2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第3節(jié) 隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型教學(xué)案 理（含解析）北師大版

《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第3節(jié) 隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型教學(xué)案 理（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第3節(jié) 隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型教學(xué)案 理（含解析）北師大版（10頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)　隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型 [考綱傳真]　1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.4.會計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.5.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)概率.6.了解幾何概型的意義． 1．頻率與概率 在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．這時，我們把這個常數(shù)叫作隨機(jī)事件A的概率，記作P(A)． 2．事件的關(guān)系與運(yùn)算 互斥事件：在一個隨機(jī)試驗(yàn)中，我

2、們把一次試驗(yàn)下不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件． 事件A＋B：事件A＋B發(fā)生是指事件A和事件B至少有一個發(fā)生． 對立事件：不會同時發(fā)生，并且一定有一個發(fā)生的事件是相互對立事件． 3．概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A與事件B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件A與事件互為對立事件，則P(A)＝1－P()． 4．古典概型與幾何概型 名稱 古典概型 幾何概型 相同點(diǎn) 基本事件發(fā)生的可能性相等 不同

3、點(diǎn) 基本事件有有限個 基本事件有無限個 計(jì)算公式 P(A)＝ P(A)＝. 　如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則稱這n個事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率． (　　) (2)在大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值． (　　) (3)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件． (　　) (4)概率為0的事件一定為不可能事件． (　　) [答案]　(1)√　(2)

4、√　(3)√　(4)× 2．某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下： 射擊次數(shù) 10 20 50 100 200 500 擊中靶心次數(shù) 8 19 44 92 178 455 這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是(　　) A．0.80　　　B．0.85　　　C．0.90　　　 D．0.99 C　[由題意，該射手擊中靶心的頻率大約在0.9附近上下波動，故其概率約為0.90.故選C.] 3．(教材改編)投擲兩枚均勻的硬幣，則兩枚硬幣均正面朝上的概率是(　　) A. B． C. D． A　[P＝×＝，故選A.] 4．(教材改編)有四個游戲盤，將它們水平放

5、穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機(jī)會，應(yīng)選擇的游戲盤是(　　) A　[P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， ∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．] 5．對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一次擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一次擊中飛機(jī)}，其中彼此互斥的事件是________，互為對立事件的是________． A與B，A與C，B與C，B與D　B與D　[設(shè)I為對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因?yàn)锳∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，A與C，B與

6、C，B與D為互斥事件．而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件．] 隨機(jī)事件的頻率與概率 【例1】　(2017·全國卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20)

7、 [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率． [解]　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6. (2)當(dāng)這種酸奶一天的

8、進(jìn)貨量為450瓶時， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300； 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100. 所以，Y的所有可能值為900,300，－100. Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8. [規(guī)律方法]　(1)概率與頻率的關(guān)系 概率是常數(shù)，是頻率的穩(wěn)定值，頻率是變量，是概率的近似值．有時也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值． (2)

9、隨機(jī)事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率． 易錯警示：概率的定義是求一個事件概率的基本方法． (2019·鄭州模擬)某商店計(jì)劃每天購進(jìn)某商品若干件，商店每銷售一件該商品可獲得利潤50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品虧損10元；若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑，此時每件調(diào)劑商品可獲得利潤30元． (1)若商店一天購進(jìn)該商品10件，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天的需求量n(單位：件，n∈N*)的函數(shù)解析式； (2)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件)，整理得下表： 日需求量n

10、/件 8 9 10 11 12 頻數(shù) 9 11 15 10 5 (ⅰ)假設(shè)商店在這50天內(nèi)每天購進(jìn)10件該商品，求這50天的日利潤的平均數(shù)； (ⅱ)若商店一天購進(jìn)10件該商品，以50天記錄的各日需求量的頻率作為各日需求量的概率，求當(dāng)天的利潤大于500元的概率． [解]　(1)當(dāng)日需求量n≥10時，利潤y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200； 當(dāng)日需求量n＜10時，利潤y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100. 所以日利潤y關(guān)于日需求量n的函數(shù)解析式為 y＝ (2)(ⅰ)由(1)及表格可知，這50天中有9天的日利潤為380元，有11天的日利

11、潤為440元，有15天的日利潤為500元，有10天的日利潤為530元，有5天的日利潤為560元， 所以這50天的日利潤的平均數(shù)為×(380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×5)＝477.2(元)． (ⅱ)若當(dāng)天的利潤大于500元，則日需求量大于10件， 則當(dāng)天的利潤大于500元的概率P＝＝. 古典概型 【例2】　(1)(2018·全國卷Ⅱ)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是(　　) A.　　　

12、　　　　　 B． C. D． (2)(2017·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A. B． C. D． (1)C　(2)D　[(1)不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，從中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)有C種不同的取法，這10個數(shù)中兩個不同的數(shù)的和等于30的有3對，所以所求概率P＝＝，故選C. (2)從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的

13、事件數(shù)為10， ∴所求概率P＝＝. 故選D．] [規(guī)律方法]　1.計(jì)算古典概型事件的概率可分三步：(1)計(jì)算基本事件總個數(shù)n；(2)計(jì)算事件A所包含的基本事件的個數(shù)m；(3)代入公式求出概率P. 2．(1)用列舉法寫出所有基本事件時，可借助“樹狀圖”列舉，以便做到不重、不漏． (2)利用排列、組合計(jì)算基本事件時，一定要分清是否有序，并重視兩個計(jì)數(shù)原理的靈活應(yīng)用． (1)(2019·武漢模擬)將7個相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個不同的小盒中，每個小盒中至少有1個小球，那么甲盒中恰好有3個小球的概率為(　　) A. B． C. D． (2)(2018·石家莊一模)用1

14、,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，若用a1，a2，a3，a4，a5分別表示五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個位，則出現(xiàn)a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數(shù)的概率為________． (1)C　(2)　[(1)將7個相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個不同的小盒中，每個小盒中至少有1個小球有C種放法，甲盒中恰好有3個小球有C種放法，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率為＝.故選C. (2)1,2,3,4,5可組成A＝120個不同的五位數(shù)，其中滿足題目條件的五位數(shù)中，最大的5必須排在中間，左、右各兩個數(shù)字只要選出，則排列位置就隨之而定，滿足條件的五位數(shù)有CC＝6個，故出現(xiàn)a1＜a2＜a3

15、＞a4＞a5特征的五位數(shù)的概率為＝.] 幾何概型 【例3】　(1)(2016·全國卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A. B． C. D． (2)(2018·合肥二模)小李從網(wǎng)上購買了一件商品，快遞員計(jì)劃在下午5：00到6：00之間送貨上門，已知小李下班到家的時間在下午5：30到6：00之間．快遞員到小李家時，如果小李未到家，則快遞員會電話聯(lián)系小李．若小李能在10分鐘之內(nèi)到家，則快遞員等小李回來；否則，就將商品存放在快遞柜中．則小李需

16、要去快遞柜領(lǐng)取商品的概率為(　　) A. B． C. D． (3)已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)O，則四棱錐O-ABCD的體積不小于的概率為________． (1)B　(2)D　(3)　[(1)這是幾何概型問題，總的基本事件空間如圖所示，共40分鐘，等車時間不超過10分鐘的時間段為：7：50至8：00和8：20至8：30，共20分鐘，故他等車時間不超過10分鐘的概率為＝，故選 B． (2)如圖，設(shè)快遞員和小李分別在下午5點(diǎn)后過了x分鐘和y分鐘到小李家，則所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(x，y)

17、|0≤x≤60,30≤y≤60}，這是一個矩形區(qū)域，y－x＞10表示小李比快遞員晚到超過10分鐘，事件M表示小李需要去快遞柜領(lǐng)取商品，其所構(gòu)成的區(qū)域是如圖所示的直角梯形ABCD的內(nèi)部區(qū)域及邊界(不包含AB)，由可得即A(50,60)，由可得即B(20,30)，所以由幾何概型的概率計(jì)算公式可知P(M)＝＝，故選 D． (3)當(dāng)四棱錐O-ABCD的體積為時，設(shè)O到平面ABCD的距離為h，則×22×h＝，解得h＝. 如圖所示，在四棱錐P-ABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH與底面ABCD的距離為. 因?yàn)镻A⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝， 所以四棱錐O-ABCD的體

18、積不小于的概率P＝＝3＝3＝.] [規(guī)律方法]　解答幾何概型試題要善于根據(jù)題目特點(diǎn)尋找基本事件所在線、面、體，尋找隨機(jī)事件所在的線、面、體，把幾何概型的計(jì)算轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的長度、面積和體積的比值的計(jì)算． (1)在線段上取點(diǎn)，則點(diǎn)在線段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線，則射線在角內(nèi)的分布等可能． (2)兩個變量在某個范圍內(nèi)取值，對應(yīng)的“區(qū)域”是面積． (1)隨機(jī)地取兩個實(shí)數(shù)x和y，使得x∈[－1,1]，y∈[0,1]，則滿足y≥x2的概率是(　　) A. B． C. D． (2) 如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與AB交于點(diǎn)M，則A

19、M＜AC的概率為________． (1)B　(2)　[(1)滿足x∈[－1,1]，y∈[0,1]的區(qū)域?yàn)榫匦螀^(qū)域(包括邊界)(圖略)，面積為2，滿足y≥x2的區(qū)域的面積S＝－1(1－x2)dx＝|＝，故所求概率P＝＝.故選B． (2)在AB上取AC′＝AC(圖略)，則∠ACC′＝＝67.5°， 記A＝{在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM與線段AB交于點(diǎn)M，AM＜AC}， 則所有可能結(jié)果的區(qū)域?yàn)椤螦CB， 事件A構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤螦CC′. 又∠ACB＝90°，∠ACC′＝67.5°， ∴P(A)＝＝.] 1．(2018·全國卷Ⅰ)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖

20、由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(　　) A．p1＝p2　　　　　　　 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3 A　[設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝bc，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π×2＋π×2－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由幾何概型的知識知p1＝p2，故選A.] 2．(2017·全國卷Ⅰ)如

21、圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(　　) A. B． C. D． B　[不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4. 由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得S黑＝S白＝S圓＝，所以由幾何概型知所求概率P＝＝＝. 故選B．] 3．(2016·全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方

22、和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B． C. D． C　[因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對應(yīng)的數(shù)對在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)對)，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對有m個．用隨機(jī)模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝.] 4．(2014·全國卷Ⅰ)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為(　　) A. B． C. D． D　[4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動的情況有24＝16(種)，其中僅在周六(周日)參加的各有1種， ∴所求概率為1－＝.] - 10 -