《2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練31 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練31 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練31 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文
一、選擇題
1．(2018·湖南衡陽(yáng)二十六中期中)在等差數(shù)列{an}中，a3＝1，公差d＝2，則a8的值為( )
A．9 B．10
C．11 D．12
[解析] a8＝a3＋5d＝1＋5×2＝11，故選C.
[答案] C
2．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，則a5＝( )
A．11 B．10
C．7 D．3
[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則有解得所以a5＝－2＋4×3＝10.故選B.
[答案] B
3．(2018·湖北武漢調(diào)研)設(shè)Sn是
2、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S5＝3(a2＋a8)，則的值為( )
A. B.
C. D.
[解析] 因?yàn)镾5＝3(a2＋a8)，所以5a1＋10d＝3(2a1＋8d)，即a1＝－14d，所以＝＝＝.
[答案] D
4．(2017·安徽合肥二模)已知是等差數(shù)列，且a1＝1，a4＝4，則a10＝( )
A．－ B．－
C. D.
[解析] 由題意，得＝1，＝，所以等差數(shù)列的公差為d＝＝－，由此可得＝1＋(n－1)×＝－＋，因此＝－，所以a10＝－.故選A.
[答案] A
5．(2017·山西太原一模)在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3
3、(a8＋a10)＝36，則a6＝( )
A．8 B．6
C．4 D．3
[解析] 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝2×3a3＋3×2a9＝6×2a6＝36，得a6＝3，故選D.
[答案] D
6．(2018·遼寧鞍山一中期末)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若m>1，且am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，則m等于( )
A．38 B．20
C．10 D．9
[解析] 因?yàn)閍m－1＋am＋1－a＝0，所以am－1＋am＋1＝a.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得2am＝a，顯然am≠0，所以am＝2.又因?yàn)镾2m－1＝38
4、，所以S2m－1＝＝(2m－1)am.將am＝2代入可得(2m－1)×2＝38，解得m＝10.故選C.
[答案] C
二、填空題
7．(2016·江蘇卷)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________．
[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋a＝a1＋(a1＋d)2＝－3，S5＝5a1＋10d＝10.解得a1＝－4，d＝3，則a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
[答案] 20
8．(2018·廣東深圳中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a3＝7，a1＋a7＝10，Sn為其前n項(xiàng)和，則使Sn取到最大值的n等于____
5、____．
[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得故d＝a4－a3＝－2，an＝a3＋(n－3)d＝7－2(n－3)＝13－2n.令an>0，得n<6.5，所以在等差數(shù)列{an}中，其前6項(xiàng)均為正，其他各項(xiàng)均為負(fù)，于是使Sn取到最大值的n的值為6.
[答案] 6
9．(2017·遼寧師大附中期末)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且＝，則＝________.
[解析] 在等差數(shù)列中，S19＝19a10，T19＝19b10，因此＝＝＝.
[答案]
三、解答題
10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝，
6、證明：是等差數(shù)列．
[證明] ∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
又an＝－2Sn·Sn－1，
∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.
∴－＝2(n≥2)．
由等差數(shù)列的定義知是以＝＝2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．
[能力提升]
11．(2017·河南百校聯(lián)盟質(zhì)監(jiān))等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2016＝2016，且－＝2000，則a1等于( )
A．－2016 B．－2015
C．－2014 D．－2013
[解析] 解法一：因?yàn)镾n＝，所以＝.因?yàn)椋?000，所以＝＝2000，所以d＝2.又因?yàn)閍2016＝2016，所以a1＋(2
7、016－1)×2＝2016，解得a1＝－2014，故選C.
解法二：因?yàn)镾n＝na1＋d，所以＝n＋a1－，故是以a1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列．所以－＝2000×＝2000，所以d＝2.所以a2016＝a1＋(2016－1)×2＝2016，所以a1＝－2014.故選C.
解法三：由題意得
解得故選C.
[答案] C
12．(2018·黑龍江齊齊哈爾月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為( )
A．6 B．7
C．12 D．13
[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a
8、1＋(n－1)d.∵a6＋a7＝a3＋a10>0，即2a1＋11d>0，且a6a7<0，a1>0，∴a6>0，a7<0.∴d＝a7－a6<0.又∵a7＝a1＋6d<0，∴2a1＋12d<0.當(dāng)Sn＝＝>0時(shí)，2a1＋(n－1)d>0.由2a1＋11d>0,2a1＋12d<0知n－1最大為11，即n最大為12.故選C.
[答案] C
13．(2016·長(zhǎng)安一中月考)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大．
[解析] ∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.∴數(shù)列的前8項(xiàng)
9、和最大，即n＝8.
[答案] 8
14．(2017·安徽合肥一中第三次段考)已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)為正且首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若數(shù)列{}也為等差數(shù)列，則的最小值是________．
[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，
即有an＝1＋(n－1)d，Sn＝n＋n(n－1)d，
＝ ，由于數(shù)列{}也為等差數(shù)列，
可得1－d＝0，即d＝2，
即有an＝2n－1，Sn＝n2，
則＝＝≥·2·＝2，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2取得等號(hào)，
由于n為正整數(shù)，即有n＝2或3取得最小值．當(dāng)n＝2時(shí)，取得3；n＝3時(shí)，取得.故最小值為.
[答案]
15．(2017·河南南陽(yáng)期終
10、質(zhì)量評(píng)估)設(shè)f(x)＝(a>0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N*.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
[解] (1)證明：an＋1＝f(an)＝，所以＝＝＋，
即－＝，又a1＝1，所以＝1.
所以是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．
所以＝1＋(n－1)＝.
所以an＝.
(2)bn＝an·an＋1＝·
＝a2，
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則
Tn＝
a2
＝a2＝a2·＝，
即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為.
16．已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，
11、它的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝10，S6＝72，若bn＝an－30，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的最小值．
[解] ∵2an＋1＝an＋an＋2，∴an＋1－an＝an＋2－an＋1，
故數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a3＝10，S6＝72得，
解得a1＝2，d＝4.
∴an＝4n－2，則bn＝an－30＝2n－31，
令即解得≤n≤，
∵n∈N*，∴n＝15，
即數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)均為負(fù)值，∴T15最?。邤?shù)列{bn}的首項(xiàng)是－29，公差為2，
∴T15＝＝－225，
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值為－225.
[延
12、伸拓展]
已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解] (1)∵a1＝5，
∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)解法一：假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列．
設(shè)bn＝，由{bn}為等差數(shù)列，
則有2b2＝b1＋b3.
∴2×＝＋.
∴＝＋.解得λ＝－1.
事實(shí)上，bn＋1－bn＝－
＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.
綜上可知，存在實(shí)數(shù)λ＝－1，使得數(shù)列為首項(xiàng)是2，公差是1的等差數(shù)列．
解法二：假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列．
設(shè)bn＝，由{bn}為等差數(shù)列，
則有2bn＋1＝bn＋bn＋2(n∈N*)．
∴2×＝＋.
∴λ＝4an＋1－4an－an＋2
＝2(an＋1－2an)－(an＋2－2an＋1)
＝2(2n＋1－1)－(2n＋2－1)＝－1.
綜上可知，當(dāng)λ＝－1時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是2、公差是1的等差數(shù)列．
2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練31 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文
