九年級數學競賽輔導講座 第二十一講 從三角形的內切圓談起

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1、九年級數學競賽輔導講座 第二十一講 從三角形的內切圓談起 和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形．三角形的內切圓的圓心叫做這個三角形的內心，圓外切三角形、圓外切四邊形有下列重要性質： 1．三角形的內心是三角形的三內角平分線交點，它到三角形的三邊距離相等； 2．圓外切四邊形的兩組對邊之和相等，其逆亦真，是判定四邊形是否有外切圓的主要方法． 當圓外切三角形、四邊形是特殊三角形時，就得到隱含豐富結論的下列圖形： 注：設Rt△ABC的各邊長分別為a、b、c (斜邊)，運用切線長定理、面積等知識可得到其內切圓半徑

2、的不同表示式： (1)； (2)． 請讀者給出證 【例題求解】 【例1】 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°°，BC=5，⊙O與Rt△ABC的三邊AB、BC、AC分相切于點D、E、F，若⊙O的半徑r＝2，則Rt△ABC的周長為 ． 思路點撥 AF=AD，BE=BD，連OE、OF，則OECF為正方形，只需求出AF(或AD)即可． 【例2】 如圖，以定線段AB為直徑作半圓O，P為半圓上任意一點(異于A、B)，過點P作半圓O的切線分別交過A、B兩點的切線于D、C，AC、BD相交于N點，連結ON，NP，下列結論：①四邊形ANP

3、D是梯形；②ON=NP：③DP·P C為定值；④FA為∠NPD的平分線，其中一定成立的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 思路點撥 本例綜合了切線的性質、切線長定理、相似三角形，判定性質等重要幾何知識，注意基本輔助線的添出、基本圖形識別、等線段代換，推導出NP∥AD∥BC是解本例的關鍵． 【例3】 如圖，已知∠ACP=∠CDE=90°，點B在CE上，CA=CB=CD，過A、C、D三點的圓交AB于F，求證：F為△CD

4、E的內心． 思路點撥 連CF、DF，即需證F為△CDE角平分線的交點，充分利用與圓有關的角，將問題轉化為角相等問題的證明． 【例4】 如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB為直徑作半圓O切CD于E，連結OE，并延長交AD的延長線于F． (1)問∠BOZ能否為120°，并簡要說明理由； (2)證明△AOF∽△EDF，且； (3)求DF的長． 思路點撥 分解出基本圖形，作出基本輔

5、助線．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把計算與推理融合；(3)把相應線段用DF的代數式表示，利用勾股定理建立關于DF的一元二次方程． 注： 如圖，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，則可得到應用廣泛的兩個性質： (1)以邊AB為直徑的圓與邊CD相切； (2)以邊CD為直徑的圓與邊AB相切． 類似地，三角形三條中線的交點叫三角形的重心，三角形三邊高所在的直線的交點叫三角形的垂心．外心、內心、垂心、重心統(tǒng)稱三角形的四心，它們處在三角而中的特殊位置上，有著豐富的性質，在解題中有廣泛的應用． 【例5】 如圖，已知Rt△ABC中，

6、CD是斜邊AB上的高，O、O1、O2分別是△ABC；△ACD、△BCD的角平分線的交點，求證：(1) O1O⊥C O2；(2)OC= O1O2． 思路點撥 在直角三角形中，斜邊上的高將它分成的兩個直角三角形和原三角形相似，得對應角相等，所以通過證交角為90°的方法得兩線垂直，又利用全等三角形證明兩線段相 等． 學力訓練 1．如圖，已知圓外切等腰梯形ABCD的中位線EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周長等于= cm． 2．如圖，在直

7、角，坐標系中A、B的坐標分別為(3，0)、(0，4)，則Rt△ABO內心的坐標是 ． 3．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC， DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB為直徑的⊙O與DC相切于E，則DC= ． 4．如圖，⊙O為△ABC的內切圓，∠C=90°，AO的延長線交BC于點D，AC=4，CD=1，則⊙O的半徑等于( ) A． B． C． D．

8、 5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，以CD為直徑的半圓O切AB于點E，這個梯形的面積為21cm2，周長為20cm，那么半圓O的半徑為( ) A．3cm B．7cm C ．3cm或7cm D． 2cm 6．如圖，△ABC中，內切圓O和邊B、CA、AB分別相切于點D、EF，則以下四個結論中，錯誤的結論是( ) A．點O是△DEF的外心 B．∠AFE=(∠B+∠C) C．∠BOC=90°+∠A D．∠DFE=90°一∠B 7．如圖，BC是⊙O的直徑，AB、AD是⊙O的

9、切線，切點分別為B、P，過C點的切線與AD交于點D，連結AO、DO． (1)求證：△ABO∽△OCD； (2)若AB、CD是關于x的方程的兩個實數根，且S△ABO+ S△OCD=20，求m的值． 8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC與⊙O相交于點D，連結AD并延長，BC相交于點E． (1)若BC=，CD=1，求⊙O的半徑； (2)取BE的中點F，連結DF，求證：DF是⊙O的切線； (3)過D點作DG⊥BC于G，OG與DG相交于點M，求證：DM＝GM． 9．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13

10、cm，BC=16cm，CD=5cm，AB為⊙O的直徑，動點P沿AD方向從點A開始向點D以1cm／秒的速度運動，動點Q沿CB方向從點C開始向點B以2cm／秒的速度運動，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，當其中一點停止時，另一點也隨之停止運動． (1)求⊙O的直徑； (2)求四邊形PQCD的面積y關于P、Q運動時間t的函數關系式，并求當四邊形PQCD為等腰梯形時，四邊形PQCP的面積； (3)是否存在某時刻t，使直線PQ與⊙O相切，若存在，求出t 的值；若不存在，請說明理由． 10．已知在△AB

11、C中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD為AB上的高，Ol、O2分別為△ACD、△BCD的內心，則OlO2= ． 11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分線相交于P點，又PE⊥AB于點E，若BC=2，AC=3，則AE·EB= ． 12．如果一個三角形的面積和周長都被一直線所平分，那么該直線必通過這個三角形的( ) A．內心 B．外心 C．圓心 D．重心 13．如圖，AD是△ABC的角平分線，⊙O過點AB和BC相切于點P，和AB、AC分別交于點E，F，若BD=AE

12、，且BE=a，CF=b，則AF的長為( ) A． B． C． D． 14．如圖，在矩形ABCD中，連結AC，如果O為△ABC的內心，過O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，則矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為( ) A． B． C． D．不能確定 ⌒ 15．如圖，AB是半圓的直徑，AC為半圓的切線，AC=AB．在半圓上任取一點D，作DE⊥CD，交直線AB于

13、點F，BF⊥AB，交線段AD的延長線于點F． (1)設AD是x°的弧，并要使點E在線段BA的延長線上，則x的取值范圍是 ； (2)不論D點取在半圓什么位置，圖中除AB=AC外，還有兩條線段一定相等，指出這兩條相等的線段，并予證明． 16．如圖，△ABC的三邊滿足關系BC=(AB+AC)，O、I分別為△ABC的外心、內心，∠ BAC的外角平分線交⊙O于E，AI的延長線交⊙O于D，DE交BC于H． 求證：(1)AI=BD；(2)OI=AE． 17．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切

14、線，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結AC，與DE交于點F，問EP與PD是否相等?證明你的結論． ⌒ 18．如圖，已知點P在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的AB(不含端點)上運動，PH⊥OA于H，△OPH的重心為G． (1)當點P在AB上運動時，線段GO、GP、GH中有無長度保持不變的線段?如果有，請指出并求出其相應的長度； (2)設PH= x，GP=y，求y關于x的函數解析式，并指出自變量x的取值范圍； (3)如果△PGH為等腰三角形，試求出線段PH的長． 參考答案