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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 文
求數(shù)列的通項(xiàng)
訓(xùn)練提示: 求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法有累加法、累積法、構(gòu)造等比數(shù)列法或已知Sn與an關(guān)系,求an或利用方程思想聯(lián)立方程組,求出基本量,得出an.解題時(shí)應(yīng)注意各自的適用范圍及注意驗(yàn)證n=1的情況.
1.(xx寧夏石嘴山高三聯(lián)考)已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和為70,且a3為a1和a7的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=2,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)設(shè)等
2、差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),
則
解得
所以an=2n+2.
(2)因?yàn)閎n+1-bn=an,
所以bn-bn-1=an-1=2n(n≥2,n∈N*)
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=an-1+an-2+…+a1+b1
=n(n+1).
所以==-,
所以Tn=1-+-+…+-
=1-=.
2.(xx東北三校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=n·an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)當(dāng)n=1時(shí)a2=
3、S1+2=4=2a1,
當(dāng)n≥2時(shí),?an+1=2an,
數(shù)列{an}滿足an+1=2an(n∈N*),且a1=2,
所以an=2n(n∈N*).
(2)bn=n·an=n·2n
Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1
兩式相減,得
-Tn=21+22+23+…+2n-1+2n-n·2n+1
-Tn=-n·2n+1,
Tn=2+(n-1)·2n+1(n∈N*).
求數(shù)列的前n項(xiàng)和
訓(xùn)練提示: 在數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法中,一定要注意其各自的適用范圍,其中在裂項(xiàng)相消法中
4、注意裂項(xiàng)后的恒等變形,在錯(cuò)位相減法中注意相減后,哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列.
3.(xx甘肅二診)已知數(shù)列{an}中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*).
(1)求a2,a3,并證明{an-n}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)由已知an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*)得
a2=4,a3=7.
an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2[an-1-(n-1)],
因?yàn)?2(n≥2,n∈N*).
所以{an-n}是以2為公比的等比數(shù)列.
(2)由(1)得an-n=(a1-1)·2n-1.
即an=2n-1+n.
5、
所以bn==1+.
設(shè)cn=,且前n項(xiàng)和為Tn,
所以Tn=+++…+①
Tn=+++…+②
①-②得Tn=1+(+++…+)-
=-=2-.
所以Tn=4-,Sn=n+4-.
4.(xx鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,且a3,a4+,a11成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d,由題意知d>0.
因?yàn)閍3,a4+,a11成等比數(shù)列,所以(a4+)2=a3a11,
所以(+3d)2=(1+2d)(1+10d),
即44d2-36d-45=0,
所以d
6、=(d=-舍去),
所以an=.
(2)bn==
=(-).
所以Tn=(-+-+…+-)
=.
數(shù)列的綜合問(wèn)題
訓(xùn)練提示: 解答數(shù)列綜合問(wèn)題要善于用化歸思想把非等差、等比數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問(wèn)題,并結(jié)合函數(shù)與方程的思想方法分析、解決問(wèn)題.數(shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分,先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法
求解.
5.(xx鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an-2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log2a1+log2a2+…+log2an,
7、求使(n-8)bn≥nk對(duì)任意n∈N*恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解:(1)由Sn=2an-2可得a1=2,
因?yàn)镾n=2an-2,
所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
即=2.
數(shù)列{an}是以a1=2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,
所以an=2n(n∈N*).
(2)bn=log2a1+log2a2+…+log2an
=1+2+3+…+n
=.
由(n-8)bn≥nk對(duì)任意n∈N*恒成立,
即實(shí)數(shù)≥k對(duì)n∈N*恒成立;
設(shè)cn=(n-8)(n+1),
則當(dāng)n=3或4時(shí),cn取得最小值為-10,所以k≤-10.
【教師備用】 (xx陜西卷)設(shè)
8、fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2.
(1)求f′n(2);
(2)證明:fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an),且0
9、得f′n(2)=
=(n-1)×2n+1.
(2)證明:因?yàn)閒n(0)=-1<0,
fn()=-1=1-2×()n≥1-2×()2>0,
所以fn(x)在(0,)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).
又f′n(x)=1+2x+…+nxn-1>0,
所以fn(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,
因此fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)an.
由于fn(x)=-1,
所以0=fn(an)=-1,
由此可得an=+>,
故
10、知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N+)的個(gè)位數(shù),則axx= .?
解析:a1a2=2×7=14,所以a3=4,4×7=28,所以a4=8,4×8=32,所以a5=2,2×8=16,所以a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,a11=2,所以從第三項(xiàng)起,an的值成周期排列,周期為6,xx=335×6+5,所以axx=a5=2.
答案:2
2.(xx赤峰市高三統(tǒng)考)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2=an+1-an,n∈N*,則axx= .?
解析:因?yàn)閍1=1,a2=3,an+2=an+1-an,
所以a3=2,a4=-1,a5=-
11、3,a6=-2,a7=1,a8=3,…
所以數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列.
所以axx=a6×335+5=a5=-3.
答案:-3
類型二:由數(shù)列性質(zhì)解決恒成立問(wèn)題
3.(xx遼寧沈陽(yáng)一模)已知數(shù)列{an},{cn}滿足條件:a1=1,an+1=2an+1,
cn=.
(1)求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn,并求使得am>對(duì)任意n∈N+都成立的正整數(shù)m的最小值.
解:(1)因?yàn)閍n+1=2an+1,
所以an+1+1=2(an+1),
因?yàn)閍1=1,a1+1=2≠0,
所以數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,
12、公比為2的等比數(shù)列.
所以an+1=2×2n-1,
所以an=2n-1.
(2)因?yàn)閏n==(-),
所以Tn=(-+-+…+-)
=(-)
=
=.
所以==6+,n∈N*,
所以6+≤15.
所以當(dāng)n=1時(shí),取得最大值15.
要使得am>對(duì)任意n∈N*恒成立,結(jié)合(1)的結(jié)果,只需2m-1>15,
由此得m>4.
所以正整數(shù)m的最小值是5.
4.(xx東北三校聯(lián)合二模)已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=2an-2n(n∈N*).
(1)證明:{an+2}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足bn=log2(an+2),Tn為數(shù)列
13、{}的前n項(xiàng)和,若Tn
14、,+∞).
類型三:數(shù)列的綜合問(wèn)題
5.(xx東北三校聯(lián)合模擬)已知數(shù)列{an}滿足··…=(n∈N*),則a10等于( C )
(A)e26 (B)e29 (C)e32 (D)e35
解析:因?yàn)椤ぁぁ?①
所以··…=②
所以得=,所以ln an=3n+2.
所以ln a10=32,所以a10=e32.故選C.
6.(xx濱州模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=9,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{lg(an+1)}為等比數(shù)列.
(2)令bn=an+1,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn,即Tn=(a1+1)(a2+1)…
15、(an+1),求lg Tn.
(3)在(2)的條件下,記cn=,設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn<1.
(1)證明:由題意得an+1=+2an,
即an+1+1=(an+1)2,
對(duì)an+1+1=(an+1)2兩邊取對(duì)數(shù)得
lg(an+1+1)=2lg(an+1),
因?yàn)閍1=9,所以lg(a1+1)=lg 10=1,
所以數(shù)列{lg(an+1)}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
(2)解:由(1)知lg(an+1)=2n-1.
lg Tn=lg[(a1+1)(a2+1)…(an+1)]
=lg(a1+1)+lg(a2+1)+…+lg(an+1)
=
所以lg Tn=2n-1.
(3)證明:cn==-,
Sn=(-)+(-)+(-)+…+(-)
=1-<1.
2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 文
