2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第6節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教學案 理（含解析）北師大版

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1、第六節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) [考綱傳真]　1.理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,10，的對數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)． 1．對數(shù)的概念 如果a(a＞0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么數(shù)b叫作以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)． 2．對數(shù)的性質與運算法則 (1)對數(shù)的運算

2、法則：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． (2)對數(shù)的性質：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)． (3)對數(shù)的換底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)． 3．對數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質 定義 函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫作對數(shù)函數(shù) 圖像 a＞1 0＜a＜1 性質 定義域：(0，＋∞) 值域：R 當x＝1時，y＝0，即過定點(1,0) 當0＜x＜1時，y＜0； 當

3、x＞1時，y＞0 當0＜x＜1時，y＞0； 當x＞1時，y＜0 在(0，＋∞)上為增函數(shù) 在(0，＋∞)上為減函數(shù) 4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關于直線y＝x對稱． [常用結論] 1．換底公式的兩個重要結論 (1)loga b＝；(2)logambn＝loga b. 其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R. 2．對數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較 如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖像交點的橫坐標為相應的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底

4、數(shù)逐漸增大． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對數(shù)函數(shù)． (　　) (2)log2x2＝2log2x. (　　) (3)函數(shù)y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同． (　　) (4)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的圖像過定點(1,0)，且過點(a,1)，，函數(shù)圖像不在第二、三象限． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(log29)·(log34)＝(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C．2 D．4 D　[原式＝

5、·＝×＝4.] 3.已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，且a≠1)的圖像如圖，則下列結論成立的是(　　) A．a(chǎn)＞1，c＞1 B．a(chǎn)＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 D　[由圖可知0＜a＜1，又f(0)＝loga c＞0，∴0＜c＜1.] 4．函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的遞增區(qū)間為(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) D　[由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)＝log(x2－4)的遞增區(qū)間，即為y＝x2－4在{x|x＞2或x＜－

6、2}上的遞減區(qū)間，故選D.] 5．若a＝log4 3，則2a＋2－a＝________. 　[∵a＝log4 3，∴2a＝2log4 3＝2log2 ＝，∴2－a＝， ∴2a＋2－a＝＋＝.] 對數(shù)的運算 1．設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于(　　) A.　　　　　　　　 B．10 C．20 D．100 A　[∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m， ∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2， ∴m＝.] 2．化簡下列各式： (1)lg ＋lg 70－lg 3－； (2)log3 ·log5[4log2 10－(3)－7log7

7、2]； (3)(log3 2＋log9 2)·(log4 3＋log8 3)． [解]　(1)原式＝lg － ＝lg 10－ ＝1－|lg 3－1|＝lg 3. (2)原式＝log3 ·log5[10－(3)－7log7 2] ＝(log3 3－1)·log5(10－3－2) ＝·log5 5 ＝－. (3)原式＝·＝·＝·＝. [規(guī)律方法]　在解決對數(shù)的化簡與求值問題時 (1)要理解并靈活運用對數(shù)的定義、對數(shù)的運算性質、對數(shù)恒等式和對數(shù)的換底公式. (2)注意化簡過程中的等價性和對數(shù)式與指數(shù)式的互化. (3)化異底為同底. 對數(shù)函數(shù)的圖像及應用 【例1】　(

8、1)函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖像大致是(　　) 　 A　　　　 　B　　 　　　C　　　 　　D (2)當x∈(1,2)時，不等式(x－1)2＜loga x恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(1,2] D. (1)C　(2)C　[(1)函數(shù)y＝2log4(1－x)的定義域為(－∞，1)，排除A，B；函數(shù)y＝2log4(1－x)在定義域上遞減，排除D.故選C. (2)設f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使當x∈(1,2)時，不等式(x－1)2＜loga x恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在區(qū)間(

9、1,2)上的圖像在f2(x)＝loga x的圖像的下方即可． 當0＜a＜1時，顯然不成立． 當a＞1時，如圖所示，要使在區(qū)間(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的圖像在f2(x)＝loga x的圖像的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga 2，所以loga 2≥1，即1＜a≤2.] [規(guī)律方法]　利用對數(shù)函數(shù)的圖像可求解的兩類問題 (1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖像的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結合思想求解. (2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結合法求解. (1)函數(shù)f(x

10、)＝xa滿足f(2)＝4，那么函數(shù)g(x)＝|loga(x＋1)|的圖像大致為(　　) A　　　　 B　　 　　C　　　　D (2)已知函數(shù)f(x)＝且關于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是________． (1)C　(2)(1，＋∞)　[(1)法一：∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2， ∴g(x)＝|log2(x＋1)|＝ ∴當x≥0時，函數(shù)g(x)遞增，且g(0)＝0；當－1＜x＜0時，函數(shù)g(x)遞減．故選C. 法二：由f(2)＝4，即2a＝4得a＝2， ∴g(x)＝|log2(x＋1)|，函數(shù)g(x)是由函數(shù)y＝|log2x|向左

11、平移一個單位得到的，只有C項符合，故選C. (2)如圖，在同一坐標系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖像，其中a表示直線在y軸上截距，由圖可知，當a＞1時，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個交點．] 對數(shù)函數(shù)的性質及應用 【例2】　(1)(2018·天津高考)已知a＝log2 e，b＝ln 2，c＝log ，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b (2)若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，4) B．(－4,4] C

12、．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4) (1)D　(2)D　[因為a＝log2 e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log ＝log2 3＞log2 e＞1，所以c＞a＞b，故選D. (2)由題意可知解得－4≤a＜4. 故所求實數(shù)a的取值范圍為[－4,4)．] [規(guī)律方法]　(1)利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性時要注意真數(shù)必須為正，明確底數(shù)對單調(diào)性的影響. (2)解決與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，首先要確定函數(shù)的定義域，根據(jù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題. (1)設函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是(　　) A．奇函數(shù)

13、，且在(0,1)上是增函數(shù) B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù) C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù) D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù) (2)設函數(shù)f(x)＝若f(a)＞f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) (3)已知偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上遞增，a＝f，b＝f，c＝f(log32)，則下列關系式中正確的是(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a (1)A　(2)C　(3)D　[(1)由題

14、意可知，函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)，且f(x)＝ln ＝ln，易知y＝－1在(0,1)上為增函數(shù)，故f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故選A. (2)由題意得或解得a＞1或－1＜a＜0.故選C. (3)log2 ＝－log2 3，而0＜log3 2＜1＜＝log2 ＜log2 ＝log2 3.∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞增， ∴f(log3 2)＜f＜f(log2 3)＝f(－log23)＝f，∴c＜b＜a，故選D.] 1．(2018·全國卷Ⅲ)設a＝log0.20.3，b＝log

15、20.3，則(　　) A．a(chǎn)＋b＜ab＜0　　　　　 B．a(chǎn)b＜a＋b＜0 C．a(chǎn)＋b＜0＜ab D．a(chǎn)b＜0＜a＋b B　[由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0＜＋＜1，得0＜＜1.又a＞0，b＜0，所以ab＜0，所以ab＜a＋b＜0.] 2．(2016·全國卷Ⅰ)若a>b>1,0

16、增函數(shù)， ∴當a＞b＞1,0＜c＜1時，ac＞bc，選項A不正確． ∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴當a＞b＞1,0＜c＜1，即－1＜c－1＜0時， ac－1＜bc－1，即abc＞bac，選項B不正確． ∵a＞b＞1，∴l(xiāng)g a＞lg b＞0，∴alg a＞blg b＞0， ∴＞.又∵0＜c＜1，∴l(xiāng)g c＜0. ∴＜，∴alogbc＜blogac，選項C正確． 同理可證logac＞logbc，選項D不正確．] 3．(2018·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，則f(－a)＝________. －2　[由f(a)＝ln(－a)＋1＝4，得ln(－a)＝3，所以f(－a)＝ln(＋a)＋1＝－ln ＋1＝－ln(－a)＋1＝－3＋1＝－2.] - 8 -