5、點(diǎn)P(1，)處的切線方程為( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
D [因?yàn)辄c(diǎn)P(1，)是圓Q：x2＋y2－4x＝0上的一點(diǎn)，
故在點(diǎn)P處的切線方程為x－y＋2＝0，故選 D．]
5．(教材改編)圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長(zhǎng)為________．
2 [由得x－y＋2＝0.
由于x2＋y2－4＝0的圓心為(0,0)，半徑r＝2，且圓心(0,0)到直線x－y＋2＝0的距離d＝＝，所以公共弦長(zhǎng)為2＝2＝2.]
直線與圓的位置關(guān)系
?考法1 直線與圓位置關(guān)系的判定
【例1】 直線
6、l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．相切
C．相離 D．不確定
A [法一：∵圓心(0,1)到直線l的距離d＝<1<.
故直線l與圓相交．
法二：直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(diǎn)(1,1)，∵點(diǎn)(1,1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，∴直線l與圓C相交．]
?考法2 切線問題
【例2】 已知點(diǎn)P(＋1,2－)，點(diǎn)M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；
(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng)．
[解] 由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2.
(
7、1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴點(diǎn)P在圓C上．
又kPC＝＝－1，
∴切線的斜率k＝－＝1.
∴過點(diǎn)P的圓C的切線方程是
y－(2－)＝x－(＋1)，
即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，
∴點(diǎn)M在圓C外部．
當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，
即x－3＝0.
又點(diǎn)C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，
即此時(shí)滿足題意，所以直線x＝3是圓的切線．
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
則圓心C到切線的距離d＝＝r＝2，解得k＝.
∴切線方程為y
8、－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
綜上可得，過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴過點(diǎn)M的圓C的切線長(zhǎng)為＝＝1.
?考法3 弦長(zhǎng)問題
【例3】 設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則直線l的方程為( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
B [當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，聯(lián)立方程得得或∴|AB|＝2，符合題意．當(dāng)直線
9、l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，∵圓x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圓心為C(1,1)，圓的半徑r＝2，圓心C(1,1)到直線y＝kx＋3的距離d＝＝，∵d2＋2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0.故選B．]
[規(guī)律方法] 1.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常用方法：
(1)若易求出圓心到直線的距離，則用幾何法，利用d與r的關(guān)系判斷．
(2)若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)式較復(fù)雜，則用代數(shù)法，聯(lián)立方程后利用Δ判斷，能用幾何法求解的，盡
10、量不用代數(shù)法．
2．(1)處理直線與圓的弦長(zhǎng)問題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．
(2)處理圓的切線問題時(shí)，一般通過圓心到直線的距離等于半徑建立關(guān)系式解決問題．若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則過點(diǎn)M的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(1)若直線x＋my＝2＋m與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥2，則k的取值范圍是( )
11、
A. B．∪[0，＋∞)
C. D．
(3)已知P是直線l：kx＋4y－10＝0(k＞0)上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，若四邊形PACB面積的最小值為2，則k的值為( )
A．3 B．2
C. D．
(1)D (2)C (3)A [(1)由題意可知，圓心為(1,1)，半徑r＝1，若直線與圓相交，則＜1，即＞1，∴m≠0，故選D．
(2)若|MN|＝2，則圓心(2,3)到直線y＝kx＋3的距離為＝＝1，解得k＝±.若|MN|≥2，則－≤k≤.
(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1，
12、則圓心為C(1，－2)，半徑為1，則直線與圓相離，如圖，
S四邊形PACB＝S△PAC＋S△PBC，
而S△PAC＝|PA|·|CA|＝|PA|，
S△PBC＝|PB|·|CB|＝|PB|，
又|PA|＝|PB|＝，所以當(dāng)|PC|取最小值時(shí)，|PA|＝|PB|取最小值，即S△PAC＝S△PBC取最小值，此時(shí)，CP⊥l，四邊形PACB面積的最小值為2，S△PAC＝S△PBC＝，所以|PA|＝2，所以|CP|＝3，所以＝3，因?yàn)閗＞0，所以k＝3.]
圓與圓的位置關(guān)系
【例4】 已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求證
13、：圓C1和圓C2相交；
(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng)．
[解] (1)證明：圓C1的圓心為C1(1,3)，半徑r1＝，圓C2的圓心為C2(5,6)，半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴圓C1和圓C2相交．
(2)圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x＋3y－23＝0，∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.
圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離＝＝3，故公共弦長(zhǎng)為2＝2.
[規(guī)律方法] (1)判斷兩圓位置關(guān)系的方法
常用幾何法，即用兩
14、圓圓心距與兩圓半徑和及差的絕對(duì)值的大小關(guān)系判斷，一般不用代數(shù)法．重視兩圓內(nèi)切的情況，作圖觀察．
(2)兩圓相交時(shí)，公共弦所在直線方程的求法
兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．
(3)兩圓公共弦長(zhǎng)的求法
求兩圓公共弦長(zhǎng)，常選其中一圓，由弦心距d，半弦長(zhǎng)，半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．
(1)(2016·山東高考)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是( )
A．內(nèi)切 B．相交
C．外切 D．相離
(2)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C
15、2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
(1)B (2)C [(1)法一：由得兩交點(diǎn)為(0,0)，(－a，a)．∵圓M截直線所得線段長(zhǎng)度為2，
∴＝2.又a>0，∴a＝2.
∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，
圓心M(0,2)，半徑r1＝2.
又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴兩圓相交．
法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0
16、，a)，r1＝a.
∵圓M截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度為2，∴圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝，解得a＝2.
以下同法一．
(2)圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因?yàn)閳AC2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝(m＜25)．從而|C1C2|＝＝5.由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故選C.]
1．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2，則|CD|＝________.
4 [
17、由直線l：mx＋y＋3m－＝0知其過定點(diǎn)(－3，)，圓心O到
直線l的距離為d＝.
由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直線l的斜率為－m＝，所以直線l的傾斜角α＝.
畫出符合題意的圖形如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥BD，則∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.]
2．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________．
[－1,1] [如圖，過點(diǎn)M作⊙O的切線，切點(diǎn)為N，連接ON.M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，MN與⊙O相切于點(diǎn)N.
設(shè)∠OMN＝θ，則θ≥45°，即sin θ≥，即≥.
18、而ON＝1，∴OM≤.
∵M(jìn)為(x0,1)，∴≤，
∴x≤1，∴－1≤x0≤1，∴x0的取值范圍為[－1,1]．]
3．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．
(1)求k的取值范圍；
(2)若·＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.
[解] (1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1.
因?yàn)橹本€l與圓C交于兩點(diǎn)，所以<1，
解得
2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教學(xué)案 理（含解析）北師大版
