2017-2018學年高中數(shù)學 矩陣的簡單應用教學案 蘇教版選修4-2

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1、 矩陣的簡單應用 設λ1、λ2是二階矩陣A的兩個不同的特征值，α1、α2是A的屬于特征值λ1、λ2的特征向量，對于 任意的非零向量 β，設β＝t1α1＋t2α2(t1，t2∈R)，則有Anβ＝t1λα1＋t2λα2(n∈N*)． Anα(n∈N*)的求法 [例1]　　已知矩陣M＝，β＝. (1)求出矩陣M的特征值和特征向量； (2)計算M4β，M10β，M100β； (3)從第(2)小題的計算中，你發(fā)現(xiàn)了什么？ [思路點撥]　(1)先求出矩陣M的特征多項式，求出特征值，再求出與其對應的特征向量； (2)利用Anβ＝t1λα1＋t2λα2(λ1、λ2是矩陣

2、A的特征值，α1、α2是λ1、λ2的特征向量，β＝t1α1＋t2α2)計算； (3)由Mnβ中n的變化情況與計算結(jié)果即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律． [精解詳析]　(1)矩陣M的特征多項式為 f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)， 令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2. 所以它們對應的特征向量為α1＝，α2＝. (2)令β＝mα1＋nα2， 則有m＋n＝， 解得m＝2，n＝1，即β＝2α1＋α2. 所以M4β＝M4(2α1＋α2)＝2M4α1＋M4α2＝2λα1＋λα2＝2×14×＋24×＝. 同理可得，M10β＝，M100β＝. (3)當n很大時，可近似的認為 Mnβ＝Mn(2α1＋α2

3、)≈Mnα2＝2n＝. 求Anα的一般步驟為： 第一步：求矩陣A的特征值λ和相應的特征向量ξ； 第二步：把向量α用ξ1，ξ2線性表出，即α＝t1ξ1＋t2ξ2； 第三步：由公式計算Anα＝t1λξ1＋t2λξ2. 1．已知矩陣A的一個特征值為3，對應特征值3的特征向量α＝，求A100α. 解：A100α＝λ100α＝3100＝. 2．給定矩陣A＝，B＝. (1)求A的特征值λ1，λ2及對應的特征向量α1，α2； (2)求A4B. 解：(1)設λ為A的特征值， 由f(λ)＝＝λ(λ－2)－3＝0， 解得λ1＝－1，λ2＝3. 當λ1＝－1時，由 ＝－， 得

4、A屬于特征值－1的特征向量為α1＝. 同理，A屬于特征值3的特征向量為α2＝. (2)設B＝mα1＋nα2＝＋， 得 解得 所以B＝α1＋α2. 因此A4B＝A4(α1＋α2)＝(－1)4α1＋34α2 ＝＋＝. 矩陣方冪An的求法 [例2]　設A＝，利用矩陣的特征值和特征向量計算An. [思路點撥]　先求出矩陣A的特征值λ1，λ2與其對應的特征向量α1，α2，然后利用Anα＝λnα，并令An＝，最后利用待定系數(shù)法建立二元方程組求得a，b，c，d. [精解詳析]　A的特征多項式 f(λ)＝ ＝(λ－4)(λ－2)－15 ＝λ2－6λ－7＝0， 令f(λ

5、)＝0，得A的特征值為λ1＝7，λ2＝－1. 對λ1＝7，解相應的線性方程組 可得α1＝為矩陣A的屬于特征值λ1＝7的特征向量． 對λ2＝－1，解相應的方程組， 可得α2＝為矩陣A的屬于特征值λ2＝－1的特征向量． 于是A α1＝ ＝7· Aα2＝ ＝－1·. 顯然An＝7n，An＝(－1)n. 設An＝，則有 ＝，＝， 所以 解得a＝，b＝， c＝，d＝， 所以An＝. 矩陣的平方運算可直接進行矩陣相乘，更高次方的運算可運用矩陣的特征向量與特征值對計算進行設計、轉(zhuǎn)化．一般步驟為： (1)求二階矩陣A的特征方程的根λ1，λ2，并分別求出對應的一個特征向量X1，

6、X2，令X1＝，X2＝； (2)設An＝，根據(jù)AnX1＝λX1，AnX2＝λX2，得 ＝， ＝； (3)解方程組和即可求得An. 3．已知A＝，求A10. 解：特征多項式為 f(λ)＝＝(λ－1)2－1＝λ2－2λ， 令f(λ)＝0，解得矩陣A的特征值λ1＝0，λ2＝2， 對λ1＝0，解相應的線性方程組 可得α1＝是矩陣A屬于特征值λ1＝0的一個特征向量． 對λ2＝2，解相應的線性方程組 可得α2＝是矩陣A的屬于特征值λ2＝2的一個特征向量． 于是，Aα1＝ ＝0·， Aα2＝ ＝2. 顯然，A10＝，A10＝210. 設A10＝，則有＝； ＝＝. 所以

7、 解得a＝512，b＝512，c＝512，d＝512. 所以，A10＝. 4．已知A＝，求An. 解：特征多項式為 f(λ)＝＝(λ－2)λ－3＝λ2－2λ－3. 解方程λ2－2λ－3＝0，求得特征值λ1＝－1，λ2＝3. 對于λ1＝－1，解相應的線性方程組 得是屬于λ1的一個特征向量． 對λ2＝3，解相應的線性方程組 得是屬于λ2的一個特征向量． 于是A＝－，A＝3， 顯然An＝(－1)n，① An＝3n.② 設An＝，代入①②得 ＝(－1)n， ＝3n， ∴＝，＝. ∴ 解得 因此An＝. 矩陣的實際應用 [例3]　某人進行股票投資，

8、獲利與虧損的規(guī)律為：如果某年投資獲利，則第二年投資虧損的概率為；如果某年投資虧損，則第二年投資獲利的概率為，假設2013年他獲利的概率為. (1)求他2014年投資獲利的概率； (2)問他2014年與2015年哪一年投資獲利機會大？ [思路點撥]　列出數(shù)組之間的矩陣表達式，轉(zhuǎn)化為矩陣問題求解． [精解詳析]　(1)2013年他獲利的概率為，則投資虧損的概率為，它可以用W＝表示.2014年他獲利與虧損的概率為W2014＝ ＝，所以2014年獲利的概率為. (2)2015年獲利與虧損的概率為 W2015＝ ＝ ＝. 所以2015年獲利的概率為，2015年投資獲利機會大． 對于一

9、些實際問題可通過列出數(shù)組之間的矩陣表達式，將實際問題轉(zhuǎn)化為矩陣問題，利用矩陣的相關(guān)知識，最終達到解決實際問題的目的． 5．為了保證信息安全傳輸，設計一種密碼系統(tǒng)，其加密原理如下： 明文X加密,密文Y發(fā)送,密文Y解密,明文X 現(xiàn)在加密方式為：把發(fā)送的數(shù)字信息X寫為“a11a21a12a22”的形式，先左乘矩陣A＝，再左乘矩陣B＝，得到密文Y.現(xiàn)在已知接收方得到的密文是4,12,10,22，試破解該密碼． 解：由題意知， BA＝ ＝， ∴(BA)－1＝. 又(BA)X＝， ∴X＝(BA)－1＝ ＝， 即發(fā)送的數(shù)據(jù)信息是2 012. 6．已知不等式組確定的平面區(qū)域為F

10、0，點M0(a，b)在平面區(qū)域F0內(nèi)，點M1(a＋b,2b)在平面區(qū)域F1內(nèi)． (1)求平面區(qū)域F1的面積； (2)若點M1(a1，b1)在平面區(qū)域F1內(nèi)，則點M2(a1＋b1,2b1)便在平面區(qū)域F2內(nèi)，若點M2(a2，b2)在平面區(qū)域F2內(nèi)，則點M3(a2＋b2,2b2)便在平面區(qū)域F3內(nèi)，…，依次類推，試判斷平面區(qū)域Fn的形狀，并求其面積Sn(n∈N*)． 解：(1)設M1(a1，b1)，依題意有 可表示為＝ . 由于平面區(qū)域F0是由三個點O0(0,0)，A0(2,0)，B0(0,2)組成的，故平面區(qū)域F1是由三個點O1(0,0)，A1(2,0)，B1(2,4)組成的，其面積S

11、1＝4. (2)設Mn＋1(an＋1，bn＋1)(n∈N*)，由題意有 可表示為＝ . 設A＝，則＝An， 求得A的特征值λ1＝1，λ2＝2， λ1＝1對應的一個特征向量α1＝， λ2＝2對應的一個特征向量α2＝. 又＝2α1， 故An＝2λα1＝2×1n×＝. 又＝－2α1＋2α2， 故An＝－2×λα1＋2×λα2 ＝－2×1nα1＋2×2nα2 ＝. 由題意知矩陣A所對應的變換是線性變換，即在矩陣A的作用下，將直線A0B0變換成A1B1，將A1B1變換成A2B2，…，將直線An－1Bn－1變換為AnBn， ∴平面區(qū)域Fn是由三點On(0,0)，An(2,0)，

12、Bn(2n＋1－2,2n＋1)組成的三角形，其面積Sn＝2n＋1(n∈N*)． 1．已知向量ξ1＝，ξ2＝，α＝，把α用ξ1，ξ2線性表出． 解：設α＝t1ξ1＋t2ξ2即＝. ∴故 ∴α＝ξ1＋2ξ2. 2．若矩陣A有特征值λ1＝2，λ2＝－1，它們對應的特征向量分別為i＝和j＝ (1)求矩陣A及逆矩陣A－1； (2)若α＝，試求A100α. 解：(1)設A＝，則由題意可得 即 所以　即A＝. 所以A－1＝. (2)設α＝mi＋nj，則＝m＋n＝. 所以m＝1，n＝16. 所以A100α＝mλi＋nλj ＝1·2100＋16·(－1)100·＝.

13、3．設A＝，求An(n∈N*)． 解：矩陣A的特征多項式為： f(λ)＝＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)， 令f(λ)＝0得矩陣A的特征值為λ1＝7，λ2＝－2. 把λ1＝7，λ2＝－2代入線性方程組 ＝ 得各自對應的一個特征向量α1、α2， α1＝，α2＝. ∴Aα1＝λ1α1，Aα2＝λ2α2， Anα1＝λα1，Anα2＝λα2. 設An＝，則 ＝7n， ＝(－2)n. 解得：a＝[5×7n＋(－1)n·2n＋2]， b＝[7n＋(－1)n＋1·2n]， c＝[7n＋(－1)n＋1·2n]， d＝[4×7n＋(－1)n×5×2n]． ∴An

14、＝ . 4．若M＝，N＝，β＝，求[(MN)－1]100β. 解：∵MN＝ ＝， ∴det(MN)＝＝1. ∴(MN)－1＝. 設(MN)－1的特征值為λ，特征向量為ξ， 則 ＝λ， ∴f(λ)＝ ＝－λ(－2－λ)＋1＝λ2＋2λ＋1＝0. ∴λ＝－1，ξ＝.∴β＝2ξ. ∴[(MN)－1]100β＝λ100·2ξ＝2ξ＝β＝. 5．已知矩陣A＝的一個特征值為λ＝2，其對應的特征向量是α1＝，向量β＝.求a、b及A5β. 解：由題意可知 ＝2 即：，得. ∴A＝的特征多項式為 f(λ)＝＝λ2－5λ＋6， 令f(λ)＝0得：λ1＝2，λ2＝3. 顯然λ1＝

15、2時的一個特征向量為α1＝. 設λ2＝3時的一個特征向量為α2＝， 則 ＝3， 即：，得y＝x，不妨令α2＝， 又β＝＝3＋＝3α1＋α2， ∴A5β＝3×25＋35＝＝. 6．已知矩陣A＝及向量α＝， (1)計算Anα，并分析討論當n的值越來越大時，Anα的變化趨勢； (2)給出Anα的一個近似公式，并利用這一公式計算A100α. 解：(1)f(λ)＝＝λ2－5λ－6＝(λ＋1)(λ－6)， 則矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝6. 屬于特征值λ1＝－1的一個特征向量α1＝， 屬于特征值λ2＝6的一個特征向量α2＝， α＝＝＋＝α1＋α2. Anα＝λα1＋λα2

16、＝. 當n的值越來越大時，(－1)n和(－1)n＋1可忽略不計， Anα≈. (2)由(1)可得，Anα≈， ∴A100α＝. 7．已知矩陣A＝，求點P(3,3)經(jīng)過矩陣A的連續(xù)50次作用后得到的點P50的坐標． 解：矩陣A的特征多項式 f(λ)＝＝(λ－)(λ－2)， 由f(λ)＝0得λ1＝，λ2＝2. 當λ＝時，由方程組 令x＝1，y＝0， 得屬于特征值的一個特征向量為. 同理屬于特征值2的一個特征向量為. 由于＝3＋3， 所以A50＝3＋3 ＝， 即點P(3,3)經(jīng)過矩陣A的連續(xù)50次作用后得到的點P50的坐標是. 8．狐貍和兔子在同一棲息地生存，我們忽

17、略其他因素，只考慮兔子數(shù)量與狐貍數(shù)量的相互影響．現(xiàn)假設在第n年時，兔子的數(shù)量為an，狐貍的數(shù)量為bn，在初始時刻時(即第0年)，兔子有a0＝100只，狐貍有b0＝30只，且兩種群之間滿足(n≥1)　(*) 試分析隨著時間的變化，兔子和狐貍的數(shù)量有著怎樣的變化？ 解：令βn＝，M＝，則(*)式可以改寫成βn＝M βn－1(n≥1)． 由此可知βn＝M βn－1＝M2βn－2＝…＝Mnβ0. 經(jīng)過計算，矩陣M有兩個特征值λ1＝1，λ2＝0.95，且分別可取α1＝，α2＝為對應的特征向量，顯然α1，α2不共線，又不妨假設β0＝s α1＋t α2(其中s，t待定)． 則有解得s＝70，t＝－110， 即β0＝70α1－110α2. 從而由特征向量性質(zhì)知βn＝Mnβ0＝Mn(70α1－110α2)＝70λα1－110λα2， 即＝70×1n－110×0.95n ＝－0.95n. 即第n年兔子和狐貍的數(shù)量為 由此可看出，隨著時間的增加，兔子和狐貍的數(shù)量逐漸增加，當時間充分長后，兔子和狐貍的數(shù)量達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)． 13