8、一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色之外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)．
(1)求在1次游戲中，①摸出3個白球的概率，②獲獎的概率；
(2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．
【解】 (1)①設(shè)“在一次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i＝0，1，2，3)，則P(A3)＝·＝.
②設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B，則B＝A2∪A3.
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由題
9、意可知X的所有可能取值為0，1，2，
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝C＝；
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列為
X
0
1
2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
求方差和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)鍵是求分布列，只要有了分布列，就可以依據(jù)定義求數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而求出方差、標(biāo)準(zhǔn)差，同時還要注意隨機(jī)變量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為________．
解析：記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y，則Y～B(1 000，0.
10、1)，
所以E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，所以E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.
答案：200
均值、方差的應(yīng)用(高頻考點)
本考點屬于均值、方差的簡單應(yīng)用．主要命題角度有：
(1)已知均值、方差求參數(shù)；
(2)已知均值、方差求最值問題．
角度一 已知均值、方差求參數(shù)
(1)(2020·杭州高三質(zhì)檢)體育課的排球發(fā)球項目的考試規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止，設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為m(m≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)＞1.75，則m的取值范圍是( )
A.
11、 B.
C. D.
(2)(2020·臺州市書生中學(xué)高三期中)若X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝a)＝，P(X＝b)＝，且a＜b，又已知E(X)＝，D(X)＝，則a＋b的值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 (1)X的可能取值為1，2，3，因為P(X＝1)＝m，P(X＝2)＝(1－m)m，P(X＝3)＝(1－m)2，所以E(X)＝m＋2m(1－m)＋3(1－m)2＝m2－3m＋3，由E(X)＞1.75，即m2－3m＋3＞1.75，解得m＜或m＞(舍去)，所以0＜m＜.
(2)由E(X)＝，D(X)＝得
，
解方程組可得a＋b＝3.
【答案】 (
12、1)C (2)C
角度二 已知均值、方差求最值問題
(1)一個射箭運(yùn)動員在練習(xí)時只記射中9環(huán)和10環(huán)的成績，未射中9環(huán)或10環(huán)就以0環(huán)記，該運(yùn)動員在練習(xí)時射中10環(huán)的概率為a，射中9環(huán)的概率為b，即未射中9環(huán)也未射中10環(huán)的概率為c(a，b，c∈[0，1))，如果已知該運(yùn)動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)，則當(dāng)＋取最小值時，c的值為( )
A. B.
C. D．0
(2)A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2.根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
13、0.5
0.3
①在A、B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)；
②將x(0≤x≤100)萬元投資項目A，100－x萬元投資項目B，f(x)表示投資項目A所得利潤的方差與投資項目B所得利潤方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取到最小值．
【解】 (1)選A.由該運(yùn)動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)得10a＋9b＝9，所以＋＝＝＋10，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝9b時，＋取得最小值，解得此時c＝1－a－b＝1－－＝.
(2)①由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列分別為
Y1
5
10
P
0.8
0.2
14、
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
②由題意，得f(x)＝D＋D＝ D(Y1)＋ D(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋30 000)＝[4(x－75)2＋7 500]．
所以當(dāng)x＝75時，f(x)取得最小值3.
(1)已知均值、方差求參數(shù)的思路
依據(jù)均值、方差的計算公式列方程(方
15、程組)或不等式，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解．
(2)已知均值(方差)求最值問題的一般思路
①構(gòu)造函數(shù)求最值．
②構(gòu)造基本不等式求最值．
1．一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c∈(0，1))．已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2(不計其他得分情況)，則ab的最大值為( )
A. B.
C. D.
解析：選A.由題意知該運(yùn)動員投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為E＝0×c＋2×b＋3×a＝3a＋2b＝2.由均值不等式知3a＋2b≥2，所以2≤2，即ab≤.
2．(2020·嘉興市高考模擬)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：
ξ
0
16、1
2
P
b
a2
－
則E(ξ)的最小值為________，此時b＝________．
解析：由題意可得：b＋a2＋－＝1，即b＋a2－＝，b∈[0，1]，a∈[－1，1]．E(ξ)＝0＋a2＋2(－)＝a2－a＋1＝(a－)2＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝時取等號，此時b＝.
答案：
均值與方差的實際應(yīng)用
(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)學(xué)校設(shè)計了一個實驗學(xué)科的考查方案：考生從6道備選題中一次隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，并規(guī)定：在抽取的3道題中，至少正確完成其中2道題便可通過考查．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能
17、完成；考生乙每題正確完成的概率都為，且每題正確完成與否互不影響．
(1)求考生甲正確完成題目個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)用統(tǒng)計學(xué)知識分析比較甲、乙兩考生哪位實驗操作能力強(qiáng)及哪位通過考查的可能性大？
【解】 (1)由題意知X的可能取值為1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以，考生甲正確完成題目數(shù)的分布列為
X
1
2
3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
(2)設(shè)考生乙正確完成實驗操作的題目個數(shù)為Y，
因為Y～B，其分布列為：P(Y＝k)＝C·，k＝0，1，2，3，所以E(Y)＝3×＝2.
又因為D(X
18、)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(Y)＝3××＝，
所以D(X)＜D(Y)．
又因為P(X≥2)＝＋＝0.8，P(Y≥2)＝＋≈0.74，所以P(X≥2)＞P(Y≥2)．
①從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望來看，兩人水平相當(dāng)；從做對題數(shù)的方差來看，甲較穩(wěn)定；
②從至少完成2道題的概率來看，甲獲得通過的可能性較大，因此，可以判斷甲的實驗操作能力強(qiáng)．
均值與方差的實際應(yīng)用
(1)D(X)表示隨機(jī)變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統(tǒng)計中常用來描述X的分散程度．
(2)隨
19、機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，射擊次數(shù)相同，已知兩名運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)穩(wěn)定在7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)，他們比賽成績的統(tǒng)計結(jié)果如下：
環(huán)數(shù)擊中頻率選手
7
8
9
10
甲
0.2
0.15
0.3
乙
0.2
0.2
0.35
請你根據(jù)上述信息，解決下列問題：
(1)估計甲、乙兩名射擊運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)都不少于9環(huán)的概率；
(2)若從甲、乙運(yùn)動員
20、中只能挑選一名參加某大型比賽，請你從隨機(jī)變量均值意義的角度，談?wù)勛屨l參加比較合適？
解：(1)記甲運(yùn)動員擊中n環(huán)為事件An(n＝7，8，9，10)；乙運(yùn)動員擊中n環(huán)為事件Bn(n＝7，8，9，10)，甲運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)不少于9環(huán)為事件A9∪A10，乙運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)不少于9環(huán)為事件B9∪B10，根據(jù)已知事件A9與事件A10互斥，事件B9與事件B10互斥，事件A9∪A10與B9∪B10相互獨立，則P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝1－0.2－0.15＝0.65，
P(B9∪B10)＝P(B9)＋P(B10)＝0.2＋0.35＝0.55.
所以甲、乙兩名射擊運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)都不少
21、于9環(huán)的概率等于0.65×0.55＝0.357 5.
(2)設(shè)甲、乙兩名射擊運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)分別為隨機(jī)變量X、Y，根據(jù)已知得X、Y的可能取值為7，8，9，10.
甲運(yùn)動員射擊環(huán)數(shù)X的分布列為
X
7
8
9
10
P
0.2
0.15
0.3
0.35
甲運(yùn)動員射擊環(huán)數(shù)X的均值
E(X)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8.
乙運(yùn)動員射擊環(huán)數(shù)Y的概率分布列為
Y
7
8
9
10
P
0.2
0.25
0.2
0.35
乙運(yùn)動員射擊環(huán)數(shù)Y的均值
E(Y)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7
22、.
因為E(X)>E(Y)，
所以從隨機(jī)變量均值意義的角度看，選甲去比較合適．
核心素養(yǎng)系列22 數(shù)據(jù)分析——利用期望與方差進(jìn)行決策
某公司計劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買．則每個500元，現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：
以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時
23、購買的易損零件數(shù)．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；
(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一．應(yīng)選用哪個？
【解】 (1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，
一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2.
可知X的所有可能取值為16，17，18，19，20，21，22，
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.
24、2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列為
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19.
(3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)．
當(dāng)n＝19時，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200
25、＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
當(dāng)n＝20時，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知當(dāng)n＝19時所需費(fèi)用的期望值小于n＝20時所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n＝19.
利用期望與方差進(jìn)行決策的方法
(1)若我們希望實際的平均水平較理想時，則先求隨機(jī)變量ξ1，ξ2的期望，當(dāng)E(ξ1)＝E(ξ2)時，不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好，需要用D(ξ1)，D(ξ2)來比較這兩個隨機(jī)變量的偏離程度，偏離程度小的更好．
(2)若我們希望
26、比較穩(wěn)定時，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近．
(3)若對平均水平或者穩(wěn)定性沒有明確要求時，一般先計算期望，若相等，則由方差來確定哪一個更好．若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近，且期望較大者的方差較小，顯然該變量更好；若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近且方差相差不大時，應(yīng)根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論，即是選擇較理想的平均水平還是選擇較穩(wěn)定．
[基礎(chǔ)題組練]
1．若隨機(jī)變量X的分布列為
X
C
P
1
，其中C為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．E(X)＝D(X)＝0
B．E(X)＝C，D(X)＝0
C．E(X)＝0，D(X)＝C
D．E(X)＝D(X)＝C
27、
解析：選B.E(X)＝C×1＝C，D(X)＝(E(X)－C)2×1＝0，故選B.
2．(2020·稽陽市聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考)隨機(jī)變量ξ的分布列如下，且滿足E(ξ)＝2，則E(aξ＋b)的值為( )
ξ
1
2
3
P
a
b
c
A.0 B．1
C．2 D．無法確定，與a，b有關(guān)
解析：選B.因為E(ξ)＝2，則a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，聯(lián)立兩式可得a＝c，2a＋b＝1，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1.
3．(2018·高考浙江卷)設(shè)0
28、p在(0，1)內(nèi)增大時，( )
A．D(ξ)減小 B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先減小后增大 D．D(ξ)先增大后減小
解析：選D.由題可得E(ξ)＝＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋＝－＋，所以當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時，D(ξ)先增大后減?。蔬xD.
4．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，則D(X)等于( )
A．5 B．8
C．10 D．16
解析：選B.因為E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.
5．設(shè)擲1枚骰子的點數(shù)為ξ，則( )
A．E(ξ)＝3
29、.5，D(ξ)＝3.52
B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝
C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5
D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝
解析：選B.隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
5
6
P
從而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5，
D(ξ)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝.
6．如圖，將一個各面都凃了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝(
30、 )
A. B.
C. D.
解析：選B.依題意得X的取值可能為0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
7．(2020·嘉興市一中高考適應(yīng)性考試)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝( )
X
0
2
a
P
p
A.2 B．3
C．4 D．5
解析：選C.由題意可得，＋p＋＝1，解得p＝，因為E(X)＝2，所以0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3.D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1.D(2X－3)＝4D
31、(X)＝4.故選C.
8．(2020·嘉興質(zhì)檢)簽盒中有編號為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學(xué)期望為( )
A．5 B．5.25
C．5.8 D．4.6
解析：選B.由題意可知，X可以取3，4，5，6，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.
9．罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X為取得紅球的次數(shù)，則X的方差D(X)的值為( )
A. B.
C. D
32、.
解析：選B.因為是有放回地摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗)，X為取得紅球(成功)的次數(shù)，則X～B，所以D(X)＝4××＝.
10．已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i＝1，2)個球放入甲盒中．
(1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i＝1，2)；
(2)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i＝1，2)，則( )
A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2)
C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．
33、p10，所以p1>p2.
11．某射擊運(yùn)動員在一次射擊比賽中所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：
ξ
3
4
5
6
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，則y的值為____________．
解析：由題意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1
34、＋5×0.3＋6y＝4.3，兩式聯(lián)立解得y＝0.2.
答案：0.2
12．已知X的分布列為
X
－1
0
1
P
且Y＝aX＋3，E(Y)＝，則a的值為__________．
解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝，所以a＝2.
答案：2
13．設(shè)口袋中有黑球、白球共9個．從中任取2個球，若取到白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，則口袋中白球的個數(shù)為________．
解析：設(shè)白球有m個，則取得白球的數(shù)學(xué)期望是×0＋×1＋×2＝，即＋×2＝，
解得m＝3.
答案：3
14．隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
35、
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差數(shù)列．若E(ξ)＝，則D(ξ)的值是________．
解析：由題意可得
解得
所以D(ξ)＝×＋×＋×＝.
答案：
15．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ
－1
0
1
P
那么ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________，設(shè)η＝2ξ＋1，則η的數(shù)學(xué)期望E(η)＝________．
解析：由離散型隨機(jī)變量的期望公式及性質(zhì)可得，
E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，
E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×＋1＝.
答案：－
16．(2020·浙江新高考沖刺卷)某中學(xué)的十佳校園歌手有6名男同學(xué)，
36、4名女同學(xué)，其中3名來自1班，其余7名來自其他互不相同的7個班，現(xiàn)從10名同學(xué)中隨機(jī)選擇3名參加文藝晚會，則選出的3名同學(xué)來自不同班級的概率為________，設(shè)X為選出3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，則該變量X的數(shù)學(xué)期望為________．
解析：設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同班級”為事件A，則P(A)＝＝.
隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
17．從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同
37、取法有________種，記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________．
解析：①從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有CCCC＝48.
②X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
X的分布列為
X
0
1
2
P
E(X)＝0＋1×＋2×＝.
答案：48
[綜合題組練]
1．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y
38、)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值．
解：(1)X的取值為0，1，2，3，4，其分布列為
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2，
又E(Y)＝aE(X)＋b，
所以當(dāng)a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
當(dāng)a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，
所以或
2．設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍(lán)球
39、，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍(lán)球得3分．
(1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會均等)2個球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列；
(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會均等)1個球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
解：(1)由題意得ξ＝2，3，4，5，6.
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列為
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)由題意知η的分布列
40、為
η
1
2
3
P
所以Eη＝＋＋＝，
Dη＝(1－)2·＋(2－)2·＋(3－)2·＝，
化簡得
解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.
3．C1：y＝ax＋b，a，b∈{1，2，3，4，5}，C2：x2＋y2＝2.
(1)求C1，C2有交點的概率P(A)；
(2)求交點個數(shù)的數(shù)學(xué)期望E(ξ)．
解：(1)設(shè)圓心(0，0)到直線ax－y＋b＝0的距離為d，若C1，C2有交點，則d＝≤?b2≤2(a2＋1)．
當(dāng)b＝1時，a＝1，2，3，4，5；當(dāng)b＝2時，a＝1，2，3，4，5；當(dāng)b＝3時，a＝2，3，4，5；當(dāng)b＝4時，a＝3，4，5
41、；當(dāng)b＝5時，a＝4，5.共5＋5＋4＋3＋2＝19種情況，
所以P(A)＝＝.
(2)當(dāng)交點個數(shù)為0時，直線與圓相離，有6種情況；
當(dāng)交點個數(shù)為1時，直線與圓相切，b2＝2(a2＋1)，只有a＝1，b＝2這1種情況；
當(dāng)交點個數(shù)為2時，由(1)知直線與圓相交，有18種情況．
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
4．(2020·溫州八校聯(lián)考)某公司準(zhǔn)備將1 000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個建設(shè)項目供選擇．若投資甲項目一年后可獲得的利潤ξ1(萬元)的概率分布列如下表所示：
ξ1
110
120
170
P
m
0.4
n
且ξ1的期望E(ξ1)＝
42、120；若投資乙項目一年后可獲得的利潤ξ2(萬元)與該項目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨立且調(diào)整的概率分別為p(0＜p＜1)和1－p .若乙項目產(chǎn)品價格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與ξ2的關(guān)系如下表所示：
X
0
1
2
ξ2
41.2
117.6
204
(1)求m，n的值；
(2)求ξ2的分布列；
(3)若E(ξ1)＜E(ξ2)，則選擇投資乙項目，求此時p的取值范圍．
解：(1)由題意得
解得m＝0.5，n＝0.1.
(2)ξ2的可能取值為41.2，117.6，204，
P(ξ2＝41
43、.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，
P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(ξ2＝204)＝p(1－p)，
所以ξ2的分布列為
ξ2
41.2
117.6
204
P
p(1－p)
p2＋(1－p)2
p(1－p)
(3)由(2)可得：
E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6，
由E(ξ1)＜E(ξ2)，
得120＜－10p2＋10p＋117.6，
解得0.4＜p＜0.6，
即當(dāng)選擇投資乙項目時，p的取值范圍是(0.4，0.6)．
21
（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 8 第8講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差教學(xué)案
