2022高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復數(shù)、推理與證明、不等式 第三講 不等式學案 理

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1、2022高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復數(shù)、推理與證明、不等式 第三講 不等式學案 理 求解不等式的方法 (1)對于一元二次不等式，應先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集． (2)解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是把它們等價轉化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解． (3)解決含參數(shù)不等式的難點在于對參數(shù)的恰當分類，關鍵是找到對參數(shù)進行討論的原因，確定好分類標準，有理有據(jù)、層次清楚地求解． [對點訓練] 1．(2018

2、·湖南衡陽一模)若a，b，c為實數(shù)，且a D．a2>ab>b2 [解析]　∵c為實數(shù)，∴取c＝0，得ac2＝0，bc2＝0，此時ac2＝bc2，故選項A不正確；－＝，∵a0，ab>0，∴>0，即>，故選項B不正確；∵a0，∴a2>ab，又∵ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，故選項D正確，故選D． [答案]　D 2．(2018·福建六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝若f(

3、2－x2)>f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－1,2) D．(－2,1) [解析]　易知f(x)在R上是增函數(shù)，∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x，解得－20的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) [解析]　關于x的不等式

4、ax－b<0即ax0可化為 (x＋1)(x－3)<0，解得－11時不等式x＋≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，3] B．[3，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞) [解析]　∵x>1，∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當且僅當x－1＝，即x＝2時等號成立，所以最小值為3，∴a≤3，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，3]．故選A． [答案]　A [快速審題]　(1)看到有

5、關不等式的命題或結論的判定，想到不等式的性質． (2)看到解不等式，想到求解不等式的方法步驟． (1)求解一元二次不等式的3步：第一步，二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步，解對應的一元二次方程；第三步，若有兩個不相等的實根，則利用“大于在兩邊，小于夾中間”得不等式的解集． (2)解一元二次不等式恒成立問題的3種方法：①圖象法；②分離參數(shù)法；③更換主元法． 考點二　基本不等式的應用 1．基本不等式：≥ (1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號． (3)應用：兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積

6、有最大值． 2．幾個重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．當且僅當a＝b時取等號． (2)ab≤2(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號． (3)≥2(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號． (4)＋≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號． [對點訓練] 1．下列結論中正確的是(　　) A．lgx＋的最小值為2 B．＋的最小值為2 C．的最小值為4 D．當00，＋≥2＝2，當且僅當＝，即x＝1時取等號；對于C，當且僅當sin2x＝，即sinx＝2時取等號

7、，但sinx的最大值為1；對于D，x－在(0,2]上為增函數(shù)，因此有最大值．故選B． [答案]　B 2．(2018·吉林長春二模)已知x>0，y>0，且x＋y＝2xy，則x＋4y的最小值為(　　) A．4 B． C． D．5 [解析]　由x＋y＝2xy得＋＝2.由x>0，y>0，x＋4y＝(x＋4y)＝≥(5＋4)＝，當且僅當＝時等號成立，即x＋4y的最小值為.故選C． [答案]　C 3．(2018·海淀期末)已知正實數(shù)a，b滿足a＋b＝4，則＋的最小值為________． [解析]　∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝≥(2＋2)

8、＝，當且僅當a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1時取等號，∴＋的最小值為. [答案]　 4．(2018·河南洛陽一模)若實數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為________． [解析]　依題意知a>0，b>0，則＋≥2＝，當且僅當＝，即b＝2a時，“＝”成立．因為＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值為2. [答案]　2 [快速審題]　看到最值問題，想到“積定和最小”，“和定積最大”． 　利用基本不等式求函數(shù)最值的3個關注點 (1)形式：一般地，分子、分母有一個一次、一個二次的分式結構的函數(shù)以及含有兩個變量的函數(shù)，特別適合用基本不等式求最值． (2)條件：利用基本不

9、等式求最值需滿足“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤． (3)方法：使用基本不等式時，一般通過“拆、拼、湊”的技巧把求最值的函數(shù)或代數(shù)式化為ax＋(ab>0)的形式，常用的方法是變量分離法和配湊法． 考點三　線性規(guī)劃問題 1．線性目標函數(shù)z＝ax＋by最值的確定方法 把線性目標函數(shù)z＝ax＋by化為y＝－x＋，可知是直線ax＋by＝z在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號確定目標函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值． 2．常見的目標函數(shù)類型 (1)截距型：形如z＝ax＋by，可以轉化為y＝－

10、x＋，利用直線在y軸上的截距大小確定目標函數(shù)的最值； (2)斜率型：形如z＝，表示區(qū)域內的動點(x，y)與定點(a，b)連線的斜率； (3)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示區(qū)域內的動點(x，y)與定點(a，b)的距離的平方；形如z＝|Ax＋By＋C|，表示區(qū)域內的動點(x，y)到直線Ax＋By＋C＝0的距離的倍． [對點訓練] 1．(2018·天津卷)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為(　　) A．6 B．19 C．21 D．45 [解析]　由變量x，y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示)． 作出初始直線l0：3x

11、＋5y＝0，平移直線l0，當直線經(jīng)過點A(2,3)時，z取最大值，即zmax＝3×2＋5×3＝21，故選C． [答案]　C 2．(2018·廣東肇慶二模)已知實數(shù)x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為3，則實數(shù)b＝(　　) A． B． C．1 D． [解析]　作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． 由z＝2x＋y得y＝－2x＋z， 平移初始直線y＝－2x， 由圖可知當直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A時，直線y＝－2x＋z的縱截距最小，此時z最小，為3， 即2x＋y＝3. 由解得即A， 又點A也在直線y＝－x＋b上，即＝－＋b，∴b＝.故選A． [

12、答案]　A 3．(2018·江西九江二模)實數(shù)x，y滿足線性約束條件若z＝的最大值為1，則z的最小值為(　　) A．－ B．－ C． D．－ [解析]　作出可行域如圖中陰影部分所示，目標函數(shù)z＝的幾何意義是可行域內的點(x，y)與點A(－3,1)兩點連線的斜率，當取點B(a,2a＋2)時，z取得最大值1，故＝1，解得a＝2，則C(2,0)．當取點C(2,0)時，z取得最小值，即zmin＝＝－.故選D． [答案]　D 4．設x，y滿足約束條件則z＝(x＋1)2＋y2的取值范圍是________． [解析]　 由解得即C. (x＋1)2＋y2的幾何意義是區(qū)域內

13、的點(x，y)與定點(－1，0)間距離的平方． 由圖可知，點(－1,0)到直線AB：2x＋y＋1＝0的距離最小，為＝，故zmin＝；點(－1,0)到點C的距離最大，故zmax＝2＋2＝.所以z＝(x＋1)2＋y2的取值范圍是. [答案]　 [快速審題]　(1)看到最優(yōu)解求參數(shù)，想到由最值列方程(組)求解． (2)看到最優(yōu)解的個數(shù)不唯一，想到直線平行；看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝，想到其幾何意義． (3)看到最優(yōu)解型的實際應用題，想到線性規(guī)劃問題，想到確定實際意義． 　求目標函數(shù)的最值問題的3步驟 (1)畫域，根據(jù)線性約束條件，畫出可行域； (2)

14、轉化，把所求目標函數(shù)進行轉化，如截距型，即線性目標函數(shù)轉化為斜截式；如斜率型，即根據(jù)兩點連線的斜率公式，轉化為可行域內的點與某個定點連線的斜率；平方型，即根據(jù)兩點間距離公式，轉化為可行域內的點與某個定點的距離； (3)求值，結合圖形，利用函數(shù)的性質，確定最優(yōu)解，求得目標函數(shù)的最值． 1．(2016·全國卷Ⅰ)設集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝(　　) A． B． C． D． [解析]　∵x2－4x＋3<0?(x－1)(x－3)<0?10?x>，∴B＝， ∴A∩B＝＝.故選D．

15、 [答案]　D 2．(2018·北京卷)設集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，則(　　) A．對任意實數(shù)a，(2,1)∈A B．對任意實數(shù)a，(2,1)?A C．當且僅當a<0時，(2,1)?A D．當且僅當a≤時，(2,1)?A [解析]　若(2,1)∈A，則有解得a>.結合四個選項，只有D說法正確．故選D． [答案]　D 3．(2018·全國卷Ⅲ)設a＝log0.20.3，b＝log20.3，則(　　) A．a＋b

16、3>log0.21＝0，b＝log20.3ab， ∴ab

17、則z＝3x＋2y的最大值為________． [解析]　由x，y所滿足的約束條件畫出對應的可行域(如圖中陰影部分所示)． 作出初始直線l0：3x＋2y＝0，平移直線l0，當經(jīng)過點A(2,0)時，z取最大值，即zmax＝3×2＝6. [答案]　6 5．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________． [解析]　由已知，得2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝，當且僅當2a＝2－3b時等號成立， 由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1， 故當a＝－3，b＝1時，2a＋取得最小值. [答案]　 1.不等式作為高考

18、命題熱點內容之一，多年來命題較穩(wěn)定，多以選擇、填空題的形式進行考查，題目多出現(xiàn)在第5～9或第13～15題的位置上，難度中等，直接考查時主要是簡單的線性規(guī)劃問題，關于不等式性質的應用、不等式的解法以及基本不等式的應用，主要體現(xiàn)在其工具作用上． 2．若不等式與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列等其他知識交匯綜合命題，難度較大． 熱點課題3　求解不等式中參數(shù)范圍問題 [感悟體驗] 1．(2018·合肥模擬)在區(qū)間(1,2)上不等式x2＋mx＋4>0有解，則m的取值范圍為(　　) A．m>－4 B．m<－4 C．m>－5 D．m<－5 [解析]　記f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式

19、x2＋mx＋4>0在區(qū)間(1,2)上有解，需滿足f(1)>0或f(2)>0，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.故選C． [答案]　C 2．(2018·海淀模擬)當0

20、a0，ab>0，故－＝>0，即>，故A項錯誤；由a0，故ab>b2，故B項錯誤；由a0，即a2>ab，故－ab>－a2，故C項錯誤；由a0，故－－＝<0，即－<－成立．故D項正確． 解法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，則＝－>－1＝，ab＝2>1＝b2，－ab＝－2>－4＝－a2，－＝<1＝－.故A，B，C項錯誤，D正確． [答案

21、]　D 2．已知a∈R，不等式≥1的解集為p，且－2?p，則a的取值范圍為(　　) A．(－3，＋∞) B．(－3,2) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞) [解析]　∵－2?p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3. [答案]　D 3．(2018·大連一模)設函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是(　　) A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) [解析]　由題意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)＝3，即f(x)>3，

22、如果x<0，則x＋6>3，可得－33，可得x>3或0≤x<1. 綜上，不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞)． 故選A． [答案]　A 4．(2018·長春第二次質檢)若關于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，則關于x的不等式>0的解集為(　　) A．(－2,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2) C．(－∞，－2)∪(0,1) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) [解析]　關于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，∴a<0，＝－2，∴b＝－2a，∴＝.∵a<0，∴<0，解得x<0或1

23、 [答案]　B 5．(2018·河南平頂山一模)若對任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．a≥ B．a> C．a< D．a≤ [解析]　因為對任意x>0，≤a恒成立， 所以對x∈(0，＋∞)，a≥max， 而對x∈(0，＋∞)，＝≤＝， 當且僅當x＝時等號成立，∴a≥. [答案]　A 6．(2018·江西師大附中摸底)若關于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域，則其表示的區(qū)域面積為(　　) A．或 B．或 C．1或 D．1或 [解析]　由不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域，得k＝0或1，當k＝0時，表示區(qū)域的面積為

24、；當k＝1時，表示區(qū)域的面積為，故選A． [答案]　A 7．(2018·昆明質檢)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝2x＋5y的最小值為(　　) A．－4 B．6 C．10 D．17 [解析]　解法一(圖解法)：已知約束條件所表示的平面區(qū)域為下圖中的陰影部分(包含邊界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，可知當直線y＝－x＋過點B(3,0)時，z取得最小值2×3＋5×0＝6. 解法二(界點定值法)：由題意知，約束條件所表示的平面區(qū)域的頂點分別為A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．將A，B，C三點的坐標分別代入z＝2x＋5

25、y，得z＝10,6,17，故z的最小值為6. [答案]　B 8．(2018·合肥一模)在關于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2個整數(shù)，則a的取值范圍是(　　) A．(－3,5) B．(－2,4) C．[－3,5] D．[－2,4] [解析]　關于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化為(x－1)(x－a)<0.當a＝1時，不等式的解集為?；當a>1時，不等式的解集為1

26、取值范圍是(　　) A． B． C．[2,4] D．(2,4] [解析]　作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分(不包括邊界OB)所示，其中A(1,2)，B(0,2)． z＝＝＝，則z的幾何意義是可行域內的點P(x，y)與點M所連直線的斜率． 可知kMA＝＝，kMB＝＝4，結合圖形可得≤z<4. 故z＝的取值范圍是. [答案]　B 10．(2018·四川資陽診斷)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，則a＋2b的最小值為(　　) A．5＋2 B．8 C．5 D．9 [解析]　解法一：∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝>0，解得b>2. 則a

27、＋2b＝＋2b＝1＋＋2(b－2)＋4≥5＋2＝9，當且僅當b＝3，a＝3時等號成立，其最小值為9. 解法二：∵a>0，b>0，∴ab>0. ∵2a＋b＝ab，∴＋＝1， ∴(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2 ＝5＋4＝9. 當且僅當＝時，等號成立，又2a＋b＝ab，即a＝3，b＝3時等號成立，其最小值為9. [答案]　D 11．(2018·湖南湘東五校聯(lián)考)已知實數(shù)x，y滿足且z＝x＋y的最大值為6，則(x＋5)2＋y2的最小值為(　　) A．5 B．3 C． D． [解析]　如圖，作出不等式組對應的平面區(qū)域， 由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直線y＝－x，由圖

28、可知當直線y＝－x＋z經(jīng)過點A時，直線y＝－x＋z在y軸上的截距最大，此時z最大，為6，即x＋y＝6.由得A(3,3)， ∵直線y＝k過點A，∴k＝3. (x＋5)2＋y2的幾何意義是可行域內的點(x，y)與D(－5,0)的距離的平方，由可行域可知，[(x＋5)2＋y2]min等于D(－5,0)到直線x＋2y＝0的距離的平方． 則(x＋5)2＋y2的最小值為2＝5.故選A． [答案]　A 12．(2018·廣東清遠一中一模)若正數(shù)a，b滿足：＋＝1，則＋的最小值為(　　) A．16 B．9 C．6 D．1 [解析]　∵正數(shù)a，b滿足＋＝1，∴a＋b＝ab，＝1－

29、>0，＝1－>0，∴b>1，a>1，則＋≥2＝2＝6，∴＋的最小值為6，故選C． [答案]　C 二、填空題 13．已知集合，則M∩N＝________. [解析]　不等式<0等價于(x－2)(x－3)<0， 解得2

30、值，最大值為9. [答案]　9 15．(2018·安徽合肥一模)某企業(yè)生產甲、乙兩種產品，銷售利潤分別為2千元/件、1千元/件．甲、乙兩種產品都需要在A、B兩種設備上加工，生產一件甲產品需用A設備2小時，B設備6小時；生產一件乙產品需用A設備3小時，B設備1小時．A，B兩種設備每月可使用時間數(shù)分別為480小時、960小時，若生產的產品都能及時售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為________千元． [解析]　設生產甲產品x件，生產乙產品y件，利潤為z千元，則z＝2x＋y，作出表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線2x＋y＝0，平移該直線，當直線z＝2x＋y經(jīng)過直線2x＋3y＝480與直線6x＋y＝960的交點(150,60)(滿足x∈N，y∈N)時，z取得最大值，為360. [答案]　360 16．(2018·鄭州高三檢測)若正數(shù)x，y滿足x2＋3xy－1＝0，則x＋y的最小值是________． [解析]　對于x2＋3xy－1＝0可得y＝，∴x＋y＝＋≥2＝(當且僅當x＝時，等號成立)，故x＋y的最小值是. [答案]