2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課下層級(jí)訓(xùn)練45 橢圓的概念及其性質(zhì)（含解析）文 新人教A版

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1、2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課下層級(jí)訓(xùn)練45 橢圓的概念及其性質(zhì)（含解析）文 新人教A版 1．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為(　　) A．＋＝1　　　　　 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 A　[由題意及橢圓的定義知4a＝4，則a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程為＋＝1.] 2．(2018·廣東惠州調(diào)研)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件

2、 D．既不充分也不必要條件 C　[把橢圓方程化成＋＝1.若m＞n＞0，則＞＞0.所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上．反之，若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則＞＞0即有m＞n＞0.故為充要條件．] 3．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|＝3，則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為(　　) A．4　　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D．5 A　[由題意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6， ∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.] 4．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，若P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為(　　) A．2 B．3

3、C．6 D．8 C　[由題意知，O(0,0)，F(xiàn)(－1,0)，設(shè)P(x，y)，則＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2， ∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.∵－2≤x≤2， ∴當(dāng)x＝2時(shí)，·有最大值6.] 5．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，左焦點(diǎn)為F.以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)．若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為(　　) A． B． C． D． A　[∵圓O與直線BF相切，∴圓O的半徑為，即|OC|＝，

4、 ∵四邊形FAMN是平行四邊形，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入橢圓方程得＋＝1，∴5e2＋2e－3＝0，又0b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長(zhǎng)為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為__________． (－5,0)　[∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝1，∴圓心坐標(biāo)為(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上， ∴橢圓的左頂點(diǎn)為(－5,0)．] 7．已知P為橢圓＋＝1上的一點(diǎn)，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為__________． 7　[由題意

5、知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|＋|PF2|＝10，從而|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.] 8．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(3,0)和(－3,0)． (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若P為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，求△F1PF2的面積． 解　(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)， 依題意得因此a＝5，b＝4， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1． (2)易知|yP|＝4，又c＝3， 所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12． 9．已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝，求m的值及

6、橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)． 解　橢圓方程可化為＋＝1，m>0． ∵m－＝>0，∴m>， ∴a2＝m，b2＝，c＝＝ ． 由e＝，得 ＝，∴m＝1． ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝． ∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為2a＝2和2b＝1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F1，F(xiàn)2，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1(－1,0)， A2(1,0)，B1，B2． [B級(jí)　能力提升訓(xùn)練] 10．如圖，橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P點(diǎn)在橢圓上，若 |PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，則a的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　[b2＝2，c＝，故

7、|F1F2|＝2，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余弦定理得cos 120°＝＝－，化簡(jiǎn)得8a＝24，即a＝3.] 11．(2019·山東臨沂月考)過(guò)橢圓＋＝1的中心任意作一條直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則△PQF周長(zhǎng)的最小值是(　　) A．14 B．16 C．18 D．20 C　[如圖，設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F2， 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1的周長(zhǎng)為|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|O

8、P|的最小值為橢圓的短軸長(zhǎng)，即點(diǎn)P，Q為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，△PQF1即△PQF的周長(zhǎng)取得最小值為10＋2×4＝18.] 12．(2019·河北石家莊質(zhì)檢)橢圓＋y2＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若∠F1PF2為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是__________． 　[設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 則＝(x＋，y)，＝(x－，y)． ∵∠F1PF2為鈍角，∴·<0，即x2－3＋y2<0，① ∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，x2<2， ∴x2<.解得－b>0)的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于

9、另一個(gè)點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F2，若

10、y0)， ＝(2－x0，－y0)， ∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2． 當(dāng)x0＝2時(shí)，·取得最小值0， 當(dāng)x0＝－2時(shí)，·取得最大值4． 15．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)．過(guò)F，B，A三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(p，q)． (1)當(dāng)p＋q≤0時(shí)，求橢圓的離心率的取值范圍； (2)若點(diǎn)D(b＋1,0)，在(1)的條件下，當(dāng)橢圓的離心率最小時(shí)，(＋)·的最小值為，求橢圓的方程． 解　(1)設(shè)橢圓半焦距為C．由題意AF，AB的中垂線方程分別為x＝，y－＝(x－)，于是圓心坐標(biāo)為(，)． 所以p＋q＝＋≤0， 整理得ab－bc＋b2－ac≤0，即(a＋b)(b－c)≤0， 所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2． 所以e2＝≥，即≤e<1． (2)當(dāng)e＝時(shí)，a＝b＝c，此時(shí)橢圓的方程為＋＝1， 設(shè)M(x，y)，則－c≤x≤c， 所以(＋)·＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－． 當(dāng)c≥時(shí)，上式的最小值為c2－，即c2－＝，得c＝2； 當(dāng)0