（江蘇專版）2018年高考數學二輪復習 第2部分 八大難點突破 難點6 數列中的證明、探索性和存在性、不定方程的解等綜合問題學案

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1、難點六數列中的證明、探索性和存在性、不定方程的解等綜合問題 (對應學生用書第72頁)近幾年的高考試卷中經常出現以數列為載體的證明、探索等綜合問題，這類問題不僅考查學生的分析問題解決問題的能力，以及探索能力，而且給學生提供了創(chuàng)新思維的空間1等差數列、等比數列的證明問題有關證明、判斷數列是等差(等比)數列的主要證明方法有：定義法、性質法定義法：用定義法判斷一個數列是等差數列，常采用的兩個式子anan1d和an1and有差別，前者必須加上“n2”，否則n1時a0無意義；在等比數列中一樣有：n2時，有q(常數q0)；nN*時，有q(常數q0)性質法：anan22an1an是等差數列，anan2(an1

2、)2(an0)an是等比數列，這是證明數列an為等差(等比)數列的另一種主要方法【例1】(蘇北四市淮安、宿 遷、連云港、徐州)2017屆高三上學期期中)在數列an中，已知a1，an1an，nN*，設Sn為an的前n項和(1)求證：數列3nan是等差數列；(2)求Sn；(3)是否存在正整數p，q，r(pqr)，使Sp，Sq，Sr成等差數列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，說明理由解(1)證明：因為an1an，nN*，所以3n1an13nan2，又因為a1，所以31a11，所以3nan是首項為1，公差為2的等差數列(2)由(1)知3nan1(n1)(2)32n，所以an(32n)n，所以Sn

3、11(1)2(3)3(32n)n，所以Sn12(1)3(52n)n(32n)n1，兩式相減得Sn2(32n)n12(2n3)n12nn1，所以Sn.(3)假設存在正整數p，q，r(pqr)，使Sp，Sq，Sr成等差數列，則2SqSpSr，即.由于當n2時，an(32n)n0，所以數列Sn單調遞減又pq，所以pq1且q至少為2，所以，.當q3時，又0，所以，等式不成立當q2時，p1，所以，所以，所以r3(Sn單調遞減，解唯一確定)綜上可知，p，q，r的值為1,2,3.2數列中探索與存在性問題數列探索性問題主要表現為存在型，解答的一般策略：先假設所探求對象存在或結論成立，以此假設為前提條件進行運算

4、或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設不成立，從而得到“否定”的結論，即不存在若推理不出現矛盾，能求得在范圍內的數值或圖形，就得到肯定的結論，即得到存在的結果而要確定范圍內的數值，則往往涉及不定方程的正整數解問題【例2】(2017江蘇省鹽城市高考數學三模)已知數列an，bn都是單調遞增數列，若將這兩個數列的項按由小到大的順序排成一列(相同的項視為一項)，則得到一個新數列cn(1)設數列an，bn分別為等差、等比數列，若a1b11，a2b3，a6b5，求c20；(2)設an的首項為1，各項為正整數，bn3n，若新數列cn是等差數列，求數列cn的前n項和Sn；(3)設bnqn1(q是不小于2的正整數)

5、，c1b1，是否存在等差數列an，使得對任意的nN *，在bn與bn1之間數列an的項數總是bn？若存在，請給出一個滿足題意的等差數列an；若不存在，請說明理由 【導學號：56394105】解(1)設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為q，由題意得，解得d0或3，因數列an，bn單調遞增，所以d0，q1，所以d3，q2，所以an3n2，bn2n1.因為a1b11，a2b3，a6b5，b7a20.c20a1749.(2)設等差數列cn的公差為d，又a11，且bn3n，所以c11，所以cndn1d.因為b13是cn中的項，所以設b1cn，即d(n1)2.當n4時，解得d1，不滿足各項為正整

6、數；當b1c33時，d1，此時cnn，只需取ann，而等比數列bn的項都是等差數列an中的項，所以Sn；當b1c23時，d2，此時cn2n1，只需取an2n1，由3n2m1，得m，3n是奇數，3n1是正偶數，m有正整數解，所以等比數列bn的項都是等差數列an中的項，所以Snn2.綜上所述，數列cn的前n項和Sn或Snn2.(3)存在等差數列an，只需首項a1(1，q)，公差dq1.下證bn與bn1之間數列an的項數為bn，即證對任意正整數n，都有即成立由bna1qqn21qn1a1(1qqn2)(q1)1a10，bn1a1qqn1qna1(1qqn11)(q1)qa10.所以首項a1(1，q)，公差dq1的等差數列an符合題意3