－)，則Q(x，x－)， ∴PQ=x－－(x2－x－)=－x2+x， ∴△PBC的面積為=×(－x2+x)×3=－(x－)2+， 當x=時，△PBC的面積有最大值，最大值為， 則×()2－－=

9、－，∴P(，－)； (3)y=mx2－2mx－3m=m(x－1)2－4m，頂點M坐標(1，－4m)， 當x=0時，y=－3m，∴D(0，－3m)，B(3，0)， ∴DM2=(0－1)2+(－3m+4m)2=m2+1， MB2=(3－1)2+(0+4m)2=16m2+4， BD2=(3－0)2+(0+3m)2=9m2+9， 當△BDM為直角三角形時，有DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2， ①DM2+BD2=MB2時有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=－1，∵m＜0，∴m=1(舍去)； ②DM2+MB2=BD2時，有m2+1+16m2+4=9m2+9，解得m=－，m=(舍去)． 綜上，m=－1或－時，△BDM為直角三角形．