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1、2022高考數學二輪復習 專題八 選考4系列選講 2.8.1 坐標系與參數方程學案 理
1．(2018·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0.
(1)求C2的直角坐標方程；
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程．
[解] (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐標方程為
(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓．
由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線．
記y軸右邊
2、的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.
由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點．
當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0，經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點．
當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝.經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝時，l2與C2沒有公共點．
綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2.
3、
2．(2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數方程為(θ為參數)，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點．
(1)求α的取值范圍；
(2)求AB中點P的軌跡的參數方程．
[解] (1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1.
當α＝時，l與⊙O交于兩點．
當α≠時，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點當且僅當<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.
綜上，α的取值范圍是.
(2)l的參數方程為
(t為參數，<α<)．
設A，B，P對應的參數分別為tA，tB，tP，則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.
又點P的坐標(x，y)滿足
所以點P的軌跡的參數方程是
(α為參數，<α<)．
1.坐標系與參數方程是高考的選考內容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程；二是參數方程、極坐標方程與曲線的綜合應用．
2．全國課標卷對此部分內容的考查以解答題形式出現，難度中等，備考此部分內容時應注意轉化思想的應用．
2022高考數學二輪復習 專題八 選考4系列選講 2.8.1 坐標系與參數方程學案 理
