九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二講 判別式——二次方程根的檢測(cè)器

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1、九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二講 判別式——二次方程根的檢測(cè)器 為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗(yàn)儀器，為了辨別鈔票的真?zhèn)?，銀行里常常使用驗(yàn)鈔機(jī)，類似地，在解一元二次方程有關(guān)問題時(shí)，最好能知道根的特性：如是否有實(shí)數(shù)根，有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，根的符號(hào)特點(diǎn)等．我們形象地說，判別式是一元二次方程根的“檢測(cè)器”，在以下方面有著廣泛的應(yīng)用： 利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性； 運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍； 通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題； 借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性

2、問題、最值問題． 【例題求解】 【例1】 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是 ． 思路點(diǎn)撥 利用判別式建立關(guān)于的不等式組，注意、的隱含制約． 注：運(yùn)用判別式解題，需要注意的是： (1)解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0的隱含制約； (2)在解涉及多個(gè)二次方程的問題時(shí)，需在整體方法、降次消元等方法思想的引導(dǎo)下，綜合運(yùn)用方程、不等式的知識(shí)． 【例2】 已知三個(gè)關(guān)于的方程：，和，若其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A． B

3、．或 C． D． 思路點(diǎn)撥 “至少有兩個(gè)方程有實(shí)根”有多種情形，從分類討論人手，解關(guān)于的不等式組，綜合判斷選擇． 【例3】 已知關(guān)于的方程， (1)求證：無論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根； (2)若等腰三角形△ABC的一邊長(zhǎng)＝1，另兩邊長(zhǎng)、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)． 思路點(diǎn)撥 對(duì)于(1)只需證明△≥0；對(duì)于(2)由于未指明底與腰，須分或、中有一個(gè)與c相等兩種情況討論，運(yùn)用判別式、根的定義求出、的值． 注：（1）涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設(shè)計(jì)的一個(gè)熱點(diǎn)

4、，但不一定每個(gè)這類題均有多解，還須結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理予以取舍． （2）運(yùn)用根的判別式討論方程根的個(gè)數(shù)為人所熟悉，而組合多個(gè)判別式討論方程多個(gè)根(三個(gè)以上)是近年中考，競(jìng)賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類問題常用到換元、分類討論等思想方法． 【例4】 設(shè)方程，只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值和相應(yīng)的3個(gè)根． 思路點(diǎn)撥 去掉絕對(duì)值符號(hào)，原方程可化為兩個(gè)一元二次方程．原方程只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則其中一個(gè)判別式大于零，另一個(gè)判別式等于零． 【例5】已知：如圖，矩形A

5、BCD中，AD＝，DC＝，在 AB上找一點(diǎn)E，使E點(diǎn)與C、D的連線將此矩形分成的三個(gè)三角形相似，設(shè)AE＝，問：這樣的點(diǎn)E是否存在?若存在， 這樣的點(diǎn)E有幾個(gè)?請(qǐng)說明理由． 思路點(diǎn)撥 要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，點(diǎn)E必須滿足∠AED+∠BEC＝90°，為此，可設(shè)在AE上存在滿足條件的點(diǎn)E使得Rt△ADE∽R(shí)t△BEC，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，通過判別式討論點(diǎn)E的存在與否及存在的個(gè)數(shù)． 注：有些與一元二次方程表面無關(guān)的問題，可通過構(gòu)造方程為判別式的運(yùn)用鋪平道路，常見的構(gòu)造方法有： (1

6、)利用根的定義構(gòu)造； (2)利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造； (3)確定主元構(gòu)造． 學(xué)力訓(xùn)練 1．已知，若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則= ． 2．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 ． 3．已知關(guān)于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，化簡(jiǎn)= ． 4．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是( ) A． B． C．且 D．且 5．已知一直角三角形的三邊為、、，∠B＝90°，那么關(guān)于的方程的根的情況為( ) A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等

7、的實(shí)數(shù)根 D．無法確定 6．如果關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么方程的根的情況是( ) A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 7．在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、，已知，和是 關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長(zhǎng)．

8、 8．已知關(guān)于的方程 (1)求證：無論m取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根； (2)如果方程的兩實(shí)根分別為、，滿足=3，求實(shí)數(shù)的值． 9．、為實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根． (1)求證：； (2)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根，恰為一個(gè)三角形三內(nèi)角的度數(shù)，求證該三角形必有一個(gè)內(nèi)角是60°； (3)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊，求和的值．

9、10．關(guān)于的兩個(gè)方程，中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則m的取值范圍是 ． 11．當(dāng)= ，= 時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根． 12．若方程有且只有相異二實(shí)根，則的取值范圍是 ． 13．如果關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)( ) A．2 B．1 C．0 D．不能確定 14．已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，則在這些方程中有實(shí)數(shù)根的方程共有( ) A12個(gè) B．10個(gè) C． 7個(gè) D．5個(gè) 15．已知

10、△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足方程，則方程根的情況是( ) A．有兩相等實(shí)根 B．有兩相異實(shí)根 C．無實(shí)根 D．不能確定 16．若a、b、c、d>0，證明：在方程①；②；③；④中，至少有兩個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 17．已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足，abc＝1，求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于· 18．關(guān)于的方程有有理根，求整數(shù)是的值． 19．考慮方程① (1)若=24，求一個(gè)實(shí)數(shù)，使得恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足①式． (2)若≥25，是否存在實(shí)數(shù)，使得恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足①式?說明你的結(jié)論． 20．如圖，已知邊長(zhǎng)為的正方形ABCD內(nèi)接于邊長(zhǎng)為的正方形EFGH，試求的取值范圍． 參考答案