2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1 周期現(xiàn)象 2 角的概念的推廣學(xué)案 北師大版必修4

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1 周期現(xiàn)象 2 角的概念的推廣學(xué)案 北師大版必修4 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解現(xiàn)實生活中的周期現(xiàn)象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握終邊相同的角的含義及其表示. 知識點一　周期現(xiàn)象 思考　“鐘表上的時針每經(jīng)過12小時運行一周，分針每經(jīng)過1小時運行一周，秒針每經(jīng)過1分鐘運行一周.”這樣的現(xiàn)象，具有怎樣的屬性？ 答案　周而復(fù)始，重復(fù)出現(xiàn). 梳理　(1)以相同間隔重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象叫作周期現(xiàn)象. (2)要判斷一種現(xiàn)象是否為周期現(xiàn)象，關(guān)鍵是看每隔一段時間這種現(xiàn)象是否會重復(fù)出現(xiàn)，若出現(xiàn)，則為周期現(xiàn)象；否則，不是周期現(xiàn)象. 知識點二

2、　角的相關(guān)概念 思考1　將射線OA繞著點O旋轉(zhuǎn)到OB位置，有幾種旋轉(zhuǎn)方向？ 答案　有順時針和逆時針兩種旋轉(zhuǎn)方向. 思考2　如果一個角的始邊與終邊重合，那么這個角一定是零角嗎？ 答案　不一定，若角的終邊未作旋轉(zhuǎn)，則這個角是零角.若角的終邊作了旋轉(zhuǎn)，則這個角就不是零角. 梳理　(1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形. (2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類： 類型 定義 圖示 正角 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負(fù)角 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個零角 知識點三

3、　象限角 思考　把角的頂點放在平面直角坐標(biāo)系的原點，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，旋轉(zhuǎn)該角，則其終邊(除端點外)可能落在什么位置？ 答案　 終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個象限內(nèi). 梳理　在直角坐標(biāo)系內(nèi)，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合. 象限角：終邊在第幾象限就是第幾象限角； 軸線角：終邊落在坐標(biāo)軸上的角. 知識點四　終邊相同的角 思考1　假設(shè)60°的終邊是OB，那么－660°，420°的終邊與60°的終邊有什么關(guān)系，它們與60°分別相差多少？ 答案　它們的終邊相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它們與60°分別相隔了2個周角和1

4、個周角. 思考2　如何表示與60°終邊相同的角？ 答案　60°＋k·360°(k∈Z). 梳理　終邊相同角的表示 一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}， 即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和. 1.終邊與始邊重合的角是零角.(　×　) 提示　終邊與始邊重合的角是k·360°(k∈Z). 2.小于90°的角是銳角.(　×　) 提示　銳角是指大于0°且小于90°的角. 3.鈍角是第二象限角.(　√　) 4.第二象限角是鈍角.(　×　) 提示　第二象限角不一定是鈍角.

5、 類型一　周期現(xiàn)象的應(yīng)用 例1　水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升，假設(shè)水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈，計算1小時內(nèi)最多盛水多少升？ 考點　周期現(xiàn)象 題點　周期現(xiàn)象的應(yīng)用 解　因為1小時＝60分鐘＝12×5分鐘，且水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈， 所以1小時內(nèi)水車轉(zhuǎn)12圈. 又因為水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升， 所以每轉(zhuǎn)一圈，最多盛水16×10＝160(升)， 所以水車1小時內(nèi)最多盛水160×12＝1 920(升). 反思與感悟　(1)應(yīng)用周期現(xiàn)象中“周而復(fù)始”的規(guī)律性可以達(dá)到“化繁為簡”、“化無限為有限”的目的. (2)只要確定好周期現(xiàn)象中重復(fù)出現(xiàn)的“基本單

6、位”就可以把問題轉(zhuǎn)化到一個周期內(nèi)來解決. 跟蹤訓(xùn)練1　利用例1中的水車盛800升的水，至少需要多少時間？ 考點　周期現(xiàn)象 題點　周期現(xiàn)象的應(yīng)用 解　設(shè)x分鐘后盛水y升，由例1知每轉(zhuǎn)一圈，水車最多盛水16×10＝160(升)， 所以y＝·160＝32x，為使水車盛800升的水， 則有32x≥800，所以x≥25， 即水車盛800升的水至少需要25分鐘. 類型二　象限角的判定 例2　在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角. (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′. 考點　象限角、軸線角 題點　象限角 解　(1)因為－1

7、50°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－150°角終邊相同的角是210°角，它是第三象限角. (2)因為650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與650°角終邊相同的角是290°角，它是第四象限角. (3)因為－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角，它是第二象限角. 反思與感悟　判斷象限角的步驟 (1)當(dāng)0°≤α<360°時，直接寫出結(jié)果. (2)當(dāng)α<0°或α≥360°時，將α化為k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，轉(zhuǎn)化為判斷角β所屬的象

8、限. 跟蹤訓(xùn)練2　(1)判斷下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范圍內(nèi)終邊相同的角. ①549°；②－60°；③－503°36′. (2)若α是第二象限角，試確定2α，是第幾象限角. 考點　象限角、軸線角 題點　象限角 解　(1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角為第三象限的角，與189°角終邊相同. ②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角為第四象限的角，與300°角終邊相同. ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角為第三象限的角，與216°24′角終邊相同. (2)由題意得90°＋k·360°<α<180°＋k·3

9、60°(k∈Z)，① 所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z). 故2α是第三或第四象限角或終邊落在y軸負(fù)半軸上的角. 由①得45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)， 當(dāng)k為偶數(shù)時，令k＝2n(n∈Z)， 得45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)， 故是第一象限角. 當(dāng)k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1(n∈Z)，得45°＋180°＋n·360°<<90°＋180°＋n·360°(n∈Z)， 即225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)， 故為第三象限角. 綜上可知，為第一或第三象限角. 類型三　終邊相

10、同的角 例3　在與角10 030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角. (1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角. 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 解　與10 030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10 030°(k∈Z). (1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大負(fù)角為β＝－50°. (2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310°

11、. (3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角為β＝670°. 反思與感悟　求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值. 跟蹤訓(xùn)練3　寫出與α＝－1 910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來. 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 解　由終邊相同的角的表示知， 與角α＝－1 910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}. ∵－720°≤β＜36

12、0°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)， ∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4，5，6. 當(dāng)k＝4時，β＝4×360°－1 910°＝－470°； 當(dāng)k＝5時，β＝5×360°－1 910°＝－110°； 當(dāng)k＝6時，β＝6×360°－1 910°＝250°. 例4　寫出終邊在直線y＝－x上的角的集合. 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 解　終邊在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}； 終邊在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}. 因此，終邊在直線y＝

13、－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}， 即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}. 故終邊在直線y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}. 反思與感悟　求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x≥0和x<0兩種情況討論，最后再進行合并. 跟蹤訓(xùn)練4　寫出終邊在直線y＝x上的角的集合. 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 解　終邊在y＝x(x≥0)

14、上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}； 終邊在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}. 因此，終邊在直線y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}， 即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}. 故終邊在直線y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}. 1.下列是周期現(xiàn)象的為(　　) ①閏年每四年一次； ②某交通路口

15、的紅綠燈每30秒轉(zhuǎn)換一次； ③某超市每天的營業(yè)額； ④某地每年6月份的平均降雨量. A.①②④ B.③④ C.①② D.①②③ 考點　周期現(xiàn)象 題點　周期現(xiàn)象的判定 答案　C 解析?、佗谑侵芷诂F(xiàn)象；③中每天的營業(yè)額是隨機的，不是周期現(xiàn)象；④中每年6月份的平均降雨量也是隨機的，不是周期現(xiàn)象. 2.與－457°角終邊相同的角的集合是(　　) A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z} C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z} 考點　終邊相同的角 題點　終邊相

16、同的角 答案　C 解析　－457°＝－2×360°＋263°，故選C. 3.2 018°是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 考點　象限角、軸線角 題點　象限角 答案　C 解析　2 018°＝5×360°＋218°，故2 018°是第三象限角. 4.一個質(zhì)點，在平衡位置O點附近振動，如果不考慮阻力，可將此振動看作周期運動，從O點開始計時，質(zhì)點向左運動第一次到達(dá)M點用了0.3 s，又經(jīng)過0.2 s第二次通過M點，則質(zhì)點第三次通過M點，還要經(jīng)過的時間是 s. 考點　周期現(xiàn)象 題點　周期現(xiàn)象的應(yīng)用 答案　1.4 解析

17、　如圖，質(zhì)點從O點向左運動，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O與O→M用時相同，因此質(zhì)點運動半周期＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，從而當(dāng)質(zhì)點第三次經(jīng)過M時還要經(jīng)過的時間應(yīng)為M→O→B→O→M所用時間，為0.3×2＋0.8＝1.4(s). 5.已知，如圖所示. (1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合； (2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合. 考點　終邊相同的角 題點　區(qū)域角的表示 解　(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}. 終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，

18、k∈Z}. (2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}. 1.判斷是否為周期現(xiàn)象，關(guān)鍵是看在相同的間隔內(nèi)，圖像是否重復(fù)出現(xiàn). 2.由于角的概念推廣了，那么終邊相同的角有無數(shù)個，這無數(shù)個終邊相同的角構(gòu)成一個集合.與α角終邊相同的角可表示為{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要領(lǐng)會好k∈Z的含義. 3.熟記終邊在坐標(biāo)軸上的各角的度數(shù)，才能正確快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的終邊隨整數(shù)k的改變而改變時，要對k分類討論. 一、選擇題 1.(2017·甘肅蘭州一中期末)下列命題正確的是(　　)

19、 A.終邊在x軸非正半軸上的角是零角 B.第二象限角一定是鈍角 C.第四象限角一定是負(fù)角 D.若β＝α＋k·360°(k∈Z)，則α與β終邊相同 考點　終邊相同的角 題點　任意角的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　終邊在x軸非正半軸上的角為k·360°＋180°，k∈Z，零角為0°，所以A錯誤；480°角為第二象限角，但不是鈍角，所以B錯誤；285°角為第四象限角，但不是負(fù)角，所以C錯誤，故選D. 2.設(shè)A＝{θ|θ為銳角}，B＝{θ|θ為小于90°的角}，C＝{θ|θ為第一象限的角}，D＝{θ|θ為小于90°的正角}，則下列等式中成立的是(　　) A.A＝B B.B＝C C.A

20、＝C D.A＝D 考點　任意角的概念 題點　對任意角概念的理解 答案　D 3.探索如圖所呈現(xiàn)的規(guī)律，判斷2 017至2 018箭頭的方向是(　　) 考點　周期現(xiàn)象 題點　周期現(xiàn)象的應(yīng)用 答案　B 4.若α是第四象限角，則180°－α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 考點　象限角、軸線角 題點　象限角 答案　C 解析　可以給α賦一特殊值－60°， 則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角. 5.四個小動物換座位，開始是猴、兔、貓、鼠分別坐在①，②，③，④號位置上(如圖)，第1次前后排動物互換位

21、置，第2次左右列互換座位，…這樣交替進行下去，那么第2 017次互換座位后，小兔的位置對應(yīng)的是(　　) ①猴 ②兔 ③貓 ④鼠 開始 ①貓 ②鼠 ③猴 ④兔 第1次 ①鼠 ②貓 ③兔 ④猴 第2次 ①兔 ②猴 ③鼠 ④貓 第3次 A.編號① B.編號② C.編號③ D.編號④ 考點　周期現(xiàn)象 題點　周期現(xiàn)象的應(yīng)用 答案　D 6.角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，則α與β的關(guān)系為(　　) A.α＋β＝k·360°，k∈Z B.α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z C.α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D.α－β＝k·360°

22、，k∈Z 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 答案　B 解析　特殊值法：令α＝30°，β＝150°，則α＋β＝180°.直接法：∵角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z. 二、填空題 7.如圖所示，變量y與時間t(s)的圖像如圖所示，則時間t至少隔 s時y＝1會重復(fù)出現(xiàn)1次. 考點　周期現(xiàn)象 題點　周期現(xiàn)象的應(yīng)用 答案　2 8.已知角α＝－3 000°，則與α終邊相同的最小正角是 . 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 答案　240° 解析　與α＝－3

23、000°終邊相同的角的集合為{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}， 令－3 000°＋k·360°>0°，解得k>， 故當(dāng)k＝9時，θ＝240°滿足條件. 9.如圖，終邊落在OA的位置上的角的集合是 ；終邊落在OB的位置上，且在－360°～360°內(nèi)的角的集合是 ；終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是 . 考點　終邊相同的角 題點　任意角的綜合應(yīng)用 答案　{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}　{315°，－45°}　{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z} 解析　終邊落在OA的位置上的角

24、的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}. 終邊落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}， 取k＝0，－1得α＝315°，－45°. 故終邊落在OB的位置上， 且在－360°～360°內(nèi)的角的集合是{315°，－45°}. 終邊落在陰影部分的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}. 10.若α＝k·360°＋45°，k∈Z，則是第 象限角. 考點　象限角、軸線角 題點　象限角 答案　一或三 解析　∵α＝k·360°＋45°，k∈Z， ∴＝k·180°＋22.5°，k∈Z. 當(dāng)k為

25、偶數(shù)，即k＝2n，n∈Z時， ＝n·360°＋22.5°，n∈Z，∴為第一象限角； 當(dāng)k為奇數(shù)，即k＝2n＋1，n∈Z時， ＝n·360°＋202.5°，n∈Z，∴為第三象限角. 綜上，是第一或第三象限角. 三、解答題 11.已知角β的終邊在直線x－y＝0上. (1)寫出角β的集合S； (2)寫出集合S中適合不等式－360°<β<720°的元素. 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 解　(1)如圖，直線x－y＝0過原點，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合分別為

26、 S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}， S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}. (2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z. 解得－

27、°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 12.游樂場中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑40米，如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請解答下列問題： (1)你與地面的距離隨時間的變化而變化，這個現(xiàn)象是周期現(xiàn)象嗎？ (2)轉(zhuǎn)四圈需要多少時間？ (3)你第四次距地面最高需要多少時間？ (4)轉(zhuǎn)60分鐘時，你距離地面是多少？ 考點

28、　周期現(xiàn)象 題點　周期現(xiàn)象的應(yīng)用 解　(1)是周期現(xiàn)象，周期12分鐘. (2)轉(zhuǎn)四圈需要時間為4×12＝48(分鐘). (3)第一次距離地面最高需＝6(分鐘)，而周期是12分鐘，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分鐘). (4)因為60÷12＝5，所以轉(zhuǎn)60分鐘時你距離地面與開始時刻距離地面相同，即40.5－40＝0.5(米). 13.已知－180°<α<180°，且角α的終邊與其7倍角的終邊重合，求角α. 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 解　∵角α的終邊與它的7倍角的終邊重合. ∴7α＝k·360°＋α(k∈Z)， ∴α＝k·60°(k∈Z). 又∵－

29、180°<α<180°， ∴－3

30、2k＋1)·90°. ∵k∈Z， ∴2k表示所有的偶數(shù)，2k＋1表示所有的奇數(shù)， ∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}， 又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}， ∴A＝B.故選D. 15.(2017·山西平遙一中月考)一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個單位圓(半徑為1的圓)上爬動，兩只螞蟻均從點A(1，0)同時逆時針勻速爬動，紅螞蟻每秒爬過α角，黑螞蟻每秒爬過β角(其中0°<α<β<180°)，如果兩只螞蟻都在第14 s時回到A點，并且在第2 s時均位于第二象限，求α，β的值. 考點　終邊相同的角 題點　任意角的綜合應(yīng)用 解　根據(jù)題意，可知14α，14β均為360°的整數(shù)倍， 故可設(shè)14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z， 則α＝·180°，m∈Z，β＝·180°，n∈Z. 由兩只螞蟻在第2 s時均位于第二象限，知2α，2β均為第二象限角. 因為0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°， 因為2α，2β均為鈍角，即90°<2α<2β<180°， 所以45°<α<90°，45°<β<90°. 所以45°<·180°<90°，45°<·180°<90°， 即