2021高考數學一輪復習 第8章 立體幾何初步 第5節(jié) 空間幾何體的表面積與體積教學案 文 北師大版

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1、第五節(jié)　空間幾何體的表面積與體積 [最新考綱]　了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式． (對應學生用書第135頁) 1．多面體的表(側)面積 因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和． 2．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式 圓柱 圓錐 圓臺 側面展開圖　 側面積公式　 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l 三者關系 S圓柱側＝2πrlS圓臺側＝π(r＋r′)lS圓錐側＝πrl 3.柱、錐、臺和球的表面積和體積 名稱 幾何體　　　

2、 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh 臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 1．正四面體的表面積與體積 棱長為a的正四面體，其表面積為a2，體積為a3. 2．幾個與球有關的切、接常用結論 (1)正方體的棱長為a，球的半徑為R， ①若球為正方體的外接球，則2R＝a； ②若球為正方體的內切球，則2R＝a； ③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a. (2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半

3、徑為R，則2R＝. (3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1，棱長為a的正四面體，其內切球半徑R內＝a，外接球半徑R外＝a. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)錐體的體積等于底面面積與高之積． (　　) (2)球的體積之比等于半徑比的平方． (　　) (3)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差． (　　) (4)已知球O的半徑為R，其內接正方體的邊長為a，則R＝a. (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為(　　) A.π　　　B.π　　　C．16π　　　D．24π

4、 B　[設球的半徑為R，由題意得4πR2＝16π， 解得R＝2，所以這個球的體積為V＝πR3＝π，故選B.] 2．已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm B　[設圓錐的底面半徑為r，母線長為l， 由題意知，2πr＝πl(wèi)，得l＝2r. 則S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π. 解得r＝2(cm)，故選B.] 3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．6 B．3 C．2 D．3 B　[由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱，其

5、底面為左視圖，該左視圖是底邊為2，高為的三角形，主視圖的長為三棱柱的高，故h＝3，所以幾何體的體積V＝S·h＝×3＝3.] 4．如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________． 1∶47　[設長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出棱錐的體積為V1＝××a×b×c＝abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.] (對應學生用書第136頁) ⊙考點1　空間幾何體的表面積 　求解幾何體表面積的類型及求法 求多面體的表面積 先求各個面的面積，再相加即可 求旋轉體的表面積

6、 可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系 求不規(guī)則幾何體的表面積時 通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積 (1)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是(　　) A．48＋π　　　 B．48－π C．48＋2π D．48－2π (2)(2018·全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　) A．12π

7、 B．12π C．8π D．10π (1)A　(2)B　[(1)該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A. (2)因為過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2×π×()2＋2π××2＝12π.] 　解答本題T(1)時易誤認為幾何體的上底面不存在，導致計算錯誤． 　1.一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(　　) A．1＋ B．1＋2 C．2＋ D．2

8、 C　[由題意知題中的幾何圖形就是如圖所示的四面體，其中AB＝AD＝CB＝CD＝，BD＝2，且平面ABD⊥平面CBD.所以△ABD與△CBD都是等腰直角三角形，而△ABC與△CAD都是邊長是的等邊三角形．所以表面積是×××2＋×()2×2＝2＋，故選C.] 2．(2016·全國卷Ⅲ)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81 B　[由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側面為矩形，另兩個側面為平行四邊形，則表面積為(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故

9、選B.] ⊙考點2　空間幾何體的體積 　求體積的常用方法 直接法 對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算 割補法 首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算 等體積法 選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換 　直接法求體積 (1)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A.＋1　　B.＋3　　C.＋1　　D.＋3 (2)(2018·天津高考)如圖，已知正方體ABC

10、D-A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為________． (1)A　(2)　[(1)由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1，高為3的半個圓錐和三棱錐S -ABC組成的， 如圖，三棱錐的高為3，底面△ABC中，AB＝2，OC＝1，AB⊥OC.故其體積V＝××π×12×3＋××2×1×3＝＋1.故選A. (2)四棱錐A1-BB1D1D的底面BB1D1D為矩形，其面積S＝1×＝，又四棱錐的高為點A1到平面BB1D1D的距離，即h＝A1C1＝，所以四棱錐的體積V＝××＝.] 　直接法求體積關鍵是求幾何體的底面面積和高這兩個量． [教師備選例題] 某幾何體的三視

11、圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為(　　) A．4π　　　B．2π　　　C.　　　D．π B　[由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的一部分，設底面扇形的圓心角為α，由tan α＝＝，得α＝，故底面面積為××22＝，則該幾何體的體積為×3＝2π.] 　割補法求體積 (1)[一題多解](2017·全國卷Ⅱ)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π (2)[一題多解]如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABC

12、D是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(　　) A. B. C. D. (1)B　(2)A　[(1)法一：(割補法)如圖所示，由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得． 將圓柱補全，并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π. 故選B. 法二：(估值法)由題意，知V圓柱＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V幾何體＜90π.觀察選項可知只有63π符合． 故選

13、B. (2)法一：如圖所示，分別過A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱， 因為三棱錐高為，直三棱柱高為1，AG＝＝， 取AD的中點M，則MG＝， 所以S△AGD＝×1×＝， 所以V＝×1＋2×××＝. 法二：如圖所示，取EF的中點P，則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個四棱錐，易知三棱錐P-AED和三棱錐P-BCF都是棱長為1的正四面體，四棱錐P-ABCD為棱長為1的正四棱錐．所以V＝×12×＋2×××＝.] 　解答本例T(1)中，也可將兩個相同的幾何體對接為圓柱，圓柱體積的一半即為所求． 　等體積法求體積 　(2019·

14、武漢模擬)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CD的中點，則三棱錐A-BC1M的體積VA-BC1M＝(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. C　[VA-BC1M＝VC1-ABM＝S△ABM·C1C＝×AB×AD×C1C＝，故選C.] 　使用等體積法求體積時，一般是把三棱錐的底面轉化到已知幾何體的某一個面上． [教師備選例題] 如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為(　　) A.　　　　　 B. C. D. A　[三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體

15、積，三棱錐A-B1BC1的高為，底面積為，故其體積為××＝.] 　1.(2019·全國卷Ⅲ)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為________g. 118.8　[由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形， 對角線長分別為6 cm和4 cm， 故V挖去的四棱錐＝××4×6×3＝12(cm3)． 又V長方體＝6×6×4＝1

16、44(cm3)， 所以模型的體積為 V長方體－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質量為132×0.9＝118.8(g)．] 2．某幾何體的三視圖如圖所示，若其主視圖為等腰梯形，左視圖為正三角形，則該幾何體的體積為________． 　[根據幾何體的三視圖，知該幾何體是一個三棱柱在兩端各去掉一個全等的三棱錐，如圖所示： 底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，EF平行于底面，且EF＝1.過點E作EM⊥AB，垂足為點M，過點E作EN⊥DC，垂足為點N，連接MN. 同理作FM1，F(xiàn)N1，M1N1. 則AM＝，EM＝1，V＝2VE-AMND＋VE

17、MN-FM1N1＝2×××＋×1××1＝.] ⊙考點3　球與空間幾何體的切、接問題 　空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解． (2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解． 　外接球 (1)(2018·全國卷Ⅲ)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9

18、，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　) A．12　　　 B．18 C．24 D．54 (2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　) A. B．2 C. D．3 (1)B　(2)C　[(1)如圖，E是AC中點，M是△ABC的重心，O為球心，連接BE，OM，OD，BO.因為S△ABC＝AB2＝9，所以AB＝6，BM＝BE＝＝2.易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝＝2，所以當D，O，M三點共線且DM＝OD＋OM時，三棱錐D-ABC的體積取得最大值，且最大值Vmax＝S△ABC×

19、(4＋OM)＝×9×6＝18.故選B. (2)如圖所示，由球心作平面ABC的垂線， 則垂足為BC的中點M.因為AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5. 又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6， 所以球O的半徑R＝OA＝＝，故選C.] [母題探究] 本例(2)中若將直三棱柱改為“側棱和底面邊長都是3的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？” [解]　依題意，得該正四棱錐底面對角線的長為3×＝6， 高為＝3， 因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3. 　本例T(2)中直三棱柱有三條棱兩兩垂直，因此直三棱柱可補形為

20、長方體，從而其外接球的直徑為長方體的體對角線長． [教師備選例題] 1．點A、B、C、D在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，則該球的體積為(　　) A．32π　　B．48π　　C．64π　　D．16π A　[由題意知，球心O到△ABC的中心O′的距離為3， 即OO′＝AD＝3，如圖所示， 　AO′＝××3＝， ∴OA＝＝2， ∴V球＝π×(2)3＝32π.] 2．若一個底面邊長為，側棱長為的正六棱柱的所有頂點都在一個球面上，求該球的體積和表面積． [解]　在底面正六邊形ABCDEF中，連接BE、AD交于O，連接BE1， 則BE＝2

21、OE＝2DE， ∴BE＝， 在Rt△BEE1中， BE1＝＝2，∴2R＝2，則R＝，∴球的體積V球＝πR3＝4π，球的表面積S球＝4πR2＝12π. 　內切球 (1)(2017·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． (2)已知正三棱錐S-ABC的底面是面積為的正三角形，高為2，則其內切球的表面積為________． (1)　(2)　[(1)設球O的半徑為R， ∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切， ∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R. ∴＝＝.

22、 (2)過頂點S作SO⊥平面ABC，則SO＝2. 設正三棱錐S-ABC的底面邊長為a，則底面積為a2＝，即a＝2. 連接AO并延長，交BC于D，連接SD，則SD為斜高， ∴SD＝＝. 設正三棱錐S-ABC的內切球的半徑為r， 則××2＝r， 解得r＝. ∴內切球的表面積S＝4πr2＝.] 　三棱錐內切球球心位置不易確定，一般用等體積法求解，如本例T(2)．求圓錐內切球的半徑，可先作出軸截面利用等面積法求解． 　1.一個圓錐的母線長為2，圓錐的母線與底面的夾角為，則圓錐的內切球的表面積為(　　) A．8π B．4(2－)2π C．4(2＋)2π D.π B　[作出圓

23、錐截面圖如圖， ∵母線長為2，圓錐的母線與底面的夾角為，∴圓錐底面半徑與高均為. 設內切球的半徑為r，則利用軸截面，根據等面積可得×2×＝×(2＋2＋2)r，∴r＝2－. ∴該圓錐內切球的表面積為4π×(2－)2＝4(2－)2π，故選B.] 2．中國古代數學經典《九章算術》系統(tǒng)地總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數學成就，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形， AD＝2，ED＝1, 若鱉臑P-ADE的外接球的體積為，則陽馬P-ABCD的外接球的表面

24、積等于(　　) A．15π　　　B．16π C．17π　　　D．18π C　[由題意，在三棱錐P-ADE(鱉臑)中，ED⊥DA，PA⊥平面ABCE，所以其外接球的直徑2r＝PE.設PA＝h，則2r＝＝＝，所以其外接球的體積V＝＝＝，解得h＝3.設四棱錐P-ABCD(陽馬)的外接球半徑為R，則2R＝PC＝＝＝，所以該球的表面積S＝4πR2＝17π.故選C.] 課外素養(yǎng)提升⑦　直觀想象——巧解球的切、接問題 (對應學生用書第139頁) 球與簡單幾何體的切、接問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題實質是解決球的半徑長或確定球心O的位置問題，其中球心的確定是關鍵． 外接

25、球問題 常用結論 (1)簡單多面體外接球的球心的結論． 結論1：正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點． 結論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點． 結論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點． (2)構造正方體或長方體確定球心． (3)利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質，確定球心． 【例1】　(2019·武昌模擬)已知底面為正方形的四棱錐P-ABCD的所有頂點都在球O的球面上，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AB＝2，則球O的表面積為(　　) A.　　　　　　 B. C. D.

26、 D　[令△PAD所在圓的圓心為O1，△PAD為正三角形，AD＝2， 則圓O1的半徑r＝，∵平面PAD⊥底面ABCD，AB＝2， ∴OO1＝AB＝1，∴球O的半徑R＝＝， ∴球O的表面積＝4πR2＝，故選D.] [評析]　求出△PAD所在圓的半徑，利用勾股定理求出球O的半徑R，即可求出球O的表面積． 【素養(yǎng)提升練習】 1．(2019·廣州模擬)三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為(　　) A．23π B.π C．64π D.π D　[如圖，設O′為正△PAC的中心，D為Rt△ABC斜邊的中

27、點，H為AC中點．由平面PAC⊥平面ABC. 則O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，則交點O為三棱錐外接球的球心，連接OP，又O′P＝PH＝××2＝， OO′＝DH＝AB＝2. ∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝. 故幾何體外接球的表面積 S＝4πR2＝π.] 【例2】　(2019·開封模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝，AA1⊥平面ABC，則該三棱柱的外接球的體積為(　　) A．40π B．40π C. D. D　[由題意可知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，∠BAC＝， AA1＝2，底面三角形

28、ABC的外接圓半徑為＝2， 連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑， 外接球的半徑為：＝. ∴三棱柱的外接球的體積為V＝π×()3＝，故選D.] [評析]　由已知求出底面ABC的外接圓的半徑，連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑，即可求出三棱柱的外接球的體積． 【素養(yǎng)提升練習】 2．已知正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱長都是6，則該棱柱外接球的表面積為(　　) A．21π B．42π C．84π D．84 C　[如圖，M，N為上下底面正三角形的中心， O為MN的中點，即外接球球心， ∵正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱長都是6， AM

29、＝＝2，OM＝3， 球半徑R＝OA＝＝，該棱柱外接球的表面積為S＝4π×()2＝84π，故選C.] 內切球問題 常用結論 (1)內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等． (2)正多面體的內切球和外接球的球心重合． (3)正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合． 【例3】　體積為的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為________． 6　[設球的半徑為R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2.設底面邊長為a，則×a＝1，所以a＝2.所以V＝×(2)2×2＝6.] [評析]　球與正三棱柱的兩個底面相切，可求球的直徑，球與正三棱柱的三個側面相切，相當于正三棱柱的底面三角形有內切圓． 【素養(yǎng)提升練習】 3．若一個正四面體的表面積為S1，其內切球的表面積為S2，則＝________. 　[設正四面體的棱長為a，則S1＝a2. 正四面體的高h＝a，體積V＝××a＝a3. 設正四面體的內切球半徑為r， 則×a2×r＝a3， 解得r＝a，則內切球表面積S2＝4πr2＝， ∴＝a2×＝.] - 17 -