（全國通用版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第6節(jié) 幾何概型學案 理 新人教B版

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1、 第6節(jié)　幾何概型 最新考綱　1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率；2.了解幾何概型的意義. 知 識 梳 理 1.幾何概型的定義 事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積、體積)成正比，而與A的位置和形狀無關，滿足上述條件的試驗稱為幾何概型. 2.幾何概型的兩個基本特點 (1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結果有無限多個； (2)等可能性：每個結果的發(fā)生具有等可能性. 3.幾何概型的概率公式 P(A)＝，其中μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量，μA表示子區(qū)域A的幾何度量. [常用結論與微點提醒] 1.幾何概型的基本事件的個數(shù)是無限

2、的，古典概型中基本事件的個數(shù)是有限的，前者概率的計算與基本事件的區(qū)域長度(面積或體積)的大小有關，而與形狀和位置無關. 2.幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內不影響所求結果. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”) (1)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.(　　) (2)從區(qū)間[1，10]內任取一個數(shù)，取到1的概率是.(　　) (3)概率為0的事件一定是不可能事件.(　　) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材練習改編)有四個游戲盤，將它們水平放

3、穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是(　　) 解析　如題干選項中圖，各種情況的概率都是其面積比，中獎的概率依次為P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B). 答案　A 3.(2016·全國Ⅱ卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為＝. 答案　B 4.(2018·臨沂質檢)從區(qū)間(0，1)

4、中任取兩個數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長，則所取的兩個數(shù)使得斜邊長度不大于1的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　任取的兩個數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(不包括x，y軸). 故所求概率P＝＝. 答案　B 5.(2018·合肥質檢)在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C的方程為x2－y＝0)的點的個數(shù)的估計值為(　　) A.5 000 B.6 667 C.7 500 D.7 854 解析　S陰影＝S正方形－x2dx＝1－＝， 所以有＝＝，解得n≈6 6

5、67. 答案　B 考點一　與長度(角度)有關的幾何概型 【例1】 (1)(2016·全國Ⅰ卷)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. (2)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧，在∠DAB內任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為________. 解析　(1)如圖所示，畫出時間軸： 小明到達的時間會隨機的落在圖中線段AB上，而當他的到達時間落在線段AC或

6、DB上時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝＝. (2)以A為圓心，以AD＝1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C′，P′，B′. 依題意，點P′在上任何位置是等可能的，且射線AP與線段BC有公共點，則事件“點P′在上發(fā)生”. 又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝. 故所求事件的概率P＝＝＝. 答案　(1)B　(2) 規(guī)律方法　1.解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍，當考查對象為點，且點的活動范圍在線段上時，用“線段長度”為測度計算概率，求解的核心是確定點的邊界位置. 2.(1)第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測度

7、”計算幾何概型的概率，導致錯求P＝. (2)當涉及射線的轉動，扇形中有關落點區(qū)域問題時，應以角對應的弧長的大小作為區(qū)域度量來計算概率.事實上，當半徑一定時，曲線弧長之比等于其所對應的圓心角的弧度數(shù)之比. 【訓練1】 (1)(2017·江蘇卷)記函數(shù)f(x)＝的定義域為D.在區(qū)間[－4，5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________. (2)(2018·西安調研)在區(qū)間[－1，1]上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________. 解析　(1)由6＋x－x2≥0，得－2≤x≤3，即D＝[－2，3]. 故所求事件的概率P＝＝.

8、 (2)直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交的充要條件是圓心(5，0)到直線y＝kx的距離小于3. 則＜3，解得－＜k＜. 故所求事件的概率P＝＝. 答案　(1)　(2) 考點二　與面積有關的幾何概型(多維探究) 命題角度1　與平面圖形面積相關的幾何概型 【例2－1】 (2017·全國Ⅰ卷)如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　設正方形的邊長為2，則面積S正方形＝4. 又正方形內切圓的面積S＝π×1

9、2＝π. 所以根據(jù)對稱性，黑色部分的面積S黑＝. 由幾何概型的概率公式，概率P＝＝. 答案　B 命題角度2　與線性規(guī)劃有關的幾何概型 【例2－2】 由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1，由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2，若在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內的概率為________. 解析　如圖，平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊部分就是區(qū)域OACD，易知C. 由幾何概型的概率公式，所求概率 P＝＝＝. 答案　 命題角度3　與定積分有關的幾何概型 【例2－3】 如圖，點A的坐標為(1，0)，點C的坐標為(2，4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在

10、矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于________. 解析　由題意知，陰影部分的面積S＝(4－x2)dx＝|＝， 所以所求概率P＝＝＝. 答案　 規(guī)律方法　1.與面積有關的平面圖形的幾何概型，解題的關鍵是對所求的事件A構成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計算，基本方法是數(shù)形結合. 2.解題時可根據(jù)題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解. 【訓練2】 (1)(2016·全國Ⅱ卷)從區(qū)間[0，1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平

11、方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B. C. D. (2)(2018·石家莊調研)在滿足不等式組的平面內隨機取一點M(x0，y0)，設事件A＝“y0＜2x0”，那么事件A發(fā)生的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　(1)如圖，數(shù)對(xi，yi)(i＝1，2，…，n)表示的點落在邊長為1的正方形OABC內(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內.由幾何概型的概率計算公式知P＝＝＝，又P＝，所以＝，故π＝. (2)作出不等式組 表示的平面區(qū)域(即△ABC)，其

12、面積為4.事件A＝“y0＜2x0”表示的區(qū)域為△AOC，其面積為3. 所以事件A發(fā)生的概率是. 答案　(1)C　(2)B 考點三　與體積有關的幾何概型 【例3】 (1)(2018·深圳模擬)一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為(　　) A. B. C. D. (2)已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內任取一點P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　(1)由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為

13、以這個正方體的中心為中心，且棱長為1的小正方體內. 這個小正方體的體積為1，大正方體的體積為27，故安全飛行的概率為P＝. (2)由題意知，當點P在三棱錐的中截面A′B′C′以下時，滿足VP－ABC

14、體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內隨機取點M，則使四棱錐M－ABCD的體積小于的概率為________. 解析　設四棱錐M－ABCD的高為h，由于S正方形ABCD＝1，V正方體＝1，且S正方形ABCD<. ∴h<，則點M在正方體的下半部分，故所求事件的概率P＝＝. 答案　 基礎鞏固題組 (建議用時：30分鐘) 一、選擇題 1.為了測量某陰影部分的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內，并向正方形內隨機投擲600個點，已知恰有200個點落在陰影部分內，據(jù)此可以估計陰影部分的面積是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析　由投擲的點落在陰影

15、部分的個數(shù)與投擲的點的個數(shù)比得到陰影部分的面積與正方形的面積比為，所以陰影部分的面積約為9×＝3. 答案　B 2.如圖，“天宮一號”運行的軌跡是如圖的兩個類同心圓，小圓的半徑為2 km，大圓的半徑為4 km，衛(wèi)星P在圓環(huán)內無規(guī)則地自由運動，運行過程中，則點P與點O的距離小于3 km的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　根據(jù)幾何概型公式，小于3 km的圓環(huán)面積為π(32－22)＝5π；圓環(huán)總面積為π(42－22)＝12π，所以點P與點O的距離小于3 km的概率為P＝＝. 答案　B 3.(2018·濰坊一中質檢)在區(qū)間[0，2]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“－1≤l

16、og≤1”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　由－1≤log≤1，得≤x＋≤2， 解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”發(fā)生的 概率為＝，故選A. 答案　A 4.(2018·成都診斷)如圖，大正方形的面積是34，四個全等直角三角形圍成一個小正方形，直角三角形的較短邊長為3，向大正方形內拋撒一枚幸運小花朵，則小花朵落在小正方形內的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　∵大正方形的面積是34，∴大正方形的邊長是，由直角三角形的較短邊長為3，得四個全等直角三角形的直角邊分別是5和3，則小正方形邊長為2，面積為4，∴小花朵落在小正方形

17、內的概率為P＝＝. 答案　B 5.有一底面半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　設點P到點O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，則P1＝＝＝. 故點P到點O的距離大于1的概率P＝1－＝. 答案　B 6.(2018·西安調研)若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[0，e]上隨機取一個實數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是(　　) A. B.1－ C. D. 解析　當0≤x<1時，恒有f(x)＝ex

18、 x＋e.由ln x＋e≥e，得1≤x≤e.∴所求事件的概率P＝＝1－. 答案　B 7.已知平面區(qū)域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域D內任取一點，則取到的點位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　由題設知，區(qū)域D是以原點為中心的正方形，根據(jù)圖形的對稱性知，直線y＝kx將其面積平分，如圖，故所求概率為. 答案　A 8.(2018·福州調研)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1，0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)＝的圖象上.若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于(　　) A.

19、 B. C. D. 解析　因為四邊形ABCD為矩形，B(1，0)且點C和點D分別在直線y＝x＋1和y＝－x＋1上， 所以C(1，2)，D(－2，2)，E(0，1)，則A(－2，0). 因此S矩形ABCD＝6，S陰影＝×1·|CD|＝. 由幾何概型，所求事件的概率P＝＝. 答案　B 二、填空題 9.在區(qū)間[－2，4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 解析　由|x|≤m，得－m≤x≤m. 當m≤2時，由題意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去. 當2＜m＜4時，由題意得＝，解得m＝3. 答案　3 10.如圖，在長方體ABCD－

20、A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內隨機運動，則此動點在三棱錐A－A1BD內的概率為________. 解析　因為VA－A1BD＝VA1－ABD＝AA1×S△ABD＝×AA1×S矩形ABCD＝V長方體，故所求概率為＝. 答案　 11.(2018·河南六市聯(lián)考)在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤4}內隨機投入一點P，則點P的坐標(x，y)滿足y≤x2的概率為________. 解析　不等式組表示的平面區(qū)域的面積為2×4＝8， 設不等式組表示的平面區(qū)域的面積為S；則S＝x2dx＝x3＝，因此所求的概率為＝. 答案　 12.在區(qū)間[0，5]上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x2

21、＋2px＋3p－2＝0有兩個負根的概率為________. 解析　設方程x2＋2px＋3p－2＝0的兩負根為x1，x2， 則解得2. 又因為p∈[0，5]，得p∈∪(2，5]， 故所求概率為＝. 答案　 能力提升題組 (建議用時：10分鐘) 13.(2018·西北工大附中調研)設復數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋π B.＋ C.－ D.－ 解析　由|z|≤1得(x－1)2＋y2≤1，由題意作圖如圖所示，則滿足條件的區(qū)域為圖中陰影部分， ∴y≥x的概率為＝－. 答案　D 14.在區(qū)間[0，

22、1]上任取兩個數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b2無零點的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　要使該函數(shù)無零點，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0. ∵a，b∈[0，1]，a＋2b>0， ∴a－2b<0. 作出的可行域(如陰影部分所示)，易得該函數(shù)無零點的概率P＝＝. 答案　C 15.正方形的四個頂點A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)， D(－1，1)分別在拋物線y＝－x2和y＝x2上，如圖所示.若將一個質點隨機投入正方形ABCD中，則質點落在圖中陰影區(qū)域的概率是________. 解析　正方形內空白部分面積為[x2－(－x2)]dx＝2x2dx＝·x3|＝－＝， 陰影部分面積為2×2－＝， 所以所求概率為＝. 答案　 16.小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書.則小波周末不在家看書的概率為________. 解析　∵去看電影的概率P1＝＝， 去打籃球的概率P2＝＝， ∴不在家看書的概率為P＝＋＝. 答案　 13