2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第1節(jié) 空間幾何體的三視圖和直觀圖、表面積與體積教學(xué)案 理（含解析）北師大版

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1、第一節(jié)　空間幾何體的三視圖和直觀圖、表面積與體積 [考綱傳真]　1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.3.會(huì)用平行投影方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.4.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式． 1．簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形； (2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形； (3)

2、棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形． 2．旋轉(zhuǎn)體的形成 幾何體 旋轉(zhuǎn)圖形 旋轉(zhuǎn)軸 圓柱 矩形 任一邊所在的直線 圓錐 直角三角形 任一直角邊所在的直線 圓臺(tái) 直角梯形 垂直于底邊的腰所在的直線 球 半圓或圓 直徑所在的直線 3.三視圖與直觀圖 三視圖 畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等 直觀圖 斜二測(cè)畫法： (1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直. (2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀

3、圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半. 4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 側(cè)面 展開 圖　 側(cè)面 積公 式　 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l 5.柱體、錐體、臺(tái)體和球的表面積和體積 　　　　名稱 幾何體　　　 表面積 體積 柱體 (棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體 (棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺(tái)體 (棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2

4、V＝πR3 1．按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系： S直觀圖＝S原圖形，S原圖形＝2S直觀圖． 2．多面體的內(nèi)切球與外接球常用的結(jié)論 (1)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切球半徑r＝，外接球半徑R＝a. (2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑R＝. (3)設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則它的高為a，內(nèi)切球半徑r＝a，外接球半徑R＝a. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱． (　　) (2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三

5、角形的幾何體是棱錐． (　　) (3)菱形的直觀圖仍是菱形． (　　) (4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是(　　) A．圓柱　　　　　　　 B．圓錐 C．四面體 D．三棱柱 A　[由三視圖知識(shí)知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形．] 3．(教材改編)如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是(　　) A．棱臺(tái) B．四棱柱 C．五棱柱 D

6、．簡(jiǎn)單組合體 C　[由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．] 4．(教材改編)已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為(　　) A．1 cm　　　　　　　　 B．2 cm C．3 cm D． cm B　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4， ∴r＝2(cm)．] 5．一個(gè)六棱錐的體積為2，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________． 12　[設(shè)正六棱錐的高為h，棱錐的斜高為h′. 由題意，得×6××2××h＝2， ∴h＝1， ∴斜高h(yuǎn)′＝＝2， ∴S側(cè)＝

7、6××2×2＝12.] 空間幾何體的三視圖和直觀 1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ) 中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 　　　 A　　　　B　　　　C　　　 D A　[由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見(jiàn)，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A.] 2．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(　　) A.a2　　 B．a(chǎn)2　　 C.

8、a2　　 D．a(chǎn)2 D　[法一：如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖， 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a， 在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′， 則C′D′＝O′C′＝a， 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2. 法二：S△ABC＝×a×asin 60°＝a2， 又S直觀圖＝S原圖＝×a2＝a2.故選D．] 3．某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙的小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)是(　　) A. B． C. D．3 A　[由三視圖可知該幾何體為一個(gè)三棱錐D-ABC，如圖，將其置于長(zhǎng)方體中，該長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的

9、正方形，高為2. 所以AB＝1，AC＝，BC＝，CD＝，DA＝2，BD＝， 因此最長(zhǎng)棱為BD，棱長(zhǎng)是.] 空間幾何體的表面積與體積 ?考法1　根據(jù)幾何體的三視圖計(jì)算表面積、體積 【例1】　(1)(2018·合肥一模)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．5π＋18 B．6π＋18 C．8π＋6 D．10π＋6 (2)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π B．6

10、3π C．42π D．36π (1)C　(2)B　[(1)由三視圖可知該幾何體是由一個(gè)半圓柱和兩個(gè)半球構(gòu)成的，故該幾何體的表面積為2××4π×12＋2××π×12＋2×3＋×2π×1×3＝8π＋6. (2)法一(分割法)：由題意知，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積V1＝π×32×4＝36π. 上半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為6的圓柱的一半， 其體積V2＝×π×32×6＝27π. 所以該組合體的體積V＝V1＋V2＝36π＋27π＝63π. 法二(補(bǔ)形法)：由題意知，該幾何體是一圓柱被一平面截去一部分后所得的幾何體，在該幾何體上方再補(bǔ)上一個(gè)與

11、其相同的幾何體，讓截面重合，則所得幾何體為一個(gè)圓柱，故圓柱的底面半徑為3，高為10＋4＝14，該圓柱的體積V1＝π×32×14＝126π. 故該幾何體的體積為圓柱體積的一半， 即V＝V1＝63π. 法三(估值法)：由題意，知V圓柱＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，所以45π＜V幾何體＜90π.觀察選項(xiàng)可知只有63π符合．] ?考法2　求空間幾何體的表面積、體積 【例2】　(1)(2019·南昌模擬)如圖，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若將該直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體的表面積為________． (2)如圖，正

12、方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為________． (1)(＋3)π　(2)　[(1)由圖中數(shù)據(jù)可得：S圓錐側(cè)＝×π×2×＝π，S圓柱側(cè)＝π×2×1＝2π，S底面＝π×12＝π. 所以幾何體的表面積S＝S圓錐側(cè)＋S圓柱側(cè)＋S底面＝π＋2π＋π＝(＋3)π. (2)(等積法)三棱錐D1-EDF的體積即為三棱錐F-DD1E的體積． 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點(diǎn)，所以在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△EDD1的面積為定值，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以VD1-EDF＝VF-DD1E＝××1

13、＝.] [規(guī)律方法]　(1)以三視圖為載體的表面積、體積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量，必須還原出直觀圖． (2)若所給定的幾何體的體積不能直接得出，則常用轉(zhuǎn)化法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解． (1)(2016·全國(guó)卷Ⅰ) 如圖所示，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A．17π B．18π C．20π D．28π (2)(2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A.＋1 B．＋3 C.＋1 D．

14、＋3 (3)如圖所示，已知多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為________． (1)A　(2)A　(3)4　[(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖． 設(shè)球的半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π.故選A. (2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個(gè)底面為直角邊長(zhǎng)是的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體， ∴該幾何體的體積 V＝

15、×π×12×3＋××××3＝＋1. 故選A. (3)法一：(分割法)因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DG于H，連接EH，即把多面體分割成一個(gè)直三棱柱DEH-ABC和一個(gè)斜三棱柱BEF-CHG. 由題意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝×2＝2.故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝2＋2＝4. 法二：(補(bǔ)形法) 因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行， 如圖所示，將多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為2的正方體，顯然所求多面體的體積即該正方體體積的一半． 又正方體的體積V正方體ABHI-DEKG＝23＝8，故所求幾

16、何體的體積為V多面體ABCDEFG＝×8＝4.] 與球有關(guān)的切、接問(wèn)題 【例3】　 (2016·全國(guó)卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B． C．6π D． B　[由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設(shè)球的半徑為R，∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤， ∴Vmax＝π3＝π.故選B．] [母題探究]　(1)若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，A

17、A1＝12，求球O的表面積． (2)若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，求該球的體積． [解]　(1)將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABEC-A1B1E1C1(圖略)， 則球O是長(zhǎng)方體ABEC-A1B1E1C1的外接球， 所以體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑． 因此2R＝＝13， 故S球＝4πR2＝169π. (2)如圖，設(shè)球心為O，半徑為r， 則在Rt△AFO中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝， 則球O的體積V球＝πr3＝π×3＝. [規(guī)律方法]　與球有關(guān)的切、接問(wèn)題的求解方法 (1)與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是

18、外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題． (2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體． ①利用2R＝求R. ②確定球心位置，把半徑放在直角三角形中求解． (3)一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐問(wèn)題：可補(bǔ)形成直三棱柱． (1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝2，則球O的體積為(　　) A．4π B．8π C．12π D．20π (2)(2019·福

19、建十校聯(lián)考)已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，則此三棱錐的外接球的體積為(　　) A.π B．π C.π D．π (1)A　(2)B　[(1)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圓的半徑為r＝＝＝，則直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半徑為R＝＝＝，則直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的體積為πR3＝4π.故選A. (2)∵AB＝，BC＝，AC＝2，∴PA＝1，PC＝，PB＝2.以PA，PB，PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖所示， 則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC的外接球． ∵長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為＝2，

20、 ∴球的直徑為2，半徑R＝， 因此，三棱錐P-ABC外接球的體積是πR3＝π×()3＝π.故選B． 1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(　　) A．2　　　　　　　 B．2 C．3 D．2 B　[由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16.畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為＝＝2.故選B． ] 圖①　

21、　　　　　　　　　　圖② 2.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 B　[設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為x，則x2sin 60°＝9，得x＝6.設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則2r＝，解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距離d＝＝2，則點(diǎn)D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值Vmax＝S△ABC×6＝×9×6＝18.] 3．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同

22、一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B． C. D． B　[設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1， 由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知， r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形． ∴r＝＝. ∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝. 故選B．] 4．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81 B　[由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積

23、為(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故選B．] 5．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的主視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝(　　) A．1　　　　B．2 C．4　　　　D． B　[如圖，該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故選B．] 6．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑

24、為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________． 4　[如圖，連接OD，交BC于點(diǎn)G， 由題意，知OD⊥BC，OG＝BC. 設(shè)OG＝x，則BC＝2x，DG＝5－x， 三棱錐的高h(yuǎn)＝ ＝＝， S△ABC＝×2x×3x＝3x2，則三棱錐的體積 V＝S△ABC·h＝x2· ＝·. 令f(x)＝25x4－10x5，x∈，則f′(x)＝100x3－50x4. 令f′(x)＝0得x＝2.當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)>0，f(x)遞增，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，f(x)遞減，故當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最大值80，則V≤×＝4. ∴三棱錐體積的最大值為4 cm3.] - 13 -