2022高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 2 角的概念的推廣學(xué)案 北師大版必修4

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 2 角的概念的推廣學(xué)案 北師大版必修4 內(nèi)容要求　1.理解正角、負角、零角與象限角的概念(重點).2.掌握終邊相同的角的表示方法(難點)． 知識點1　角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點O從一個位置 OA旋轉(zhuǎn)到另一個位置OB所形成的圖形．點O是角的頂點，射線OA，OB分別是角α的始邊和終邊． (2)按照角的旋轉(zhuǎn)方向，分為如下三類： 類型 定義 正角 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負角 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 如果一條射線從起始位置OA沒有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置OB與起始位置OA重合，稱這樣的角為零角

2、【預(yù)習(xí)評價】　 (正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角是正角(√) (2)按順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角是負角(√) (3)沒有作任何旋轉(zhuǎn)就沒有角對應(yīng)(×) (4)終邊和始邊重合的角是零角(×) (5)經(jīng)過1小時時針轉(zhuǎn)過30°(×) 知識點2　象限角 如果角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限． 【預(yù)習(xí)評價】 1．銳角屬于第幾象限角？鈍角又屬于第幾象限角？ 提示　銳角屬于第一象限角，鈍角屬于第二象限角． 2．第二象限的

3、角比第一象限的角大嗎？ 提示　不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°. 知識點3　終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和． 【預(yù)習(xí)評價】　 (正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)終邊相同的角一定相等(×) (2)相等的角終邊一定相同(√) (3)終邊相同的角有無數(shù)多個(√) (4)終邊相同的角它們相差180°的整數(shù)倍(×) 題型一　角的概念的推廣 【例1】　寫出下圖中的角α，β，γ的度數(shù)．

4、 解　要正確識圖，確定好旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°. 規(guī)律方法　1.理解角的概念的三個“明確” 2．表示角時的兩個注意點 (1)字母表示時：可以用希臘字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以簡化為“α”． (2)用圖示表示角時：箭頭不可以丟掉，因為箭頭代表了旋轉(zhuǎn)的方向，也即箭頭代表著角的正負． 【訓(xùn)練1】　(1)圖中角α＝________，β＝________； (2)經(jīng)過10 min，分針轉(zhuǎn)了________． 解析　(1)α＝－(180°－30°)＝－150° β＝30°＋180°＝210°. (2)分

5、針按順時針轉(zhuǎn)過了周角的，即－60°. 答案　(1)－150°　210°　(2)－60° 題型二　終邊相同的角 【例2】　已知α＝－1 910°. (1)把α寫成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第幾象限角； (2)求θ，使θ與α的終邊相同，且－720°≤θ＜0°. 解　(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，從而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角． (2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)， 取k＝－1，－2就得到滿足－720°≤θ＜0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－47

6、0°. 所以θ為－110°，－470°. 規(guī)律方法　將任意角化為α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，關(guān)鍵是確定k.可用觀察法(α的絕對值較小時適用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法進行，負角除以360°，商是負數(shù)，且余數(shù)為正值． 【訓(xùn)練2】　寫出終邊在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合． 解　終邊在直線OM上的角的集合為M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋n·

7、180°，n∈Z}． 同理可得終邊在直線ON上的角的集合為{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}， 所以終邊在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為 {α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}． 【探究1】　在四個角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析?。?0°是第四象限角，－400°＝－360°－40°與－40°終邊相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°與160°終邊相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°與160°終邊相同，是第二象限角，

8、故第四象限角有2個． 答案　C 【探究2】　寫出終邊落在第一象限和第二象限內(nèi)的角的集合． 解　根據(jù)終邊相同的角一定是同一象限的角，又可以先寫出第一象限銳角范圍和第二象限鈍角的范圍，再加上360°的整數(shù)倍即可． 所以表示為： 第一象限角的集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，0°＜α＜90°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}． 第二象限角的集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，90°＜α＜180°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}． 【探究3】　已知α為第二象限角，那么2α，分別是第幾象限角？

9、解　∵α是第二象限角， ∴90＋k×360°＜α＜180°＋k×360°， 180°＋2k×360°＜2α＜360°＋2k×360°，k∈Z. ∴2α是第三或第四象限角，或是終邊落在y軸的非正半軸上的角． 同理45°＋×360°＜＜90°＋×360°，k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)時，不妨令k＝2n，n∈Z，則45°＋n×360°＜＜90°＋n×360°，此時，為第一象限角； 當(dāng)k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1，n∈Z，則225°＋n×360°＜＜270°＋n×360°，此時，為第三象限角． ∴為第一或第三象限角． 【探究4】　已知α為第一象限角，求180°－是第幾象限角． 解　∵α為第一象

10、限角， ∴k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z， ∴k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z， ∴－45°－k·180°＜－＜－k·180°，k∈Z， ∴135°－k·180°＜180°－＜180°－k·180°，k∈Z. 當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，135°－n·360°＜180°－＜180°－n·360°，為第二象限角； 當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，－45°－n·360°＜180°－＜－n·360°，為第四象限角． ∴180°－是第二或第四象限角． 規(guī)律方法　1.象限角的判定方法 (1)根據(jù)圖像判定．利用圖像實際操作時，依據(jù)是終邊相同的角的概念，因為0°～360

11、°之間的角與坐標(biāo)系中的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系． (2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的． 2．α，2α，等角的終邊位置的確定方法 不等式法： (1)利用象限角的概念或已知條件，寫出角α的范圍． (2)利用不等式的性質(zhì)，求出2α，等角的范圍． (3)利用“旋轉(zhuǎn)”的觀點，確定角終邊的位置．例如，如果得到k×120°＜＜k×120°＋30°，k∈Z，可畫出0°＜＜30°所表示的區(qū)域，再將此區(qū)域依次逆時針或順時針轉(zhuǎn)動120°(如圖所示)． 易錯警示　由α的范圍確定2α的范圍時易忽視終邊在坐標(biāo)軸上的情況. 課堂達標(biāo)

12、1．－361°的終邊落在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因為－361°的終邊和－1°的終邊相同，所以它的終邊落在第四象限，故選D. 答案　D 2．設(shè)A＝{θ|θ為銳角}，B＝{θ|θ為小于90°的角}，C＝{θ|θ為第一象限的角}，D＝{θ|θ為小于90°的正角}，則下列等式中成立的是(　　) A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D 解析　直接根據(jù)角的分類進行求解，容易得到答案． 答案　D 3．將－885°化為α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________． 答案　195°＋(－3)×

13、360° 4．與－1 692°終邊相同的最大負角是________． 解析　∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴與108°終邊相同的最大負角為－252°. 答案?。?52° 5.如圖所示，寫出終邊落在陰影部分的角的集合． 解　設(shè)終邊落在陰影部分的角為α，角α的集合由兩部分組成． ①{α|k·360°＋30°≤α

14、k·360°＋285°，k∈Z} ＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z} ∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|n·180°＋30°≤α

15、域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示為{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示為{α|－270°＋k×360°＜α＜ －180°＋k×360°，k∈Z}. 基礎(chǔ)過關(guān) 1．下列各組角中，終邊相同的是(　　) A．495°和－495° B．1 350°和90° C．－220°和140° D．540°和－810° 解析?。?20°＝－360°＋140°，∴－220°與140°終邊相同． 答案　C 2．設(shè)A＝{小于90°的角}，B＝{銳角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有(　　) A．BCA

16、B．BAC C．D(A∩C) D．C∩D＝B 解析　銳角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范圍，如下表所示. 角 集合表示 銳角 B＝{α|0°<α<90°} 0°～90°的角 D＝{α|0°≤α<90°} 小于90°的角 A＝{α|α<90°} 第一象限角 C＝{α|k·360°<α

17、4．已知角α＝－3 000°，則與角α終邊相同的最小正角是______． 解析　∵－3 000°＝－9×360°＋240°， ∴與－3 000°角終邊相同的最小正角為240°. 答案　240° 5．在－180°～360°范圍內(nèi)，與2 000°角終邊相同的角是______． 解析　因為2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范圍內(nèi)與2 000°角終邊相同的角有－160°，200°兩個． 答案?。?60°，200° 6．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角． (1)－150°；(2

18、)650°；(3)－950°15′. 解　(1)因為－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－150°角終邊相同的角是210°角，它是第三象限角． (2)因為650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與650°角終邊相同的角是290°角，它是第四象限角． (3)因為－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與 －950°15′角終邊相同的角是129°45′角，它是第二象限角． 7．寫出與25°角終邊相同的角的集合，并求出該集合中滿足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β. 解　與25°角終邊相同的角的集

19、合為S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}． 令k＝－3，則有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合條件； 令k＝－2，則有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合條件； 令k＝－1，則有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合條件． 故符合條件的角有－1 055°，－695°. 能力提升 8．以下命題正確的是(　　) A．第二象限角比第一象限角大 B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，則AB C．若k·360°<α

20、360°(k∈Z) 解析　A不正確，如－210°<30°. 在B中，當(dāng)k＝2n，k∈Z時，β＝n·180°，n∈Z. ∴AB，∴B正確． 又C中，α為第一或第二象限角或在y軸的非負半軸上， ∴C不正確．顯然D不正確． 答案　B 9．集合M＝，P＝，則M、P之間的關(guān)系為(　　) A．M＝P B．MP C．MP D．M∩P＝? 解析　對集合M來說，x＝(2k±1)·45°，即45°的奇數(shù)倍；對集合P來說，x＝(k±2)·45°，即45°的倍數(shù)． 答案　B 10．已知角α、β的終邊相同，那么α－β的終邊在________． 解析　∵α、β終邊相同， ∴α＝k·360

21、°＋β(k∈Z)． ∴α－β＝k·360°，故α－β終邊會落在x軸非負半軸上． 答案　x軸的非負半軸上 11．若α為第一象限角，則k·180°＋α(k∈Z)的終邊所在的象限是第________象限． 解析　∵α是第一象限角，∴k為偶數(shù)時，k·180°＋α終邊在第一象限；k為奇數(shù)時，k·180°＋α終邊在第三象限． 答案　一或三 12．求終邊在直線y＝x上的角的集合S. 解　因為直線y＝x是第一、三象限的角平分線，在0°～360°之間所對應(yīng)的兩個角分別是45°和225°，所以S＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝2k·1

22、80°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}． 13．(選做題)已知角α、β的終邊有下列關(guān)系，分別求α、β間的關(guān)系式： (1)α、β的終邊關(guān)于原點對稱； (2)α、β的終邊關(guān)于y軸對稱． 解　(1)由于α、β的終邊互為反向延長線，故α、β相差180°的奇數(shù)倍(如圖1)，于是α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z)． (2)在0°～360°內(nèi)，設(shè)α的終邊所表示的角為90°－θ，由于α、β關(guān)于y軸對稱(如圖2)，則β的終邊所表示的角為90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k1·360°(k1∈Z)，β＝90°＋θ＋k2·360°(k2∈Z)． 兩式相加得α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．