九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第三講 活力的韋達(dá)定理

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1、九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第三講 活力的韋達(dá)定理 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的． 韋達(dá)定理簡(jiǎn)單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在： 運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值； 運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值； 利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征； 利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等． 韋達(dá)定理具有對(duì)稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路． 韋達(dá)定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識(shí)可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)

2、學(xué)問題，而解這類問題常用到對(duì)稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法． 【例題求解】 【例1】 已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為 ． 思路點(diǎn)撥 所求代數(shù)式為、的非對(duì)稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例 【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，，那么的值為( ) A． B．或2 C． D．或2 思路點(diǎn)撥 可將兩個(gè)等式相減，得到、的關(guān)系，由于兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程的兩

3、實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件． 注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于、的對(duì)稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對(duì)稱式的求值常用到以下技巧： (1)恰當(dāng)組合； (2)根據(jù)根的定義降次； (3)構(gòu)造對(duì)稱式． 【例3】 已知關(guān)于的方程： (1)求證：無論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根． (2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根、滿足，求m的值及相應(yīng)的、． 思路點(diǎn)撥 對(duì)于(2)，先判定、的符號(hào)特征，并從分類討論入手．

4、 【例4】 設(shè)、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)，有最小值?并求出這個(gè)最小值． 思路點(diǎn)撥 利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應(yīng)注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進(jìn)行的． 注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時(shí)，須滿足判別式△≥0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價(jià)性． 【例5】 已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根． (1)當(dāng)m＝2和m>2時(shí)，四邊形ABCD分別是哪

5、種四邊形?并說明理由． (2)若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P，Q，PQ＝1，且AB

6、，并和滿足不等式，則實(shí)數(shù)取值范圍是 ． (2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 2．已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為 ． 3．CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則△ABC的面積是 ． 4．設(shè)、是關(guān)于的方程

7、的兩根，+1、+1是關(guān)于的方程的兩根，則、的值分別等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，a、b是關(guān)于 的方程的兩根，那么AB邊上的中線長(zhǎng)是( ) A． B． C．5 D．2 6．方程恰有兩個(gè)正整數(shù)根、，則的值是( ) A．1 B．-l C． D． 7．若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)

8、根滿足關(guān)系式：，判斷是否正確? 8．已知關(guān)于的方程． (1) 當(dāng)是為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根； (2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足：，求的值． 9．已知方程的兩根均為正整數(shù)，且，那么這個(gè)方程兩根為 ． 10．已知、是方程的兩個(gè)根，則的值為 ． 11．△ABC的一邊長(zhǎng)為5，另兩邊長(zhǎng)恰為方程

9、的兩根，則m的取值范圍是 ． 12．兩個(gè)質(zhì)數(shù)、恰好是整系數(shù)方程的兩個(gè)根，則的值是( ) A．9413 B． C． D． 13．設(shè)方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，則以、為根的一元二次方程為( ) A． B． C． D． 14．如果方程的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) A．0≤m≤1 B．m≥ C． D．≤m≤1 15．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線A

10、C的長(zhǎng)為10，且AB、BC(AB>BC)的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根． (1)求rn的值； （2）若E是AB上的一點(diǎn)，CF⊥DE于F，求BE為何值時(shí)，△CEF的面積是△CED的面積的，請(qǐng)說明理由． 16．設(shè)m是不小于的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程工有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、． (1) 若，求m的值． (2) 求的最大值． 17．如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，過C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又關(guān)于x的方程兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值． 18．設(shè)、、為三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得方程和和有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，并且使方程和也有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，試求的值． 參考答案