2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 2 角的概念的推廣學(xué)案 北師大版必修4

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1、§2 角的概念的推廣 內(nèi)容要求 1.理解正角、負(fù)角、零角與象限角的概念(重點(diǎn)).2.掌握終邊相同的角的表示方法(難點(diǎn)). 知識(shí)點(diǎn)1 角的概念 (1)角的概念:角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)O從一個(gè)位置 OA旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置OB所形成的圖形.點(diǎn)O是角的頂點(diǎn),射線OA,OB分別是角α的始邊和終邊. (2)按照角的旋轉(zhuǎn)方向,分為如下三類: 類型 定義 正角 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角 負(fù)角 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角 零角 如果一條射線從起始位置OA沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn),終止位置OB與起始位置OA重合,稱這樣的角為零角 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】  (正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)

2、 (1)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角是正角(√) (2)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角是負(fù)角(√) (3)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)就沒(méi)有角對(duì)應(yīng)(×) (4)終邊和始邊重合的角是零角(×) (5)經(jīng)過(guò)1小時(shí)時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)30°(×) 知識(shí)點(diǎn)2 象限角 如果角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么,角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限. 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 1.銳角屬于第幾象限角?鈍角又屬于第幾象限角? 提示 銳角屬于第一象限角,鈍角屬于第二象限角. 2.第二象限的角比第一象限的角大嗎? 提示 不一定.如120° 是

3、第二象限的角,390°是第一象限的角,但120°<390°. 知識(shí)點(diǎn)3 終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一個(gè)與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和. 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】  (正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)終邊相同的角一定相等(×) (2)相等的角終邊一定相同(√) (3)終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)(√) (4)終邊相同的角它們相差180°的整數(shù)倍(×) 題型一 角的概念的推廣 【例1】 寫出下圖中的角α,β,γ的度數(shù). 解 要正確識(shí)圖,確定好旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的大小,由

4、角的概念可知α=330°,β=-150°,γ=570°. 規(guī)律方法 1.理解角的概念的三個(gè)“明確” 2.表示角時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn) (1)字母表示時(shí):可以用希臘字母α,β等表示,“角α”或“∠α”可以簡(jiǎn)化為“α”. (2)用圖示表示角時(shí):箭頭不可以丟掉,因?yàn)榧^代表了旋轉(zhuǎn)的方向,也即箭頭代表著角的正負(fù). 【訓(xùn)練1】 (1)圖中角α=________,β=________; (2)經(jīng)過(guò)10 min,分針轉(zhuǎn)了________. 解析 (1)α=-(180°-30°)=-150° β=30°+180°=210°. (2)分針按順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了周角的,即-60°. 答案 (1)-

5、150° 210° (2)-60° 題型二 終邊相同的角 【例2】 已知α=-1 910°. (1)把α寫成β+k×360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角; (2)求θ,使θ與α的終邊相同,且-720°≤θ<0°. 解 (1)-1 910°=250°-6×360°,其中β=250°,從而α=250°+(-6)×360°,它是第三象限角. (2)令θ=250°+k×360°(k∈Z), 取k=-1,-2就得到滿足-720°≤θ<0°的角, 即250°-360°=-110°,250°-720°=-470°. 所以θ為-110°,-470°. 規(guī)律方法

6、 將任意角化為α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,關(guān)鍵是確定k.可用觀察法(α的絕對(duì)值較小時(shí)適用),也可用除以360°的方法.要注意:正角除以360°,按通常的除法進(jìn)行,負(fù)角除以360°,商是負(fù)數(shù),且余數(shù)為正值. 【訓(xùn)練2】 寫出終邊在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合. 解 終邊在直線OM上的角的集合為M={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z} ={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°,k∈Z} ={α|α=45°+n·180°,n∈Z}. 同理可得終邊在直線ON上的角的

7、集合為{α|α=60°+n·180°,n∈Z}, 所以終邊在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為 {α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}. 【探究1】 在四個(gè)角-20°,-400°,-2 000°,1 600°中,第四象限角的個(gè)數(shù)是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析?。?0°是第四象限角,-400°=-360°-40°與-40°終邊相同,是第四象限角,-2 000°=-6×360°+160°與160°終邊相同,是第二象限角,1 600°=4×360°+160°與160°終邊相同,是第二象限角,故第四象限角有2個(gè). 答案 C 【探究2】 寫出終

8、邊落在第一象限和第二象限內(nèi)的角的集合. 解 根據(jù)終邊相同的角一定是同一象限的角,又可以先寫出第一象限銳角范圍和第二象限鈍角的范圍,再加上360°的整數(shù)倍即可. 所以表示為: 第一象限角的集合:S={β|β=k·360°+α,0°<α<90°,k∈Z},或S={β|k·360°<β<k·360°+90°,k∈Z}. 第二象限角的集合:S={β|β=k·360°+α,90°<α<180°,k∈Z},或S={β|k·360°+90°<β<k·360°+180°,k∈Z}. 【探究3】 已知α為第二象限角,那么2α,分別是第幾象限角? 解 ∵α是第二象限角, ∴90+k×360°<α<1

9、80°+k×360°, 180°+2k×360°<2α<360°+2k×360°,k∈Z. ∴2α是第三或第四象限角,或是終邊落在y軸的非正半軸上的角. 同理45°+×360°<<90°+×360°,k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),不妨令k=2n,n∈Z,則45°+n×360°<<90°+n×360°,此時(shí),為第一象限角; 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),令k=2n+1,n∈Z,則225°+n×360°<<270°+n×360°,此時(shí),為第三象限角. ∴為第一或第三象限角. 【探究4】 已知α為第一象限角,求180°-是第幾象限角. 解 ∵α為第一象限角, ∴k·360°<α<k·360°+90°,k

10、∈Z, ∴k·180°<<k·180°+45°,k∈Z, ∴-45°-k·180°<-<-k·180°,k∈Z, ∴135°-k·180°<180°-<180°-k·180°,k∈Z. 當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),135°-n·360°<180°-<180°-n·360°,為第二象限角; 當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時(shí),-45°-n·360°<180°-<-n·360°,為第四象限角. ∴180°-是第二或第四象限角. 規(guī)律方法 1.象限角的判定方法 (1)根據(jù)圖像判定.利用圖像實(shí)際操作時(shí),依據(jù)是終邊相同的角的概念,因?yàn)?°~360°之間的角與坐標(biāo)系中的射線可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. (

11、2)將角轉(zhuǎn)化到0°~360°范圍內(nèi),在直角坐標(biāo)平面內(nèi),0°~360°范圍內(nèi)沒(méi)有兩個(gè)角終邊是相同的. 2.α,2α,等角的終邊位置的確定方法 不等式法: (1)利用象限角的概念或已知條件,寫出角α的范圍. (2)利用不等式的性質(zhì),求出2α,等角的范圍. (3)利用“旋轉(zhuǎn)”的觀點(diǎn),確定角終邊的位置.例如,如果得到k×120°<<k×120°+30°,k∈Z,可畫出0°<<30°所表示的區(qū)域,再將此區(qū)域依次逆時(shí)針或順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)120°(如圖所示). 易錯(cuò)警示 由α的范圍確定2α的范圍時(shí)易忽視終邊在坐標(biāo)軸上的情況. 課堂達(dá)標(biāo) 1.-361°的終邊落在(  ) A.第一象限 B.

12、第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 因?yàn)椋?61°的終邊和-1°的終邊相同,所以它的終邊落在第四象限,故選D. 答案 D 2.設(shè)A={θ|θ為銳角},B={θ|θ為小于90°的角},C={θ|θ為第一象限的角},D={θ|θ為小于90°的正角},則下列等式中成立的是(  ) A.A=B B.B=C C.A=C D.A=D 解析 直接根據(jù)角的分類進(jìn)行求解,容易得到答案. 答案 D 3.將-885°化為α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是________________. 答案 195°+(-3)×360° 4.與-1 692°終邊相同的最大負(fù)角是_

13、_______. 解析 ∵-1 692°=-5×360°+108°, ∴與108°終邊相同的最大負(fù)角為-252°. 答案?。?52° 5.如圖所示,寫出終邊落在陰影部分的角的集合. 解 設(shè)終邊落在陰影部分的角為α,角α的集合由兩部分組成. ①{α|k·360°+30°≤α

14、0°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z} ∪{α|(2k+1)180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z} ={α|n·180°+30°≤α

15、{α|90°+k×360°<α<180°+k×360°,k∈Z},也可以表示為{α|-270°+k×360°<α< -180°+k×360°,k∈Z}. 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 1.下列各組角中,終邊相同的是(  ) A.495°和-495° B.1 350°和90° C.-220°和140° D.540°和-810° 解析?。?20°=-360°+140°,∴-220°與140°終邊相同. 答案 C 2.設(shè)A={小于90°的角},B={銳角},C={第一象限角},D={小于90°而不小于0°的角},那么有(  ) A.BCA B.BAC C.D(A∩C) D.C∩D=B

16、 解析 銳角、0°~90°的角、小于90°的角及第一象限角的范圍,如下表所示. 角 集合表示 銳角 B={α|0°<α<90°} 0°~90°的角 D={α|0°≤α<90°} 小于90°的角 A={α|α<90°} 第一象限角 C={α|k·360°<α

17、角是______. 解析 ∵-3 000°=-9×360°+240°, ∴與-3 000°角終邊相同的最小正角為240°. 答案 240° 5.在-180°~360°范圍內(nèi),與2 000°角終邊相同的角是______. 解析 因?yàn)? 000°=200°+5×360°,2 000°=-160°+6×360°,所以在-180°~360°范圍內(nèi)與2 000°角終邊相同的角有-160°,200°兩個(gè). 答案 -160°,200° 6.在0°~360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限角. (1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′. 解 (1)因?yàn)?/p>

18、-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與-150°角終邊相同的角是210°角,它是第三象限角. (2)因?yàn)?50°=360°+290°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與650°角終邊相同的角是290°角,它是第四象限角. (3)因?yàn)椋?50°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范圍內(nèi),與 -950°15′角終邊相同的角是129°45′角,它是第二象限角. 7.寫出與25°角終邊相同的角的集合,并求出該集合中滿足不等式-1 080°≤β<-360°的角β. 解 與25°角終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+25°,k∈Z}.

19、令k=-3,則有β=-3×360°+25°=-1 055°,符合條件; 令k=-2,則有β=-2×360°+25°=-695°,符合條件; 令k=-1,則有β=-1×360°+25°=-335°,不符合條件. 故符合條件的角有-1 055°,-695°. 能力提升 8.以下命題正確的是(  ) A.第二象限角比第一象限角大 B.A={α|α=k·180°,k∈Z},B={β|β=k·90°,k∈Z},則AB C.若k·360°<α

20、0°. 在B中,當(dāng)k=2n,k∈Z時(shí),β=n·180°,n∈Z. ∴AB,∴B正確. 又C中,α為第一或第二象限角或在y軸的非負(fù)半軸上, ∴C不正確.顯然D不正確. 答案 B 9.集合M=,P=,則M、P之間的關(guān)系為(  ) A.M=P B.MP C.MP D.M∩P=? 解析 對(duì)集合M來(lái)說(shuō),x=(2k±1)·45°,即45°的奇數(shù)倍;對(duì)集合P來(lái)說(shuō),x=(k±2)·45°,即45°的倍數(shù). 答案 B 10.已知角α、β的終邊相同,那么α-β的終邊在________. 解析 ∵α、β終邊相同, ∴α=k·360°+β(k∈Z). ∴α-β=k·360°,故α-β

21、終邊會(huì)落在x軸非負(fù)半軸上. 答案 x軸的非負(fù)半軸上 11.若α為第一象限角,則k·180°+α(k∈Z)的終邊所在的象限是第________象限. 解析 ∵α是第一象限角,∴k為偶數(shù)時(shí),k·180°+α終邊在第一象限;k為奇數(shù)時(shí),k·180°+α終邊在第三象限. 答案 一或三 12.求終邊在直線y=x上的角的集合S. 解 因?yàn)橹本€y=x是第一、三象限的角平分線,在0°~360°之間所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角分別是45°和225°,所以S={α|α=k·360°+45°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+225°,k∈Z}={α|α=2k·180°+45°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·18

22、0°+45°,k∈Z}={α|α=n·180°+45°,n∈Z}. 13.(選做題)已知角α、β的終邊有下列關(guān)系,分別求α、β間的關(guān)系式: (1)α、β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; (2)α、β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱. 解 (1)由于α、β的終邊互為反向延長(zhǎng)線,故α、β相差180°的奇數(shù)倍(如圖1),于是α-β=(2k-1)·180°(k∈Z). (2)在0°~360°內(nèi),設(shè)α的終邊所表示的角為90°-θ,由于α、β關(guān)于y軸對(duì)稱(如圖2),則β的終邊所表示的角為90°+θ.于是α=90°-θ+k1·360°(k1∈Z),β=90°+θ+k2·360°(k2∈Z). 兩式相加得α+β=(2k+1)·180°(k∈Z). 9

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