2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式《教案》

2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式教案1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21.(2)商數(shù)關(guān)系：tan .2下列各角的終邊與角的終邊的關(guān)系角2k(kZ)圖示與角終邊的關(guān)系相同關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱角圖示與角終邊的關(guān)系關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于直線yx對(duì)稱3.六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)sin()sin 成立的條件是為銳角(×)(2)六組誘導(dǎo)公式中的角可以是任意角(×)(3)若cos(n)(nZ)，則cos .(×)(4)已知sin ，cos ，其中，則m<5或m3.(×)(5)已知(0，)，sin cos ，則tan 的值為或.(×)(6)已知tan ，則的值是.()1已知是第二象限角，sin ，則cos .答案解析sin ，是第二象限角，cos .2已知sin()log8，且(，0)，則tan(2)的值為 答案解析sin()sin log8，又(，0)，得cos ，tan(2)tan()tan .3已知cos，則sin .答案解析sinsinsincos.4已知函數(shù)f(x)則ff(2 015) .答案1解析ff(2 015)f(2 01515)f(2 000)，f(2 000)2cos2cos 1.題型一同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用例1(1)已知cos(x)，x(，2)，則tan x .(2)已知5，則sin2sin cos 的值是 答案(1)(2)解析(1)cos(x)cos x，cos x.又x(，2)，sin x，tan x.(2)由5，得5，即tan 2，sin2sin cos .思維升華(1)利用sin2cos21可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化(2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個(gè)式子，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.(1)已知，那么的值是 (2)已知tan 2，則sin cos .答案(1)(2)解析(1)由于·1，故.(2)sin cos .題型二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例2(1)已知cos，求cos的值；(2)已知<<2，cos(7)，求sin(3)·tan的值思維點(diǎn)撥(1)將看作一個(gè)整體，觀察與的關(guān)系(2)先化簡(jiǎn)已知，求出cos 的值，然后化簡(jiǎn)結(jié)論并代入求值解(1)，.coscoscos，即cos.(2)cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)·tansin()·sin ·tansin ·sin ·cos .思維升華熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)是解題的關(guān)鍵另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧(1)已知sin，則cos的值為 (2)已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角，則·tan2() .答案(1)(2)解析(1)coscossin.(2)方程5x27x60的根為或2，又是第三象限角，sin ，cos ，tan ，原式·tan2tan2.題型三三角函數(shù)式的求值與化簡(jiǎn)例3(1)已知為銳角，且有2tan()3cos()50，tan()6sin()10，則sin 的值是 (2)已知是三角形的內(nèi)角，且sin cos ，則tan .答案(1)(2)解析(1)2tan()3cos()50化簡(jiǎn)為2tan 3sin 50，tan()6sin()10化簡(jiǎn)為tan 6sin 10.由消去sin ，解得tan 3.又為銳角，根據(jù)sin2cos21，解得sin .(2)因?yàn)閟in cos ，所以(sin cos )212sin ·cos ()2，即2sin ·cos ，所以(sin cos )212sin ·cos 1，又2sin ·cos <0,0<<，所以sin >0，cos <0，即sin cos >0，故sin cos ，由得所以tan .思維升華在三角函數(shù)式的求值與化簡(jiǎn)中，要注意尋找式子中的角，函數(shù)式子的特點(diǎn)和聯(lián)系，可以切化弦，約分或抵消，減少函數(shù)種類，對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)(1)若為三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sin cos ，則這個(gè)三角形是 三角形(填“銳角”“直角”“鈍角”)(2)已知tan 2，sin cos <0，則 .答案(1)鈍角(2)解析(1)(sin cos )212sin cos ，sin cos <0，為鈍角此三角形為鈍角三角形(2)原式sin ，tan 2>0，為第一象限角或第三象限角又sin cos <0，為第三象限角，由tan 2，得sin 2cos 代入sin2cos21，解得sin .分類討論思想在三角函數(shù)求值化簡(jiǎn)中的應(yīng)用典例：(1)已知A(kZ)，則A的值構(gòu)成的集合是 (2)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，則C .思維點(diǎn)撥(1)角中含有整數(shù)k，應(yīng)對(duì)k是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行討論；(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的平方關(guān)系時(shí)，要對(duì)開方的結(jié)果進(jìn)行討論解析(1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A2；k為奇數(shù)時(shí)，A2.A的值構(gòu)成的集合是2，2(2)由已知得22得2cos2A1，即cos A±，當(dāng)cos A時(shí)，cos B，又A、B是三角形的內(nèi)角，A，B，C(AB).當(dāng)cos A時(shí)，cos B.又A、B是三角形的內(nèi)角，A，B，不合題意綜上，C.答案(1)2，2(2)溫馨提醒(1)本題在三角函數(shù)的求值化簡(jiǎn)過程中，體現(xiàn)了分類討論思想，即使討論的某種情況不合題意，也不能省略討論的步驟；(2)三角形中的三角函數(shù)問題，要注意隱含條件的挖掘及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.方法與技巧同角三角函數(shù)基本關(guān)系是三角恒等變形的基礎(chǔ)，主要是變名、變式1同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時(shí)，進(jìn)行開方時(shí)要根據(jù)角的象限或范圍，判斷符號(hào)后，正確取舍2三角求值、化簡(jiǎn)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x化成正弦、余弦函數(shù)；(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin ±cos )21±2sin cos 的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化；(3)巧用“1”的變換：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan.失誤與防范1利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)脫周化銳特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定2在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào)3注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1是第四象限角，tan ，則sin .答案解析tan ，cos sin ，又sin2cos21，sin2sin2sin21.又sin <0，sin .2若sin，則cos .答案解析，sinsincos.則cos2cos21.3已知sin()2sin()，則sin ·cos .答案解析由sin()2sin()得sin 2cos ，所以tan 2，所以sin ·cos .4已知f()，則f的值為 答案解析f()cos ，fcoscoscos .5函數(shù)y3cos(x)2的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則的取值是 答案k(kZ)解析ycos x2的對(duì)稱軸為xk(kZ)，xk(kZ)，即xk(kZ)，令k(kZ)得k(kZ)6如果sin ，且為第二象限角，則sin .答案解析sin ，且為第二象限角，cos ，sincos .7已知為鈍角，sin()，則sin() .答案解析由題意可得cos()±，又因?yàn)闉殁g角，所以cos()，所以sin()cos()cos().8化簡(jiǎn)： .答案1解析原式1.9已知sin ，<<.(1)求tan 的值；(2)求的值解(1)sin2cos21，cos2.又<<，cos .tan .(2)由(1)知，.10已知sin ，cos 是關(guān)于x的方程x2axa0(aR)的兩個(gè)根，求cos3()sin3()的值(已知：a3b3(ab)(a2abb2)解由已知原方程的判別式0，即(a)24a0，a4或a0.又(sin cos )212sin cos ，則a22a10，從而a1或a1(舍去)，因此sin cos sin cos 1.cos3()sin3()sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)(1)1(1)2.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘)1已知sin ，(，)，則sin(5)sin()的值是 答案解析sin ，(，)，cos .原式sin()·(cos )sin cos ×.2已知2tan ·sin 3，<<0，則sin .答案解析由2tan ·sin 3得，3，即2cos23cos 20，又<<0，解得cos (cos 2舍去)，故sin .3已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2xy0上，則 .答案2解析由題意可得tan 2，原式2.4已知cosa (|a|1)，則cossin的值是 答案0解析coscoscosa.sinsincosa，cossin0.5(1)已知tan ，求的值；(2)化簡(jiǎn)：.解(1)因?yàn)閠an ，所以.(2)原式1.6已知f(x)(nZ)(1)化簡(jiǎn)f(x)的表達(dá)式；(2)求f()f()的值解(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n2k(kZ)時(shí)，f(x)sin2x；當(dāng)n為奇數(shù)，即n2k1(kZ)時(shí)，f(x)sin2x，綜上得f(x)sin2x.(2)由(1)得f()f()sin2sin2sin2sin2()sin2cos21.