2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪（文） 第三章 3-2同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪（文） 第三章 3-2同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式教案1同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：sin2cos21.(2)商數(shù)關系：tan .2下列各角的終邊與角的終邊的關系角2k(kZ)圖示與角終邊的關系相同關于原點對稱關于x軸對稱角圖示與角終邊的關系關于y軸對稱關于直線yx對稱3.六組誘導公式組數(shù)一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“

2、”或“”)(1)sin()sin 成立的條件是為銳角()(2)六組誘導公式中的角可以是任意角()(3)若cos(n)(nZ)，則cos .()(4)已知sin ，cos ，其中，則m5或m3.()(5)已知(0，)，sin cos ，則tan 的值為或.()(6)已知tan ，則的值是.()1已知是第二象限角，sin ，則cos .答案解析sin ，是第二象限角，cos .2已知sin()log8，且(，0)，則tan(2)的值為 答案解析sin()sin log8，又(，0)，得cos ，tan(2)tan()tan .3已知cos，則sin .答案解析sinsinsincos.4已知函數(shù)f

3、(x)則ff(2 015) .答案1解析ff(2 015)f(2 01515)f(2 000)，f(2 000)2cos2cos 1.題型一同角三角函數(shù)關系的應用例1(1)已知cos(x)，x(，2)，則tan x .(2)已知5，則sin2sin cos 的值是 答案(1)(2)解析(1)cos(x)cos x，cos x.又x(，2)，sin x，tan x.(2)由5，得5，即tan 2，sin2sin cos .思維升華(1)利用sin2cos21可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以實現(xiàn)角的弦切互化(2)應用公式時注意方程思想的應用：對于sin cos ，sin cos ，s

4、in cos 這三個式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及變形應用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.(1)已知，那么的值是 (2)已知tan 2，則sin cos .答案(1)(2)解析(1)由于1，故.(2)sin cos .題型二誘導公式的應用例2(1)已知cos，求cos的值；(2)已知2，cos(7)，求sin(3)tan的值思維點撥(1)將看作一個整體，觀察與的關系(2)先化簡已知，求出cos 的值，然后化簡結論并代入求值解(1)，.coscoscos，即cos.(2)cos(7)cos(7)cos()cos

5、 ，cos .sin(3)tansin()sin tansin sin cos .思維升華熟練運用誘導公式和同角三角函數(shù)基本關系，并確定相應三角函數(shù)值的符號是解題的關鍵另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧(1)已知sin，則cos的值為 (2)已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角，則tan2() .答案(1)(2)解析(1)coscossin.(2)方程5x27x60的根為或2，又是第三象限角，sin ，cos ，tan ，原式tan2tan2.題型三三角函數(shù)式的求值與化簡例3(1)已知為銳角，且有2tan()3cos()50，tan()6sin()10，則sin 的值是 (2)已知是三

6、角形的內(nèi)角，且sin cos ，則tan .答案(1)(2)解析(1)2tan()3cos()50化簡為2tan 3sin 50，tan()6sin()10化簡為tan 6sin 10.由消去sin ，解得tan 3.又為銳角，根據(jù)sin2cos21，解得sin .(2)因為sin cos ，所以(sin cos )212sin cos ()2，即2sin cos ，所以(sin cos )212sin cos 1，又2sin cos 0,00，cos 0，故sin cos ，由得所以tan .思維升華在三角函數(shù)式的求值與化簡中，要注意尋找式子中的角，函數(shù)式子的特點和聯(lián)系，可以切化弦，約分或抵

7、消，減少函數(shù)種類，對式子進行化簡(1)若為三角形的一個內(nèi)角，且sin cos ，則這個三角形是 三角形(填“銳角”“直角”“鈍角”)(2)已知tan 2，sin cos 0，則 .答案(1)鈍角(2)解析(1)(sin cos )212sin cos ，sin cos 0，為第一象限角或第三象限角又sin cos 0，為第三象限角，由tan 2，得sin 2cos 代入sin2cos21，解得sin .分類討論思想在三角函數(shù)求值化簡中的應用典例：(1)已知A(kZ)，則A的值構成的集合是 (2)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，則C .思維點撥(1)角中含有整數(shù)

8、k，應對k是奇數(shù)還是偶數(shù)進行討論；(2)利用同角三角函數(shù)基本關系式的平方關系時，要對開方的結果進行討論解析(1)當k為偶數(shù)時，A2；k為奇數(shù)時，A2.A的值構成的集合是2，2(2)由已知得22得2cos2A1，即cos A，當cos A時，cos B，又A、B是三角形的內(nèi)角，A，B，C(AB).當cos A時，cos B.又A、B是三角形的內(nèi)角，A，B，不合題意綜上，C.答案(1)2，2(2)溫馨提醒(1)本題在三角函數(shù)的求值化簡過程中，體現(xiàn)了分類討論思想，即使討論的某種情況不合題意，也不能省略討論的步驟；(2)三角形中的三角函數(shù)問題，要注意隱含條件的挖掘及三角形內(nèi)角和定理的應用.方法與技巧同

9、角三角函數(shù)基本關系是三角恒等變形的基礎，主要是變名、變式1同角關系及誘導公式要注意象限角對三角函數(shù)符號的影響，尤其是利用平方關系在求三角函數(shù)值時，進行開方時要根據(jù)角的象限或范圍，判斷符號后，正確取舍2三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎，在求值與化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x化成正弦、余弦函數(shù)；(2)和積轉換法：如利用(sin cos )212sin cos 的關系進行變形、轉化；(3)巧用“1”的變換：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan.失誤與防范1利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負脫周化銳特別注意

10、函數(shù)名稱和符號的確定2在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號3注意求值與化簡后的結果一般要盡可能有理化、整式化.A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)1是第四象限角，tan ，則sin .答案解析tan ，cos sin ，又sin2cos21，sin2sin2sin21.又sin 0，sin .2若sin，則cos .答案解析，sinsincos.則cos2cos21.3已知sin()2sin()，則sin cos .答案解析由sin()2sin()得sin 2cos ，所以tan 2，所以sin cos .4已知f()，則f的值為 答案解析f()cos ，fcoscosco

11、s .5函數(shù)y3cos(x)2的圖象關于直線x對稱，則的取值是 答案k(kZ)解析ycos x2的對稱軸為xk(kZ)，xk(kZ)，即xk(kZ)，令k(kZ)得k(kZ)6如果sin ，且為第二象限角，則sin .答案解析sin ，且為第二象限角，cos ，sincos .7已知為鈍角，sin()，則sin() .答案解析由題意可得cos()，又因為為鈍角，所以cos()，所以sin()cos()cos().8化簡： .答案1解析原式1.9已知sin ，.(1)求tan 的值；(2)求的值解(1)sin2cos21，cos2.又，cos .tan .(2)由(1)知，.10已知sin ，c

12、os 是關于x的方程x2axa0(aR)的兩個根，求cos3()sin3()的值(已知：a3b3(ab)(a2abb2)解由已知原方程的判別式0，即(a)24a0，a4或a0.又(sin cos )212sin cos ，則a22a10，從而a1或a1(舍去)，因此sin cos sin cos 1.cos3()sin3()sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)(1)1(1)2.B組專項能力提升(時間：25分鐘)1已知sin ，(，)，則sin(5)sin()的值是 答案解析sin ，(，)，cos .原式sin()(cos )sin cos .2已知2tan

13、 sin 3，0，則sin .答案解析由2tan sin 3得，3，即2cos23cos 20，又0，解得cos (cos 2舍去)，故sin .3已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2xy0上，則 .答案2解析由題意可得tan 2，原式2.4已知cosa (|a|1)，則cossin的值是 答案0解析coscoscosa.sinsincosa，cossin0.5(1)已知tan ，求的值；(2)化簡：.解(1)因為tan ，所以.(2)原式1.6已知f(x)(nZ)(1)化簡f(x)的表達式；(2)求f()f()的值解(1)當n為偶數(shù)，即n2k(kZ)時，f(x)sin2x；當n為奇數(shù)，即n2k1(kZ)時，f(x)sin2x，綜上得f(x)sin2x.(2)由(1)得f()f()sin2sin2sin2sin2()sin2cos21.