2018-2019學年高中數學 第三章 數學歸納法與貝努利不等式 3.2 用數學歸納法證明不等式貝努利不等式導學案 新人教B版選修4-5

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1、3.2 用數學歸納法證明不等式,貝努利不等式 3.2.1 用數學歸納法證明不等式 3.2.2 用數學歸納法證明貝努利不等式 1.會用數學歸納法證明與正整數有關的不等式,特別是絕對值不等式、平均值不等式和柯西不等式. 2.了解貝努利不等式,學會貝努利不等式的簡單應用. 3.會用數學歸納法證明貝努利不等式. 自學導引 1.貝努利不等式:設x>-1,且x≠0,n為大于1的自然數,則(1+x)n>1+nx. 2.設α為有理數,x>-1,如果0<α<1,則(1+x)α≤1+αx;如果α<0或者α>1,則(1+x)α≥1+αx,當且僅當x=0時等號成立. 基礎自測 1.若不等式

2、+++…+<對于一切n∈N*恒成立,則自然數m的最小值為(  ) A.8 B.9 C.10 D.12 解析 顯然n=1時,左邊最大為<, ∴m的最小值為8,選A. 答案 A 2.關于正整數n的不等式2n>n2成立的條件是(  ) A.n∈N+ B.n≥4 C.n>4 D.n=1或n>4 解析 n=4,24=42=16,n=1時,2>1, n=5,25=32,52=25, ∴當n>4時,2n>n2成立,故選D. 答案 D 3.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=++,則T與0的關系是________. 解析 ∵a+b+c=0, ∴(a+b+c

3、)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0, 即2ab+2bc+2ac=-(a2+b2+c2)<0, ∵abc>0,上述不等式兩邊同時除以2abc, 得T=++<0. 答案 T<0 知識點1 用數學歸納法證明絕對值不等式 【例1】 設x1,x2,…,xn為實數,證明:|x1+x2+…+xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn|. 證明 (1)∵|x1+x2|≤|x1|+|x2|, ∴n=2時命題成立. (2)設命題n=k (k≥2)時成立,即 |x1+x2+…+xk|≤|x1|+|x2|+…+|xk|, 于是,當n=k+1時, |x1+x2+…+xk+1|=|

4、(x1+x2+…+xk)+xk+1| ≤|x1+x2+…+xk|+|xk+1| ≤|x1|+|x2|+…+|xk|+|xk+1|. 即當n=k+1時,命題也成立. 由(1)(2)知,對于任意n∈N*命題都成立. 1.證明不等式|sin nθ|≤n|sin θ| (n∈N+). 證明 (1)當n=1時,上式左邊=|sin θ|=右邊,不等式成立. (2)假設當n=k (k≥1)時,命題成立,即有|sin kθ|≤k|sin θ|. 當n=k+1時,|sin(k+1)θ|=|sin(kθ+θ)| =|sin kθcos θ+cos kθ·sin θ| ≤|sin kθcos

5、 θ|+|cos kθ·sin θ| ≤|sin kθ|+|sin θ| ≤k|sin θ|+|sin θ|=(k+1)|sin θ|. 即當n=k+1時不等式成立. 由(1)(2)可知,不等式對一切正整數n均成立. 知識點2 用數學歸納法證明平均值不等式 【例2】 設a1,a2,…,an為n個正數,則≥,當且僅當a1=a2=…=an時等號成立. 證明 不妨設an≥an-1≥…≥a1>0, 若a1=an,則a1=a2=…=an, 此時原不等式中等號成立. 設an>a1 (n≥2). (1)n=2時,由基本不等式>, 所以命題對n=2成立. (2)設n=k時,不等式成

6、立, 即≥. 記Ak=,所以有:(Ak)k≥a1a2…ak. 當n=k+1時, 因為ak+1>a1,ak+1≥a2,ak+1≥a3,…,ak+1≥ak, 所以ak+1-Ak= =>0, 則有ak+1>Ak. 根據二項式定理及歸納假設得: = = =(Ak)k+1+(k+1)(Ak)k+…+ >(Ak)k+1+(Ak)k(ak+1-Ak) =(Ak)k+1+(Ak)kak+1-(Ak)k+1 =(Ak)kak+1≥a1a2…akak+1. 即>. 由(1)(2)知,對任意的n∈N*命題都成立. ●反思感悟:用數學歸納法證明不等式的第二步,設n=k時命題成立,證n

7、=k+1時命題也成立時,往往要通過放縮法來實現n=k+1時命題所需要的形式. 2.證明:如果n(n為正整數)個正數a1,a2,…,an的乘積a1a2…an=1,那么它們的和a1+a2+…+an≥n. 證明 (1)當n=1時,a1=1,命題成立. (2)假設當n=k時,命題成立. 即若k個正數的乘積a1a2…ak=1, 則a1+a2+…+ak≥k. 當n=k+1時,已知k+1個正數a1,a2,…,ak,ak+1滿足條件a1a2…ak+1=1. 若這k+1個正數a1,a2,…,ak,ak+1都相等,則它們都是1,其和為k+1,命題得證. 若這k+1個正數a1,a2,…,ak,a

8、k+1不全相等,則其中必有大于1的數也有小于1的數(否則與a1a2…ak+1=1矛盾).不妨設a1>1,a2<1. 為利用歸納假設,我們把乘積a1a2看作一個數,這樣就得到k個正數a1a2,a3,…,ak,ak+1的乘積是1,由歸納假設可以得到 a1a2+a3+…+ak+ak+1≥k ∴a3+a4+…+ak+ak+1≥k-a1a2 ∴a1+a2+…+ak+ak+1-(k+1) ≥a1+a2+k-a1a2-k-1 =a1+a2-a1a2-1=-(a1-1)(a2-1) ∵a1>1,a2<1,∴-(a1-1)(a2-1)>0 ∴a1+a2+…+ak+ak+1-k-1>0, 即a1

9、+a2+…+ak+ak+1>k+1, ∴當n=k+1時命題成立 由(1)(2)可知,對一切正整數n,如果n個正數a1,a2,…,an的乘積a1a2…an=1,那么它們的和a1+a2+…+an≥n成立. 知識點3 用數學歸納法證明柯西不等式 【例3】 證明:|a1b1+a2b2+…+anbn|≤ ·.  證明 (1)當n=2時, 因為|a1b1+a2b2|2-(a+a)(b+b) =(a1b1+a2b2)2-(a+a)(b+b) =ab+2a1b1a2b2+ab-(ab+ab+ab+ab) =-(ab-2a1b1a2b2+ab) =-(a1b2-a2b1)2≤0. 所以|a

10、1b1+a2b2|2≤(a+a)(b+b). 即|a1b1+a2b2|≤·. 也即n=2時,柯西不等式成立. (2)設n=k (k≥2)時, |a1b1+a2b2+…+akbk| ≤·. 則當n=k+1時,由三角不等式及歸納假設, 得:|a1b1+a2b2+…+ak+1bk+1| ≤|a1b1+a2b2+…+akbk|+|ak+1bk+1| ≤·+|ak+1bk+1| ≤· =·. 由(1)(2)知柯西不等式得證. ●反思感悟:用數學歸納法證明不等式,難點不在于數學歸納法的原理,而在于如何變形.放縮以便于用上假設,再經過變形運算使命題得證. 3.已知a,b為

11、正數,求證:當n為正整數時,≥. 證明 (1)當n=1時,=,命題成立. (2)設n=k (k≥1)時,命題成立, 即≥, 當n=k+1時,=· ≤·,要證≤, 只須證·≤即可, 由- = == =≥0. ∴·≤. 即n=k+1時,命題成立. 由(1),(2)可知,對任意的n∈N*命題都成立. 知識點4 用數學歸納法證明貝努利不等式 【例4】 設x>-1,且x≠0,n為大于1的自然數, 則(1+x)n>1+nx. 證明 (1)當n=2時,由x≠0,知 (1+x)2=1+2x+x2>1+2x, 因此n=2時命題成立. (2)假設n=k(k≥2為正整數)時命

12、題成立, 即(1+x)k>1+kx,則當n=k+1時, (1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x) =1+x+kx+kx2 >1+(k+1)x. 即n=k+1時,命題也成立. 由(1),(2)及數學歸納法知原命題成立. ●反思感悟:(1)在證明過程中適當放縮或采用多種方法去嘗試. (2)要注意記憶這種形式. 4.設x>-1,x≠0,證明:>1-,對一切不小于2的正整數n都成立. 證明 ∵x>-1, (1)當x>0時,0<<1,-1<-<0. (2)當-1|x|, ∵<0,∴->-x>0>-1, 因此,當x>-1

13、,x≠0時,->-1,且-≠0, 由貝努利不等式得:= >1+n=1-. 課堂小結 數學歸納法能證明與正整數n有關的不等式,但并不是所有與正整數n有關的不等式都能用數學歸納法證明.證明不等式的難點在于對命題的變形.在推證n=k+1命題成立時,往往利用放縮法通過增加一些項(或舍去一些項)或利用二項式定理后舍去一些項達到滿足n=k+1時所需要的形式.有時也會利用比較法證明n=k+1時命題成立. 隨堂演練 1.若an=+++…+ (n∈N*),求證:

14、1)時,+ >+(k+1)=, 又ak+1=ak+ <+ =+ <+ =, ∴對n=k+1,< ak+1<成立. 由(1),(2)知,對一切自然數n∈N*不等式恒成立. 2.設n為大于1的正整數,求證: …>. 證明 (1)當n=2時,左邊== = , 右邊== = , 所以左邊>右邊,故命題對n=2成立. (2)設命題對n=k (k≥2)成立,也就是: …>. 當n=k+1時, … >·= >==. ∴當n=k+1時,命題也成立. 由(1)、(2)知命題對任何不小于2的正整數n都成立. 基

15、礎達標 1.利用數學歸納法證明不等式“n2<2n對于n≥n0的正整數n都成立”時,n0應取值為(  ) A.1 B.3 C.5 D.7 答案 C 2.用數學歸納法證明不等式1+++…+>成立時,起始值n0至少應取(  ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析 1+++++…+=, n-1=6,n=7,故n0=8. 答案 B 3.已知x∈R+,不等式x+≥2,x+≥3,…,可推廣為x+≥n+1,則a的值為(  ) A.2n B.n2 C.22(n-1) D.nn 答案 D 4.用數學歸納法證明:1+++…+1),第一步要證明的不等

16、式是____________________. 答案 n=2時,左邊=1++=<2=右邊 5.用數學歸納法證明:2n+1≥n2+n+2 (n∈N*)時,第一步應驗證________________________. 答案 n=1時,22≥12+1+2,即4=4 6.用數學歸納法證明:+++…+>1 (n>1,n∈N*). 證明 (1)當n=2時,++==>1, 即n=2時命題成立. (2)設n=k (k≥2)時,命題成立, 即+++…+>1, 當n=k+1時, 左邊=+…++ >1+(2k+1)·-=1+. ∵k>2,令f(k)=k2-k-1,對稱軸為k=, ∴(2

17、,+∞)為t的增區(qū)間, ∴f(k)>f(2),即k2-k-1>22-2-1=1, ∴>0,∴n=k+1時,命題也成立. 由(1)(2)知,當n>1時,n∈N*命題都成立. 綜合提高 7.用數學歸納法證明不等式++…+>(n≥2)的過程中,由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊(  ) A.增加了 B.增加了+ C.增加了+但減少了 D.以上各種情況均不對 解析 由n=k到n=k+1,左邊多了+,但卻少了.故選C. 答案 C 8.用數學歸納法證明“1+++…+1)”時,由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時,左邊應增加的項數是(  ) A.2k

18、-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1 解析 由n=k到n=k+1,應增加的項數為(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k項.故選C. 答案 C 9.用數學歸納法證明“對于任意x>0和正整數n,都有xn+xn-2+xn-4+…+++”時,需驗證的使命題成立的最小正整數值n應為________. 答案 1 10.用數學歸納法證明“Sn=+++…+>1(n∈N+)”時,S1等于________. 答案?。? 11.用數學歸納法證明: ++…+< (n∈N*). 證明 (1)當n=1時,左邊=<1=右邊,不等式成立. 當n=2時,左邊=+=,右邊=. 由+1<2

19、,得<, 即n=2時,不等式也成立. (2)假設n=k (k≥2)時,不等式成立, 即++…+<. 當n=k+1時,兩邊同加,得 ++…+ <+ 只須證+<即可. 由于-> ?> ?>+ ?(-1)>. 由于k≥2,上式顯然成立. 即n=k+1時,不等式成立. 由(1)、(2)知,不等式對n∈N*都成立. 12.已知等差數列{an},等比數列{bn},若a1=b1,a2=b2,a1≠a2,且對所有的自然數n恒有an>0,求證:當n>2時,an0,故{an}是遞增數列, {an}公差d=a2-a1,{bn}公比q==. 當n>2時,an0. 故原不等式成立. (2)假設n=k (k≥3)時,不等式成立,即akak-ak-(a2-a1) =>0.即bk+1>ak+1. 即n=k+1時,命題也成立, 由(1)(2)可知,當n>2時,an

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