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1、2022年高中數(shù)學(xué)選修2-1教案：3-3 雙曲線的簡單性質(zhì)
1．結(jié)合雙曲線的圖形掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．(重點)
2．感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用，體會數(shù)形結(jié)合思想．(難點)
知識點一 雙曲線的簡單性質(zhì)
標準方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
圖形
幾
何
性
質(zhì)
范圍
對稱性
頂點
實虛軸
離心率
漸近線
中心
對稱軸
a，b，c的關(guān)系
考點一雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用
例1(1)(廣東高考)若實數(shù)k滿足0＜k＜9，則曲
2、線－＝1與曲線－＝1的( )
A．焦距相等 B．實半軸長相等
C．虛半軸長相等 D．離心率相等
(2)已知雙曲線C：－y2＝1，P為雙曲線上任意一點，設(shè)點A的坐標為(3,0)，求|PA|的最小值為________．
(3)雙曲線4x2－y2＝4的頂點坐標為________，離心率為________，漸近線方程為________．
【名師指津】
1．由雙曲線方程探究簡單性質(zhì)時，需先看所給方程是否為標準方程，若不是，需先把方程化為標準方程，這是依據(jù)方程求參數(shù)，a，b，c值的關(guān)鍵．
2．寫頂點坐標、焦點坐標、漸近線方程時，需先由方程確定焦點所在的坐標軸，否則易出錯，
3、需注意雙曲線方程與漸近線方程的對應(yīng)關(guān)系．
考點二 利用雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標準方程
例2求適合下列條件的雙曲線的標準方程
(1)頂點在x軸上，焦距為10，離心率是；(2)焦點在y軸上，一條漸近線為y＝x，實軸長為12；
(3)離心率e＝，且過點(－5,3)．
【名師指津】
1．求雙曲線方程，關(guān)鍵是求a，b的值，在解題過程中應(yīng)熟悉a，b，c，e等元素的幾何意義及它們之間的聯(lián)系，并注意方程思想的應(yīng)用．
2．若已知雙曲線的漸近線方程ax±by＝0，可設(shè)雙曲線方程為a2x2－b2y2＝λ.
練習1．將本例(2)中“焦點在y軸上”去掉，其他不變．
考點三雙曲線的離心率
4、
例3 (1)(全國卷Ⅰ)已知雙曲線－＝1(a＞0)的離心率為2，則a＝( )
A．2 B． C. D．1
(2)(重慶高考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，則該雙曲線的離心率為( )
A. B． C．4 D．
【名師指津】
1．解決本題的關(guān)鍵是探尋a與c的關(guān)系．
2．求雙曲線的離心率的常見方法：一是依據(jù)條件求出a，c，再計算e＝；二是依據(jù)條件提供的信息建立關(guān)于參數(shù)
5、a，b，c的等式，進而轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程，再解出e的值．
練習2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為( )
A. B． C. D．
例4求適合下列條件的雙曲線標準方程．
(1)頂點間距離為6，漸近線方程為y＝±x.
(2)經(jīng)過點M(－3,2)，且與雙曲線－＝1有共同的漸近線．
【名師指津】
求解雙曲線標準方程的難點是設(shè)雙曲線方程，常用的技巧如下：
①與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)，若λ＞0，則表示焦點
6、在x軸上的雙曲線，若λ＜0，則表示焦點在y軸上的雙曲線．
②與雙曲線－＝1(a＞0， b＞0)有相等離心率的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)．
③與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)有相同焦點的雙曲線方程可設(shè)為－＝1(－a2＜λ＜b2)．
④已知漸近線方程y＝±x，雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)，通過求λ確定雙曲線方程，而無需考慮其實、虛軸的位置．
練習3．雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則離心率為( )
A. B． C.或 D．或
思考
問題1 何為雙曲線的“虛軸”？
問題2 如何確定雙曲線的形狀？
問題3 如
7、何用幾何圖形解釋c2＝a2＋b2？a，b，c在雙曲線中分別表示哪些線段的長？
問題4 雙曲線的漸近線具有什么特點？
問題5 雙曲線的漸近線與雙曲線的標準方程有什么關(guān)系？
課堂練習
1．雙曲線－＝1的頂點坐標為( )
A．(0,2)(0，－2) B．(3,0)(－3,0) C．(0,2)(0，－2)(3,0)(－3,0) D．(0,2)(3,0)
2．如圖，雙曲線C：－＝1的左焦點為F1，雙曲線上的點P1與P2關(guān)于y軸對稱，則|P2F1|－|P1F1|的值是( ) A．3 B．6 C．4 D．8
3．(全國卷)已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F(xiàn)2，點A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos ∠AF2F1＝( )
A. B． C. D．
4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1的左、右焦點，若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，則雙曲線的離心率為________．
2022年高中數(shù)學(xué)選修2-1教案：3-3 雙曲線的簡單性質(zhì)
