2020版高考數學一輪復習 第3章 三角函數、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數的基本關系與誘導公式教學案 理（含解析）北師大版

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1、第二節(jié)　同角三角函數的基本關系與誘導公式 [考綱傳真]　1.理解同角三角函數的基本關系式：sin2 α＋cos2 α＝1，＝tan α；2.能利用單位圓中的三角函數線推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式． 1．同角三角函數的基本關系式 (1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商數關系：tan α＝. 2．誘導公式 組序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －co

2、s α cos α －cos_α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan_α 口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變 符號看象限 1．同角三角函數關系式的常用變形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2．誘導公式的記憶口訣 “奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β

3、＝1. (　　) (2)若α∈R，則tan α＝恒成立． (　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角． (　　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，則sin α＝. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)已知α是第二象限角，sin α＝，則cos α等于(　　) A．－　　　B．－　　　C.　　　D． B　[∵sin α＝，α是第二象限角， ∴cos α＝－＝－.] 3．化簡sin 690°的值是(　　) A. B．－ C. D．－ B　[sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30

4、°＝－.選B．] 4．已知tan α＝2，則的值為________． 　[∵tan α＝2， ∴＝＝＝.] 5．化簡·sin(α－π)·cos(2π－α)的結果為________． －sin2α　[原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2 α.] 同角三角函數基本關系式的應用 1．已知sin αcos α＝，且＜α＜，則cos α－sin α的值為(　　) A．－　　　　　　　 B． C．－ D． B　[∵＜α＜， ∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0. 又(cos α－sin α)2＝1－2si

5、n αcos α＝1－2×＝， ∴cos α－sin α＝.故選B．] 2．(2016·全國卷Ⅲ)若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝(　　) A. B． C．1 D． A　[因為tan α＝， 則cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.故選A.] 3．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，則sin θ－cos θ的值是________． 　[將sin θ＋cos θ＝兩邊平方得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 所以2sin θcos θ＝－＜0， 所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 因為θ∈

6、(0，π)， 所以sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ∈， 即sin θ－cos θ＞0， 所以sin θ－cos θ＝.] [規(guī)律方法]　同角三角函數關系式及變形公式的應用方法 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化． (2)應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α

7、＝1－sin2α. 誘導公式的應用 【例】　(1)已知角θ的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線3x－y＝0上，則等于(　　) A．－ B． C．0 D． (2)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0， tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α的值是(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D． (3)已知cos＝a，則cos＋sin的值是________． (1)B　(2)C　(3)0　[(1)由題可知tan θ＝3，原式＝＝＝. (2)化簡得 解之得tan α＝3. ∵α為銳角，由方程組 得sin

8、α＝. (3)因為cos＝cos ＝－cos＝－a， sin＝sin＝cos＝a， 所以cos＋sin＝0.] [規(guī)律方法]　1.誘導公式的兩個應用 (1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了． (2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了． 2．含2π整數倍的誘導公式的應用 由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數倍的三角函數式中可直接將2π的整數倍去掉后再進行運算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. (1)(2019·湖北八校聯(lián)考)已知sin(π＋α)＝－，則tan的值為(　　) A．2 B．－2 C. D．±2 (2)已知A＝＋

9、(k∈Z)，則A的值構成的集合是(　　) A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} (3)(2017·北京高考)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱．若sin α＝，則sin β＝________. (1)D(2)C(3)　[(1)∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，則cos α＝±， ∴tan＝＝＝±2.故選D． (2)當k為偶數時，A＝＋＝2； 當k為奇數時，A＝－＝－2. 所以A的值構成的集合是{2，－2}． (3)由角α與角β的終邊關于y軸對稱，可知α＋β＝π＋2k

10、π(k∈Z)，所以β＝2kπ＋π－α(k∈Z)，所以sin β＝sin α＝.] 1．(2017·全國卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，則sin 2α＝(　　) A．－ B．－ C. D． A　[∵sin α－cos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝， ∴sin 2α＝－. 故選A.] 2.(2016·全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. －　[由題意知sin＝，θ是第四象限角， 所以cos＞0， 所以cos＝＝. tan＝tan＝－ ＝－＝－＝－.] - 7 -