2020屆高考數(shù)學大二輪復習 下篇 指導四 高考創(chuàng)新題型揭-秘教學案

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1、 指導四 高考創(chuàng)新題型揭-秘 創(chuàng)新型數(shù)學問題的命制是以集合、函數(shù)圖象與性質(zhì)、立體幾何、數(shù)列、復數(shù)等常規(guī)知識為基礎，并用新的背景、新的情境等進行“包裝”，使平淡的數(shù)學題煥發(fā)出新的活力，充滿了無窮的魅力．此類問題有利于考查考生在新情境下分析問題、解決問題的實際能力，有利于考查考生的發(fā)散性思維能力和探索、創(chuàng)新精神，是各級各類考試中一道亮麗的風景線． 　　　設置“新定義” “新定義”試題是指給出一個考生從未接觸過的新規(guī)定、新概念，要求考生現(xiàn)學現(xiàn)用，其目的是考查考生的閱讀理解能力、應變能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學生自主學習、主動探究的品質(zhì)．此類問題可能以文字的形式出現(xiàn)，也可能以數(shù)學符號或數(shù)學表達式的

2、形式出現(xiàn)，要求考生要先準確理解“新定義”的特點，再加以靈活運用．特別提醒：“給什么，用什么”是應用“新定義”解題的基本思路． [例1]　(2020·唐山調(diào)研)若函數(shù)exf(x)(e＝2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為________． ①f(x)＝2－x?、趂(x)＝3－x?、踗(x)＝x3?、躥(x)＝x2＋2 [解析]　設g(x)＝exf(x)． 對于①，g(x)＝ex·2－x(x∈R)，g′(x)＝ex·2－x－ex·2－x·ln 2＝(1－ln 2)·ex·2－x＞0，∴函數(shù)g(x

3、)在R上單調(diào)遞增，故①中f(x)具有M性質(zhì)． 對于②，g(x)＝ex·3－x(x∈R)，g′(x)＝ex·3－x－ex·3－x·ln 3＝(1－ln 3)·ex·3－x＜0，∴函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，故②中f(x)不具有M性質(zhì)． 對于③，g(x)＝ex·x3(x∈R)， g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝(x＋3)·ex·x2， 當x＜－3時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減，故③中f(x)不具有M性質(zhì)． 對于④，g(x)＝ex·(x2＋2)(x∈R)，g′(x)＝ex·(x2＋2)＋ex·2x＝(x2＋2x＋2)·ex＝[(x＋1)2＋1]·ex＞0， ∴函數(shù)g(x)在R

4、上單調(diào)遞增，故④中f(x)具有M性質(zhì)． 綜上，具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為①④. [答案]?、佗? 解決此類新定義問題首先要準確理解給出的新定義，然后把其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學問題求解．如本例通過對函數(shù)f(x)所具有M性質(zhì)的理解，將問題轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)是否具有此性質(zhì)． [活學活用1] (2019·青島三模)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)．對于函數(shù)y＝g(x)(x∈I)，定義g(x)關于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)滿足：對任意x∈I，兩個點(x，h(x))，(x，g(x))關于點(x，f(x))對稱．若h(x)是g(x)＝關于f(x)＝3x＋b的“對稱函數(shù)”，

5、且h(x)＞g(x)恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是____________． 解析：由于g(x)＝的圖象是圓x2＋y2＝4在x軸上方的半圓(包括與x軸的交點)，設這個半圓的一條切線方程為y＝3x＋b1，則有＝2，解得b1＝2，要使得h(x)＞g(x)恒成立，則需b＞b1＝2.故實數(shù)b的取值范圍為(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 　　　設置“新運算” “新運算”是指在現(xiàn)有的運算法則和運算律的基礎上定義的一種新的運算，是一種特別設計的計算形式，它使用一些特殊的運算符號，如“*”“?”“※”等，這些符號與四則運算中的加減乘除符號是不一樣的．“新運算”類問題的情境一般比較陌生，求解時考生需要坦

6、然面對，先準確理解“新運算”法則，再加以靈活運用即可解決問題．特別注意：新定義的算式在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合運用現(xiàn)有的運算法則和運算律進行計算的． [例2]　定義一種運算“※”，對于任意n∈N*均滿足以下運算性質(zhì)：(1)2※2 017＝1；(2)(2n＋2)※2 017＝(2n)※2 017＋3.則2 018※2 017＝________. [解析]　設an＝(2n)※2 017，則由運算性質(zhì)(1)知a1＝1，由運算性質(zhì)(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3. 于是，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且首項為1，公差為3. 故2 018※2 017＝(2×1 009)※2 017＝a1

7、009＝1＋1 008×3＝3 025. [答案]　3 025 注意到(2n)※2 017與[2(n＋1)]※2 017((2n＋2)※2 017)結(jié)構(gòu)相同，具體區(qū)別為前邊是“n”，后邊是“n＋1”，于是，可將它們看作某一數(shù)列的相鄰兩項，從而通過“換元”將不熟悉的“新運算”問題轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列問題，這是求解本題的關鍵． [活學活用2] 定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面說法錯誤的是(　　) A．若a與b共線，則a⊙b＝0 B．a(chǎn)⊙b＝b⊙a C．對任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙

8、b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 解析：B　[若a＝(m，n)與b＝(p，q)共線，則mq－np＝0，依運算“⊙”知a⊙b＝0，故A正確，由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正確．由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正確．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正確．] 　　　設置“實際背景” 以現(xiàn)實中的生活實例或最新時事為背景，考查學生的

9、應用能力和創(chuàng)新意識．解決這類問題的關鍵，正確理解題意，建立數(shù)學模型． [例3]　交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，且保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系．發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表： 交強險浮動因素和費率浮動比率表 浮動因素 浮動比率 A1 上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故 下浮10% A2 上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故 下浮20% A3 上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故 下浮30% A4 上一個年度

10、發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5 上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故 上浮10% A6 上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故 上浮30% 某機構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格： 類型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 數(shù)量 10 5 5 20 15 5 (1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率； (2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事

11、故車．假設購進一輛事故車虧損5 000元，一輛非事故車盈利10 000元．且各種投保類型的頻率與上述機構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完成下列問題： ①若該銷售商店內(nèi)有6輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，某顧客欲在其內(nèi)隨機挑選2輛車，求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率； ②若該銷售商一次購進120輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值． [解析]　(1)一輛普通6座以下私家車第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率為＝. (2)①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該銷售商店內(nèi)的6輛該品牌車齡已滿三年的二手車中有2輛事故車，設為b1，b2,4輛非事故車，設為a1，a2，a3，a4.從6輛車中隨機挑選2輛車的情況有

12、(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共15種．其中2輛車恰好有一輛為事故車的情況有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共8種． 所以該顧客在店內(nèi)隨機挑選2輛車，這2輛車恰好有一輛事故車的概率為. ②由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該銷售商一次購進120輛該品牌車齡已滿三年的二手車有事故車40輛，非事故車80輛，

13、所以一輛車盈利的平均值為[(－5 000)×40＋10 000×80]＝5 000(元)． 本例以“交強險”這一實際生活實例為背景，考查了古典概型概率的求法以及平均值的計算． [活學活用3] 幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件．為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21,22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪．那么該款

14、軟件的激活碼是(　　) A．440　　　　　　　　 B．330 C．220 D．110 解析：A　[設第一項為第1組，接下來的兩項為第2組，再接下來的三項為第3組，依次類推，則第n組的項數(shù)為n，前n組的項數(shù)和為.由題意可知，N＞100，令＞100，得n≥14，n∈N*，即N出現(xiàn)在第13組之后．易得第n組的所有項的和為＝2n－1，前n組的所有項的和為－n＝2n＋1－n－2.設滿足條件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)組，且第N項為第k＋1組的第t(t∈N*)個數(shù)，若要使前N項和為2的整數(shù)冪，則第k＋1組的前t項的和2t－1應與－2－k互為相反數(shù)，即2t－1＝k＋2， ∴2t＝k＋3，

15、∴t＝log2(k＋3)，∴當t＝4，k＝13時，N＝＋4＝95＜100，不滿足題意；當t＝5，k＝29時，N＝＋5＝440；當t＞5時，N＞440，故選A.] 　　　設置“新模型” “新模型”試題指已知條件中給出具體的解題模型，需要考生將所給解題模型遷移至新情境中，對目標問題進行合理探究．著重考查考生的閱讀理解能力，接受能力，應變能力和創(chuàng)新、探究能力． [例4]　我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A(－2,3)且法向量為n＝(4，－1)的直線(點法式)方程為4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化簡得4x－y

16、＋11＝0.類比以上方法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點B(1,2,3)且法向量為m＝(－1，－2,1)的平面(點法式)方程為________________． [解析]　由題意可設Q(x，y，z)為所求平面內(nèi)的任一點，則根據(jù)⊥m，得·m＝0，所以(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，化簡得x＋2y－z－2＝0.故所求平面方程為x＋2y－z－2＝0. [答案]　x＋2y－z－2＝0 本題求解的關鍵是具體探究所給解題過程：設P(x，y)為所求直線上的任一點，則根據(jù)⊥n，得·n＝0，所以4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化簡得4x－y＋11＝0.類比此解題過

17、程，即可輕松解決目標問題． [活學活用4] (1)“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”說明同一事物從不同角度看，我們會有不同的認識．在數(shù)學解題活動中，倘若能恰當?shù)馗淖兎治鰡栴}的角度，往往會有“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”之感．請閱讀以下問題及其解答： 問題：對任意a∈[－1,1]，不等式x2＋ax－2≤0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍． 解析：令f(a)＝xa＋(x2－2)，則對任意的a∈[－1,1]，不等式x2＋ax－2≤0恒成立，等價于解得－1≤x≤1.故實數(shù)x的取值范圍是[－1,1]． (2)類比上述解法，可得關于x的方程2x3－ax2－8x－(a2＋4a)＝0(a＜1)的根為_

18、___________． 解析：因為2x3－ax2－8x－(a2＋4a)＝0，所以a2＋(x2＋4)a－2(x3－4x)＝0，所以[a－2(x－2)][a＋(x2＋2x)]＝0，解得a＝2(x－2)或a＝－x2－2x，故所求方程的根為x1＝2＋，x2＝－1＋，x3＝－1－. 答案：－1－ 　　　設置“新考查方向” “新考查方向”試題是指試題考查的方式、方法與常規(guī)試題不同，此類試題設計新穎，注意對所學數(shù)學知識、方法的有效整合，側(cè)重考查考生的綜合運用能力．此類型問題的設置充分體現(xiàn)了考綱要求．“以能力立意”，側(cè)重體現(xiàn)對知識的理解和應用，尤其是綜合和靈活的應用，以此來檢測考生將知識遷移到不同情

19、境中去的能力，從而檢測出考生的理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能． [例5]　 我市某高中從高三年級甲、乙兩個班中各選出7名學生參加全國高中數(shù)學聯(lián)賽(河南預賽)，他們?nèi)〉玫某煽?滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的中位數(shù)是81，乙班學生成績的平均數(shù)是86.若正實數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則＋的最小值為(　　) A. B．2 C. D．9 解析：C　[由題意及莖葉圖可知80＋x＝81，＝86，則x＝1，y＝4.因為正實數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，所以2G＝a＋b，G2＝xy＝4，所以a＋b＝4，所以＋

20、＝·＝＋＋≥＋2 ＝，當且僅當b＝2a＝時取等號．故選C.] 本題以統(tǒng)計、數(shù)列知識為背景，考查基本不等式的運用，設計新穎，綜合性強，體現(xiàn)了在知識交匯處命題的特點．根據(jù)樣本的數(shù)字特征及莖葉圖求得x，y的值，并利用等差、等比中項建立關于a，b的等量關系，即可將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的基本不等式求最值問題． [活學活用5] (2017·全國卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ 的最大值為(　　) A．3 B．2 C. D．2 解析：A　[如圖，建立平面直角坐標系 則A(0,1)，B(0,0)，D(2,1)，C(2,0)，設P(x，y) 根據(jù)等面積公式可得圓的半徑r是，即圓的方程是(x－2)2＋y2＝ ＝(x，y－1)，＝(0，－1)，＝(2,0)，若滿足＝λ＋μ， 即，μ＝，λ＝1－y，所以λ＋μ＝－y＋1，設z＝－y＋1，即－y＋1－z＝0，點P(x，y)在圓(x－2)2＋y2＝上，所以圓心到直線的距離d≤r，即≤，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3，故選A.] - 7 -