2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級二 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓教學(xué)案

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1、 第1講　直線與圓 [考情考向·高考導(dǎo)航] 對于直線的考查，主要是求直線的方程；兩條直線平行與垂直的判定；兩條直線的交點和距離等問題．一般以選擇題、填空題的形式考查．對于圓的考查，主要是結(jié)合直線的方程，用幾何法或待定系數(shù)法確定圓的標準方程；對于直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等問題，含參數(shù)問題為命題熱點，一般以選擇題、填空題的形式考查，難度不大，涉及圓的解答題有逐漸強化的趨勢． [真題體驗] 1．(2018·全國Ⅲ卷)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6]　　　　　　　　 B．[4,8]

2、 C．[，3] D．[2，3] 解析：A　[由已知A(－2,0)，B(0，－2)．圓心(2,0)到直線x＋y＋2＝0的距離為d＝＝2，又圓的半徑為.∴點P到直線x＋y＋2＝0的距離的最小值為，最大值為3，又|AB|＝2.∴△ABP面積的最小值為Smin＝×2×＝2，最大值為Smax＝×2×3＝6.] 2．(2018·北京卷)在平面直角坐標系中，記d為點P(cos θ，sin θ)到直線x－my－2＝0的距離．當θ，m變化時，d的最大值為(　　) A．1　　　　 B．2　　　　　 C．3　　　　　 D．4 解析：C　[本題考查直線與圓的位置關(guān)系．

3、點P(cos θ，sin θ)是單位圓x2＋y2＝1上的點，直線x－my－2＝0過定點(2,0)，當直線與圓相離時，d可取到最大值，設(shè)圓心到直線的距離為d0，d0＝，d＝d0＋1＝＋1，可知，當m＝0時，dmax＝3，故選C.] 3．(2018·天津卷)在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________． 解析：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 圓經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)，則： 解得 則圓的方程為x2＋y2－2x＝0. 答案：x2＋y2－2x＝0 4．(2018·全國Ⅰ卷)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3

4、＝0交于A，B兩點，則|AB|＝________. 解析：圓方程可化為x2＋(y＋1)2＝4，∴圓心為(0，－1)，半徑r＝2，圓心到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝，∴|AB|＝2＝2＝2. 答案：2 [主干整合] 1．兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在． 2．兩個距離公式 (1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝. (2)點(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝. 3．圓的

5、方程 (1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心為(a，b)，半徑為r. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圓心為，半徑為r＝. 4．直線與圓的位置關(guān)系的判定 (1)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：d＜r?相交；d＝r?相切；d＞r?相離． (2)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式Δ來討論位置關(guān)系：Δ＞0?相交；Δ＝0?相切；Δ＜0?相離． 熱點一　直線的方程及其應(yīng)用 [例1]　(1)(2020·大連模擬)“a＝2”是“直線ax＋y－2＝0與直線2x＋(a－1)y

6、＋4＝0平行”的(　　) A．充要條件　　　　　　　 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　A　[由ax＋y－2＝0與直線2x＋(a－1)y＋4＝0平行，得a(a－1)＝2，∴a＝－1，a＝2.經(jīng)檢驗當a＝－1時，兩直線重合(舍去)．∴“a＝2”是“直線ax＋y－2＝0與直線2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的充要條件．] (2)(2020·廈門模擬)過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且到點P(0,4)的距離為2的直線方程為________________． [解析]　由得所以l1與l2的交點為(1,2)，當所求直

7、線的斜率不存在時，所求直線為x＝1，顯然不符合題意． 故設(shè)所求直線的方程為y－2＝k(x－1)， 即kx－y＋2－k＝0， 因為P(0,4)到所求直線的距離為2，所以2＝，所以k＝0或k＝. 所以所求直線的方程為y＝2或4x－3y＋2＝0. [答案]　y＝2或4x－3y＋2＝0 (3)三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù)，點Bi的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數(shù)，i＝1,2,3. ①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是________

8、． ②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是________． [解析]　設(shè)，線段A1B1的中點為E1(x1，y1)，則Q1＝＝2y1. 因此，要比較Q1，Q2，Q3的大小，只需比較線段A1B1，A2B2，A3B3中點縱坐標的大小，作圖(圖略)比較知Q1最大． 又p1＝＝＝＝，其幾何意義為線段A1B1的中點E1與坐標原點連線的斜率， 因此，要比較p1，p2，p3的大小，只需比較線段A1B1，A2B2，A3B3中點與坐標原點連線的斜率，作圖比較知p2最大． [答案]　①Q(mào)1?、趐2 求解直線方程應(yīng)注意的問題 (1)求解兩條直線平行的問

9、題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況． (2)要注意幾種直線方程的局限性．點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線． (3)求直線方程要考慮直線的斜率是否存在． (2020·寧德模擬)過點M(0,1)作直線，使它被兩條直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的線段恰好被M所平分，則此直線方程為____________． 解析：過點M且與x軸垂直的直線是x＝0，它和直線l1，l2的交點分別為，(0,8)，顯然不符合題意，故可設(shè)所求直線方程為

10、y＝kx＋1，其圖象與直線l1，l2分別交于A，B兩點，則有① ② 由①解得xA＝，由②解得xB＝. 因為點M平分線段AB，所以xA＋xB＝2xM， 即＋＝0，解得k＝－. 故所求的直線方程為y＝－x＋1，即x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0 熱點二　圓的方程及應(yīng)用 [例2]　(1)(山東高考題)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標準方程為________________． [解析]　設(shè)圓C的圓心為(a，b)(b＞0)，由題意得a＝2b＞0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1. ∴所求圓的標準方程為(x－2

11、)2＋(y－1)2＝4. [答案]　(x－2)2＋(y－1)2＝4 (2)(2019·唐山三模)已知A(－2,0)，B(0,2)，實數(shù)k是常數(shù)，M，N是圓x2＋y2＋kx＝0上兩個不同點，P是圓x2＋y2＋kx＝0上的動點，如果M，N關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則△PAB面積的最大值是____________． [解析]　依題意得圓x2＋y2＋kx＝0的圓心位于直線x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圓心坐標是(1,0)，半徑是1.由題意可得|AB|＝2，直線AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圓心(1,0)到直線AB的距離等于＝，點P到直線AB的距離的最大值是＋1，△

12、PAB面積的最大值為×2×＝3＋. [答案]　3＋ 求圓的方程的兩種方法 (1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系，求出圓的基本量：圓心坐標和半徑．如圓中弦所在的直線與圓心和弦中點的連線相互垂直，設(shè)圓的半徑為r，弦長為|AB|，弦心距為d，則r2＝d2＋2等． (2)代數(shù)法：設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．在求圓的方程時，要根據(jù)具體的條件選用合適的方法，但一般情況下，應(yīng)用幾何法運算較簡捷． (1)(2019·臨沂三模)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x＝－2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2x－y－4＝0相切，則圓M的標準方程

13、為________________． 解析：由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標為(a,0)，a＞－2，半徑為r，得 解得滿足條件的一組解為 所以圓M的方程為(x＋1)2＋y2＝4. 答案：(x＋1)2＋y2＝4 (2)(2020·馬鞍山模擬)圓心在曲線y＝(x＞0)上，且與直線2x＋y＋1＝0相切的面積最小的圓的標準方程為________________． 解析：由條件設(shè)圓心坐標為(a＞0)，又因為圓與直線2x＋y＋1＝0相切，所以圓心到直線的距離d＝r＝≥＝，當且僅當2a＝，即a＝1時取等號，所以圓心坐標為(1,2)，圓的半徑的最小值為，則所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5.

14、 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝5 熱點三　直線(圓)與圓的位置關(guān)系 直觀 想象 素養(yǎng) 直觀想象——圓的方程應(yīng)用中的核心素養(yǎng) 以學(xué)過的圓的相關(guān)知識為基礎(chǔ)，借助曲線的方程感知一類問題共同特征的“直觀想象”，然后利用“直觀想象”解決問題. [例3]　(1)(2020·湖北八校聯(lián)考)過點(，0)作直線l與曲線y＝相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于________． [解析]　 令P(，0)，如圖，易知|OA|＝|OB|＝1， 所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，當∠AOB＝90°時，△AOB的面積

15、取得最大值，此時過點O作OH⊥AB于點H，則|OH|＝， 于是sin∠OPH＝＝＝， 易知∠OPH為銳角，所以∠OPH＝30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan 150°＝－. [答案]?。? (2)如圖所示，已知以點A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過點B(－2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P. ①當|MN|＝2時，則直線l的方程為____________． ②若·為定值，則這個定值為________． [解析]?、僭O(shè)圓A的半徑為R. ∵圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴R

16、＝＝2. ∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20. a．當直線l與x軸垂直時，易知x＝－2符合題意； b．當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.連接AQ，則AQ⊥MN. ∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1. 由|AQ|＝＝1，得k＝， ∴直線l的方程為3x－4y＋6＝0. ∴所求直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0. ②∵AQ⊥BP，∴·＝0. ∵·＝(＋)· ＝·＋·＝·. 當直線l與x軸垂直時，得P. 則＝，又＝(1,2)， ∴·＝·＝－5. 當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)． 由解得

17、P. ∴＝. ∴·＝·＝－＝－5. 綜上所述：·為定值，其定值為－5. [答案]　①x＝－2或3x－4y＋6＝0?、冢? 直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量． (2)圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為兩圓心之間的距離問題． (1)(2020·銀川調(diào)研)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2

18、，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是____________． 解析：由題意知圓M的圓心為(0，a)，半徑R＝a，因為圓M截直線x＋y＝0所得線段的長度為2，所以圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝(a＞0)，解得a＝2，又知圓N的圓心為(1,1)，半徑r＝1，所以|MN|＝，則R－r＜＜R＋r，所以兩圓的位置關(guān)系為相交． 答案：相交 (2)(2020·江西七校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是________． 解析： 圓C：(

19、x－4)2＋y2＝1，如圖，直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，只需保證圓心C到y(tǒng)＝kx－2的距離小于等于2即可， ∴≤2?0≤k≤. ∴kmax＝. 答案： 限時40分鐘　滿分80分 一、選擇題(本大題共11小題，每小題5分，共55分) 1．(2020·成都二診)設(shè)a，b，c分別是△ABC中角A，B，C所對的邊，則直線sin A·x＋ay－c＝0與bx－sin B·y＋sin C＝0的位置關(guān)系是(　　) A．平行　　　　　　 　 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 解析：C　[由題意可得直線sin A·x＋ay－c＝0的斜率

20、k1＝－，bx－sin B·y＋sin C＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝－1，則直線sin A·x＋ay－c＝0與直線bx－sin B·y＋sin C＝0垂直，故選C.] 2．(2020·杭州質(zhì)檢)一條光線從點(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 解析：D　[點(－2，－3)關(guān)于y軸的對稱點為(2，－3)，故可設(shè)反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，∵反射光線與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圓心(－3,2)到直線的距離d＝＝1，化簡得12k2

21、＋25k＋12＝0，解得k＝－或－.] 3．(2020·廣州模擬)若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上運動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為(　　) A. B．2 C．3 D．4 解析：C　[由題意知AB的中點M的集合為到直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距離都相等的直線，則點M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離．設(shè)點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據(jù)兩平行線間的距離公式得，＝，即|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根據(jù)點到直線的距離公式，得點M到原點的距離的最小值為＝3.] 4．(2020·河

22、南六校聯(lián)考)已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝1交于A，B兩點，O是坐標原點，向量，滿足|＋|＝|－|，則實數(shù)a的值為(　　) A．1 B．2 C．±1 D．±2 解析：C　[由，滿足|＋|＝|－|，得⊥， 因為直線x＋y＝a的斜率是－1， 所以A，B兩點在坐標軸上并且在圓上； 所以(0,1)和(0，－1)兩點都適合直線的方程，故a＝±1.] 5．(2020·懷柔調(diào)研)過點P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為(　　) A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－ 解析：B　[圓(x－1)2＋y2＝1的圓心

23、為C(1,0)，半徑為1，以|PC|＝＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－.故選B.] 6．(2020·溫州模擬)已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝kx，其中k為[－，]上的任意一個實數(shù)，則事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：D　[當直線l與圓C相離時，圓心C到直線l的距離d＝＞，解得k＞1或k＜－1，又k∈[－，]，所以－≤k＜－1或1＜k≤，故事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率P＝＝，故選D.] 7．(2019·濰坊三模)已知O為坐標原點，A，

24、B是圓C：x2＋y2－6y＋5＝0上兩個動點，且|AB|＝2，則|＋|的取值范圍是(　　) A．[6－2，6＋2] B．[3－，3＋] C．[3,9] D．[3,6] 解析：A　[圓C：x2＋(y－3)2＝4，取弦AB的中點M，連接CM，CA，在直角三角形CMA中，|CA|＝2，|MA|＝1，則|CM|＝＝，則點M的軌跡方程為x2＋(y－3)2＝3，則|＋|＝2||∈[6－2，6＋2]．] 8．(多選題)直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－1＝0有兩個不同的交點的一個充分不必要條件是(　　) A．0

25、[本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷．圓x2＋y2－2x－1＝0的圓心為(1,0)，半徑為.因為直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－1＝0有兩個不同的交點，所以直線與圓相交，因此圓心到直線的距離d＝<，所以|1＋m|<2，解得－3

26、常規(guī)求解法)設(shè)圓C2的圓心坐標為(a，b)，連接AB，C1C2.因為C1(－2,3)，A(0,2)，B(－1,1)，所以|AC1|＝|BC1|＝，所以平行四邊形C1AC2B為菱形，所以C1C2⊥AB且|AC2|＝. 可得解得或則圓心C2的坐標為(1,0)或(－2,3)(舍去)． 因為圓C2的半徑為，所以圓C2的方程為(x－1)2＋y2＝5.故選A. 優(yōu)解　(特值驗證法)由題意可知，平行四邊形C1AC2B為菱形，則|C2A|＝|C1A|＝＝，即圓C2的半徑為，排除B，D；將點A(0,2)代入選項A，C，顯然選項A符合．故選A.] 10．(2020·惠州二測)已知圓C：x2＋y2－2ax－

27、2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)的圓心在直線x－y＋＝0上，且圓C上的點到直線x＋y＝0的距離的最大值為1＋，則a2＋b2的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[化圓C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)為標準方程得C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，其圓心為(a，b)，故a－b＋＝0，即b＝a＋，(a，b)到直線x＋y＝0的距離d＝＝＝，因為圓C上的點到直線x＋y＝0的距離的最大值為1＋，故d＋1＝|2a＋1|＋1＝1＋，得到|2a＋1|＝2，解得a＝－或a＝(舍去)，故b＝×＋＝－，故a2＋b2＝2＋2＝3.選C.] 11．(201

28、9·煙臺三模)已知圓C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和點M(5，t)，若圓C上存在兩點A，B使得MA⊥MB，則實數(shù)t的取值范圍是(　　) A．[－2,6] B．[－3,5] C．[2,6] D．[3,5] 解析：C　[ 當MA，MB是圓C的切線時，∠AMB取得最大值，若圓C上存在兩點A，B使得MA⊥MB，則MA，MB是圓C的切線時，∠AMB≥90°，∠AMC≥45°，且∠AMC＜90°，如圖，所以|MC|＝≤＝，所以16＋(t－4)2≤20，所以2≤t≤6，故選C.] 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分) 12．(雙空填空題)在平面直角坐標系xOy中，已知

29、圓C過點A(0，－8)，且與圓x2＋y2－6x－6y＝0相切于原點，則圓C的方程為___________________________________________， 圓C被x軸截得的弦長為________． 解析：本題考查圓與圓的位置關(guān)系．將已知圓化為標準式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圓心為(3,3)，半徑為3.由于兩個圓相切于原點，連心線過切點，故圓C的圓心在直線y＝x上．由于圓C過點(0,0)，(0，－8)，所以圓心又在直線y＝－4上．聯(lián)立y＝x和y＝－4，得圓心C的坐標(－4，－4)．又因為點(－4，－4)到原點的距離為4，所以圓C的方程為(x＋4)2＋(y＋4)2＝3

30、2，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圓心C到x軸距離為4，則圓C被x軸截得的弦長為2×＝8. 答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0　8 13．(2019·哈爾濱二模)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為________________． 解析：當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，聯(lián)立方程得 得 或∴|AB|＝2，符合題意．當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，∵圓x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圓心為C(1,1)，圓的半徑r＝2，圓心C(1,1)到

31、直線y＝kx＋3的距離d＝＝，∵d2＋2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0. 答案：x＝0或3x＋4y－12＝0 14．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a＞0)相交，公共弦的長為2，則a＝________. 解析：聯(lián)立兩圓方程 可得公共弦所在直線方程為ax＋2ay－5＝0， 故圓心(0,0)到直線ax＋2ay－5＝0的距離為＝(a＞0)． 故2 ＝2， 解得a2＝， 因為a＞0，所以a＝. 答案： 15．(2018·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，A

32、為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·＝0，則點A的橫坐標為________． 解析： ∵AB為直徑 ∴AD⊥BD ∴BD即B到直線l的距離 |BD|＝＝2. ∵|CD|＝|AC|＝|BC|＝r，又CD⊥AB. ∴|AB|＝2|BC|＝2 設(shè)A(a,2a) |AB|＝＝2?a＝－1或3(－1舍去) 答案：3 16．(2020·廈門模擬)為保護環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，鎮(zhèn)政府決定為A，B，C三個自然村建造一座垃圾處理站，集中處理A，B，C三個自然村的垃圾，受當?shù)貤l件限制，垃圾處理站M只能建在與A村相距5 km，且與C村

33、相距 km的地方．已知B村在A村的正東方向，相距3 km，C村在B村的正北方向，相距3 km，則垃圾處理站M與B村相距________km. 解析：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)． 由題意得垃圾處理站M在以A(0,0)為圓心，5為半徑的圓A上，同時又在以C(3,3)為圓心，為半徑的圓C上，兩圓的方程分別為x2＋y2＝25和(x－3)2＋(y－3)2＝31. 由 解得或 ∴垃圾處理站M的坐標為(5,0)或， ∴|MB|＝2或|MB|＝ ＝7， 即垃圾處理站M與B村相距2 km或7 km. 答案：2或7 - 14 -