2019-2020學年高中數學 第二章 基本初等函數（Ⅰ）2.1.2.1 指數函數及其性質學案（含解析）新人教A版必修1

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1、2.1.2　指數函數及其性質 課標要點 課標要點 學考要求 高考要求 1.指數函數的概念 b b 2.指數函數的圖象 c c 3.指數函數的性質 c c 4.利用函數圖象解決問題 c c 知識導圖 學法指導 1.明確指數函數的概念，會求指數函數的解析式． 2．借助指數函數的圖象來學習函數性質，學會用數形結合的方法解決有關問題． 3．在掌握指數函數的圖象與性質的基礎上，學會解決與指數函數有關的復合函數問題． 第1課時　指數函數及其性質 知識點一　指數函數的定義 函數y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量．

2、指數函數解析式的3個特征 (1)底數a為大于0且不等于1的常數． (2)自變量x的位置在指數上，且x的系數是1. (3)ax的系數是1. 知識點二　指數函數的圖象與性質 a>1 00時，y>1； 當x<0時，00時，01 單調性 是R上的增函數 是R上的減函數 底數a與1的大小關系決定了指數函數圖象的“升”與“降”．當a>1時，指數函數的圖象是“上升”的

3、；當00且a≠1)可知只有D項正確． 答案：D 3．函數f(x)＝的定義域為(　　) A．R B．(0，＋∞) C．[0，

4、＋∞) D．(－∞，0) 解析：要使函數有意義， 則2x－1>0，∴2x>1，∴x>0. 答案：B 4．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|2x>4}，則A∩B＝(　　) A．? B．{x|04}＝{x|x>2}，則A∩B＝{x|20且a≠1

5、 (2)指數函數y＝f(x)的圖象經過點，那么f(4)·f(2)等于________． 【解析】　(1)由指數函數的定義得解得a＝2. (2)設y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以a－2＝，所以a＝2， 所以f(4)·f(2)＝24×22＝64. 【答案】　(1)C　(2)64 (1)根據指數函數的定義可知，底數a>0且a≠1，ax的系數是1. (2)先設指數函數為f(x)＝ax，借助條件圖象過點(－2，)求a，最后求值． 方法歸納 (1)判斷一個函數是指數函數的方法 ①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)這一結構特征． ②明特征：指

6、數函數的解析式具有三個特征，只要有一個特征不具備，則不是指數函數． (2)已知某函數是指數函數求參數值的基本步驟 跟蹤訓練1　(1)若函數y＝(3－2a)x為指數函數，則實數a的取值范圍是________； (2)下列函數中是指數函數的是________．(填序號) ①y＝2·()x?、趛＝2x－1?、踶＝x?、躽＝xx?、輞＝3－?、辻＝x. 解析：(1)若函數y＝(3－2a)x為指數函數， 則解得a<且a≠1. (2)①中指數式()x的系數不為1，故不是指數函數；②中y＝2x－1＝·2x，指數式2x的系數不為1，故不是指數函數；④中底數為x，不滿足底數是唯一確定的值，

7、故不是指數函數；⑤中指數不是x，故不是指數函數；⑥中指數為常數且底數不是唯一確定的值，故不是指數函數．故填③. 答案：(1)(－∞，1)∪　(2)③ (1)指數函數系數為1. (2)底數>0且≠1. 類型二　指數函數的圖象問題 例2　(1)如圖所示是下列指數函數的圖象： ①y＝ax?、趛＝bx ③y＝cx ④y＝dx 則a，b，c，d與1的大小關系是(　　) A．a0且a≠1時，函數f(x)＝ax－3－2必過定點________． 【解析】　(1)可先

8、分為兩類，③④的底數一定大于1，①②的底數一定小于1，然后再由③④比較c，d的大小，由①②比較a，b的大小．當指數函數的底數大于1時，圖象上升，且當底數越大，圖象向上越靠近y軸；當底數大于0小于1時，圖象下降，且當底數越小，圖象向下越靠近x軸，故選B. (2)當a>0且a≠1時，總有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函數f(x)＝ax－3－2必過定點(3，－1)． 【答案】　(1)B　(2)(3，－1) (1)先由a>1,0

9、為： (1)無論指數函數的底數a如何變化，指數函數y＝ax(a>0，a≠1)的圖象與直線x＝1相交于點(1，a)，由圖象可知：在y軸右側，圖象從下到上相應的底數由小變大． (2)指數函數的底數與圖象間的關系可概括記憶為：在第一象限內，底數自下而上依次增大． 跟蹤訓練2　(1)已知1>n>m>0，則指數函數①y＝mx，②y＝nx的圖象為(　　) (2)若a>1，－1

10、排除A、B，作直線x＝1與兩個曲線相交，交點在下面的是函數y＝mx的圖象，故選C. (2)∵a>1，且－1

11、得2x－1－27≥0，所以2x－1≥27，即2x－1≥－3，又指數函數y＝x為R上的單調減函數，所以2x－1≤－3，解得x≤－1. (2)由f(x)的圖象過點(2,1)可知b＝2，由f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函數，可知f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，可知C正確． 【答案】　(1)C　(2)C (1)首先根式有意義，然后根據函數的單調性解指數不等式． (2)根據函數的單調性求值域． 方法歸納 (1)對于y＝af(x)這類函數， ①定義域是指使f(x)有意義的x的取值范圍． ②值域問題，應分以下兩步求解： ⅰ由定義域求出u＝f(

12、x)的值域； ⅱ利用指數函數y＝au的單調性或利用圖象求得此函數的值域． (2)對于y＝(ax)2＋b·ax＋c這類函數， ①定義域是R. ②值域可以分以下兩步求解： ⅰ設t＝ax，求出t的范圍； ⅱ利用二次函數y＝t2＋bt＋c的配方法求函數的值域． 跟蹤訓練3　(1)求函數y＝的定義域與值域． (2)函數f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a. 解析：(1)由x－2≥0，得x≥2，所以定義域為{x|x≥2}．當x≥2時，≥0，又因為0<<1，所以y＝的值域為{y|0

13、最大值為a2，最小值為a，所以a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去)． ②若0＜a＜1，則f(x)在[1,2]上單調遞減，最大值為a，最小值為a2，所以a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)． 綜上所述，a的值為或. (1)偶次根式被開方數大于等于0. (2)先判斷函數單調性，再求最值. [基礎鞏固](25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．若函數f(x)＝·ax是指數函數，則f的值為(　　) A．2　　　 B．－2 C．－2 D．2 解析：∵函數f(x)是指數函數，∴a－3＝1，∴a＝8. ∴f(x)＝8x，f＝8＝2. 答案：D 2．在同

14、一坐標系中，函數y＝2x與y＝x的圖象之間的關系是(　　) A．關于y軸對稱 B．關于x軸對稱 C．關于原點對稱 D．關于直線y＝x對稱 解析：由作出兩函數圖象可知，兩函數圖象關于y軸對稱，故選A. 答案：A 3．當x∈[－1,1]時，函數f(x)＝3x－2的值域是(　　) A. B．[－1,1] C. D．[0,1] 解析：因為指數函數y＝3x在區(qū)間[－1,1]上是增函數，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f(x)≤1.故選C. 答案：C 4．如果指數函數f(x)＝(a－1)x是R上的單調減函數，那么a的取值范圍是(　　) A

15、．a<2 B．a>2 C．11時，f(x)＝ax過原點且斜率大于1，g(x)＝ax是遞增的；②當00且a≠1)． 因為f(x)過點， 所以＝

16、a－2， 所以a＝4. 所以f(x)＝4x， 所以f＝4－＝. 答案： 7．函數f(x)＝的值域為________． 解析：由1－ex≥0得，ex≤1，故函數f(x)的定義域為{x|x≤0}，所以00且a≠1)的圖象恒過定點P，則點P的坐標是________． 解析：令x－1＝0，得x＝1，此時f(1)＝5.所以函數f(x)＝4＋ax－1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點P(1,5)． 答案：(1,5) 三、解答題(每小題10分，共20

17、分) 9．設f(x)＝3x，g(x)＝x. (1)在同一坐標系中作出f(x)，g(x)的圖象； (2)計算f(1)與g(－1)，f(π)與g(－π)，f(m)與g(－m)的值，從中你能得到什么結論？ 解析：(1)函數f(x)與g(x)的圖象如圖所示： (2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3； f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π； f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m. 從以上計算的結果看，兩個函數當自變量取值互為相反數時，其函數值相等，即當指數函數的底數互為倒數時，它們的圖象關于y軸對稱． 10．求下列函數的定義域和值域： (1)y＝2－1；(2)y＝

18、解析：(1)要使y＝2－1有意義，需x≠0，則2≠1；故2－1>－1且2－1≠0，故函數y＝2－1的定義域為{x|x≠0}，函數的值域為(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)函數y＝的定義域為實數集R，由于2x2≥0，則2x2－2≥－2. 故0<≤9，所以函數y＝的值域為(0,9]． [能力提升](20分鐘，40分) 11．函數y＝ax在區(qū)間[0,1]上的最大值和最小值的和為3，則函數y＝3ax－1在區(qū)間[0,1]上的最大值是(　　) A．6 B．1 C．5 D. 解析：由于函數y＝ax在[0,1]上為單調函數， 所以有a0＋a1＝3，即a＝2. 所以函數y＝3ax－1，即

19、y＝6x－1在[0,1]上單調遞增，其最大值為y＝6×1－1＝5.故選C. 答案：C 12．若關于x的方程2x－a＋1＝0有負根，則a的取值范圍是________． 解析：因為2x＝a－1有負根， 所以x<0， 所以0<2x<1. 所以00，a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，求實數a的值． 解析：當a>1時，f(x)在[0,2]上遞增， ∴即 ∴a＝±. 又a>1，∴a＝； 當0