2019版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第九章 計數(shù)原理與概率 第59講 幾何概型學案
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1、 第59講 幾何概型 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.了解隨機數(shù)的意義,能運用模擬方法估計概率. 2.了解幾何概型的意義. 2017·全國卷Ⅰ,2 2017·江蘇卷,7 幾何概型主要考查事件發(fā)生的概率與構(gòu)成事件區(qū)域的長度、角度、面積、體積有關(guān)的實際問題,注重考查數(shù)形結(jié)合思想和邏輯思維能力. 分值:5分 1.幾何概型 如果事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的__長度(面積或體積)__成比例,而與A的形狀和位置無關(guān)則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型. 2.幾何概型的兩個特點 一是__無限性__,即在一次試驗中,基本事件的個數(shù)可以是無限的;二是__
2、等可能性__,即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的.因此,用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的,同屬于“比例解法”,即隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的__圖形面積(體積、長度)__”與“試驗的基本事件所占的__總面積(總體積、總長度)__”之比來表示. 3.在幾何概型中,事件A的概率的計算公式 P(A)=____. 4.幾種常見的幾何概型 (1)與長度有關(guān)的幾何概型,其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān). (2)與面積有關(guān)的幾何概型,其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān),若已知圖形不明確,可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標,這樣基本就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域
3、,即可借助平面區(qū)域解決問題; (3)與體積有關(guān)的幾何概型,可借助空間幾何體的體積公式解答問題. 1.思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”). (1)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.( √ ) (2)相同環(huán)境下兩次隨機模擬得到的概率的估計值是相等的.( × ) (3)幾何概型中,每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點,該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等.( √ ) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.( √ ) 解析 (1)正確.由隨機模擬方法及幾何概型可知,該說法正確. (2)錯誤.雖然環(huán)境相同,但是因為隨機模擬得到的是某一次的頻率
4、,所以結(jié)果不一定相等. (3)正確.由幾何概型的定義知,該說法正確. (4)正確.由幾何概型的定義知,該說法正確. 2.在區(qū)間(15,25]內(nèi)的所有實數(shù)中隨機抽取一個實數(shù)a,則這個實數(shù)滿足17<a<20的概率是( C ) A. B. C. D. 解析 ∵a∈(15,25],∴P(17<a<20)==. 3.有一杯2 L的水,其中含有1個細菌,用一個小杯從水中取0.1 L水,則小杯水中含有這個細菌的概率為( C ) A.0.01 B.0.02 C.0.05 D.0.1 解析 因為取水是隨機的,而細菌在2 L水中的任何位置是等可能的,則小杯水中含有這個細菌的概率
5、為P==0.05. 4.已知x是[-4,4]上的一個隨機數(shù),則使x滿足x2+x-2<0的概率為( B ) A. B. C. D.0 解析 x2+x-2<0?-2<x<1,則P==. 5.某路公共汽車每5 min發(fā)車一次,某乘客到乘車點時刻是隨機的,則他候車時間不超過3 min的概率是( A ) A. B. C. D. 解析 此題可以看成向區(qū)間[0,5]內(nèi)均勻投點,求點落入[2,5]內(nèi)的概率.設(shè)A={某乘客候車時間不超過3 min}. 則P(A)==. 一 與長度、角度有關(guān)的幾何概型 (1)設(shè)線段l是線段L的一部分,向線段L上任投一點,點落在
6、線段l的概率為P=. (2)當涉及射線的轉(zhuǎn)動,如扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時,應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率,且不可用線段代替,這是兩種不同的度量手段. 【例1】 (1)(2017·江蘇卷)記函數(shù)f(x)=的定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機取一個數(shù)x,則x∈D的概率是 . (2)(2016·全國卷Ⅰ)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是( B ) A. B. C. D. 解析 (1)由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,則D=[-2,3],
7、則所求概率為=. (2)由題意得圖: 由圖得等車時間不超過10分鐘的概率為. 二 與面積有關(guān)的幾何概型 與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型,解題的關(guān)鍵是對所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計算,基本方法是數(shù)形結(jié)合. 【例2】 (1)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)隨機取兩個實數(shù)x,y,則滿足y≥x2-1的概率是( D ) A. B. C. D. (2)(2017·全國卷Ⅰ)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是( B ) A. B
8、. C. D. 解析 (1)如圖滿足y≥x2-1的概率為陰影部分面積與正方形面積的比, ∵ [1-(x2-1)]dx= (2-x2)dx=|=,,∴P===.,(2)不妨設(shè)正方形的邊長為2,則正方形的面積為4,正方形的內(nèi)切圓的半徑為1,面積為π.由于正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱,所以黑色部分的面積為,故此點取自黑色部分的概率為=,故選B., 三 與體積有關(guān)的幾何概型,, 對于與體積有關(guān)的幾何概型問題,關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間),對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求. 【例3】 (1)在棱長為2的正方體AB
9、CD-A1B1C1D1中,點O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P,則點P到點O的距離大于1的概率為__1-__. (2)在體積為V的三棱錐S-ABC的棱AB上任取一點P,則三棱錐S-APC的體積大于的概率是____. 解析 (1)正方體的體積為2×2×2=8,以O(shè)為球心,1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為×πr3=×π×13=π,則點P到點O的距離大于1的概率為:1-=1-. (2)由題意知>,三棱錐S-ABC的高與三棱錐S-APC的高相同.作PM⊥AC于M,BN⊥AC于N,則PM,BN分別為△APC與△ABC的高,所以==>,,又=,所以>,故所求
10、的概率為(即為長度之比). 1.把半徑為2的圓分成相等的四段弧,再將四段弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi),現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點,此點落在星形內(nèi)的概率為( A ) A.-1 B. C.- D. 解析 這是一道幾何概型概率計算問題.星形弧半徑為2,所以點落在星形內(nèi)的概率為P==-1,故選A. 2.在區(qū)間[-1,1]上隨機取一個數(shù)x,使cos 的值介于0到之間的概率為( A ) A. B. C. D. 解析 在區(qū)間[-1,1]上隨機取一個數(shù)x,試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為2. ∵-1≤x≤1,∴-≤x≤. 由0≤cos x≤,得≤x≤或-≤x≤-, ∴
11、≤x≤1或-1≤x≤-. 設(shè)事件A為“cos x的值介于0到之間”,則事件A發(fā)生對應(yīng)的區(qū)域長度為. ∴P(A)==. 3.在區(qū)間[-2,2]上隨機取一個數(shù)x,使-≤1成立的概率為____. 解析 在區(qū)間[-2,2]上隨機取一個數(shù)x,則-2≤x≤2,而不等式|x+1|-|x-1|≤1的解集為x≤.又因為-2≤x≤2, 故-2≤x≤,所以使不等式成立的概率為P==. 4.如圖,在邊長為1的正方形OABC中任取一點,則該點落在陰影部分的概率為____. 解析 根據(jù)題意,可以求得陰影部分的面積為 S=(-x2)dx=|=,,故該點落在陰影部分的概率為P==. 易錯點 幾何概型
12、概念不清, 錯因分析:對事件中的幾何元素認識不清晰,導(dǎo)致解題錯誤. 【例1】 (1)在等腰Rt△ABC中,在斜邊AB上任取一點M,則AM<AC的概率為________. (2)在等腰Rt△ABC中,過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM,與線段AB交于點M,則AM<AC的概率為________. 解析 (1)這是一個與長度有關(guān)的幾何概型問題,在AB上截取AC′=AC,于是P(AM<AC)=P(AM<AC′)===. (2)這是一個與角度有關(guān)的幾何概型問題,在AB上截取AC′=AC,則∠ACC′==67.5°,而∠ACB=90°,于是P(AM<AC)=P(AM<AC′)==.
13、 答案 (1) (2) 【跟蹤訓練1】 (2016·山東卷)在[-1,1]上隨機地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為____. 解析 直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交的充要條件為<3,解之得-<k<,,故所求概率為P==. 課時達標 第59講 [解密考綱]幾何概型在高考中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn). 一、選擇題 1.在區(qū)間[-2,3]上隨機選取一個數(shù)X,則X≤1的概率為( B ) A. B. C. D. 解析 區(qū)間[-2,3]的長度為3-(-2)=5,[-2,1]的長度為1-(-2)=3,故滿足條件的概率P=.
14、 2.設(shè)p在[0,5]上隨機地取值,則關(guān)于x的方程x2+px+1=0有實數(shù)根的概率為( C ) A. B. C. D. 解析 方程有實根,則Δ=p2-4≥0,解得p≥2或p≤-2(舍去).所以所求概率為=. 3.在區(qū)間[0,2π]上任取一個數(shù)x,則使得2sin x>1的概率為( C ) A. B. C. D. 解析 ∵2sin x>1,x∈[0,2π],∴x∈, ∴p==,故選C. 4.如圖所示,半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在圓中隨機扔一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是,則陰影部分的面積是( D ) A. B.π C.2π
15、 D.3π 解析 設(shè)陰影部分的面積為S1,圓的面積S=π×32=9π,由幾何概型的概率計算公式得=,得S1=3π. 5.(2018·北京昌平模擬)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到直線y+2=0的距離大于2的概率是( D ) A. B. C. D. 解析 作出平面區(qū)域可知平面區(qū)域D是以A(4, 3),B(4,-2),C(-6,-2)為頂點的三角形區(qū)域,當點在△AED區(qū)域內(nèi)時,點到直線y+2=0的距離大于2.P===,故選D. 6.(2016·全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…yn,構(gòu)成n個數(shù)對(x1
16、,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為( C ) A. B. C. D. 解析 如圖,數(shù)對(xi,yi)(i=1,2,…,n)表示的點落在邊長為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界),兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi),則由幾何概型的概率公式可得=?π=.故選C. 二、填空題 7.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,在正方體內(nèi)隨機取點M,則使四棱錐M-ABCD的體積小于的概率為____. 解析 當VM-ABCD=時,即×1×1×h=,解得h=
17、,即點M到底面ABCD的距離小于,所以所求概率P==.
8.記集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1和Ω2,若在區(qū)域Ω1內(nèi)任取一點M(x,y),則點M落在區(qū)域Ω2的概率為____.
解析 作圓O:x2+y2=4,區(qū)域Ω1就是圓O內(nèi)部(含邊界),其面積為4π,區(qū)域Ω2就是圖中△AOB內(nèi)部(含邊界),其面積為2,因此所求概率為=.
9.在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機地取出兩個數(shù),則兩數(shù)之和小于的概率是____.
解析 設(shè)隨機取出的兩個數(shù)分別為x,y,則0 18、為P==.
三、解答題
10.甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭,它們在一晝夜內(nèi)任何時刻到達是等可能的.
(1)如果甲船和乙船的停泊時間都是4小時,求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率;
(2)如果甲船的停泊時間為4小時,乙船的停泊時間為2小時,求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率.
解析 (1)設(shè)甲、乙兩船到達時間分別為x,y,
則0≤x<24,0≤y<24,
且y-x>4或y-x<-4.
作出區(qū)域
設(shè)“兩船無需等待碼頭空出”為事件A,
則P(A)==.
(2)當甲船的停泊時間為4小時,乙船的停泊時間為2小時,兩船不需等待碼頭空出,則滿 19、足x-y>2或y-x>4.設(shè)在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出”為事件B,畫出區(qū)域
則P(B)===.
11.已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干,其標號為0的小球1個,標號為1的小球1個,標號為2的小球n個.若從袋子中隨機抽取1個小球,取到標號為2的小球的概率是.
(1)求n的值;
(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球,記第一次取出的小球標號為a,第二次取出的小球標號為b.
①記“2≤a+b≤3”為事件A,求事件A的概率;
②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個實數(shù)x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.
解析 (1)由題意共有小球n+2個,標號為2的小球n個 20、.從袋子中隨機抽取1個小球,取到標號為2的小球的概率是=,解得n=2.
(2)①從袋子中不放回地隨機抽取2個球,記第一次取出的小球標號為a,第二次取出的小球標號為b,則取出2個小球的可能情況共有12種結(jié)果,令滿足“2≤a+b≤3”為事件A,則事件A共有8種結(jié)果,故P(A)==;
②由①可知(a-b)2≤4,故x2+y2>4,(x,y)可以看成平面中點的坐標,則全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},由幾何概型可得概率為
P==1-.
12.甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動,對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下:
甲商場:顧客轉(zhuǎn)動如圖所示圓盤 21、,當指針指向陰影部分(圖中四個陰影部分均為扇形,且每個扇形圓心角均為15°,邊界忽略不計)即為中獎.
乙商場:從裝有3個白球3個紅球的盒子中一次性摸出2個球(球除顏色外不加區(qū)分),如果摸到的是2個紅球,即為中獎.
問:購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大?
解析 如果顧客去甲商場,試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為圓盤,面積為πR2(R為圓盤的半徑),陰影區(qū)域的面積為=.所以,在甲商場中獎的概率為P1==.
如果顧客去乙商場,記盒子中3個白球為a1,a2,a3,3個紅球為b1,b2,b3,記(x,y)為一次摸球的結(jié)果,則一切可能的結(jié)果有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3 ),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3 ),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共15種.
摸到的2個球都是紅球有(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共3個,所以在乙商場中獎的概率為P2==,又P1
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